专题01 三角形【11个考点知识梳理、题型解题方法、专题过关】（原卷版）

专题01三角形【11个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】考点一：三角形的分类三角形按边分类：三角形按边分类可以分为不等边三角形与等腰三角形，等腰三角形包含普通等腰三角形与三边都相等的等边三角形。三角形按角分类：三角形按角分类分类锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。【考试题型1】三角形分类方法的理解【解题方法】根据三角形的分类方法进行理解判断即可。注意按边分类时只分为不等边与等腰两类，等腰里面包含等边。例题讲解：1．（2023春•高邑县期末）下列说法正确的是（）①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④【考试题型2】三角形的形状判断【解题方法】据三角形所有角度的大小判断三角形的形状。例题讲解：2．（2022秋•东平县期末）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能考点二：三角形的三边关系三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三遍，任意两边之差小于第三边。【考试题型1】判断三边是否能构成三角形【解题方法】最小两边之和大于第三边则能够构成三角形。例题讲解：3．（2023•清江浦区校级开学）下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（）A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10【考试题型2】求第三边的取值范围及可能的值【解题方法】利用三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据具体要求求出第三边的具体的值。进而也可以求出三角形的周长例题讲解：4．（2023•封丘县校级开学）在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，则AB的取值范围是（）A．6＜AB＜8 B．1＜AB＜7 C．2＜AB＜14 D．1＜AB＜145．（2022秋•交口县期末）一个三角形的两条边分别为3cm，7cm，则它的第三边可能是（）A．3cm B．7cm C．10cm D．12cm6．（2023春•市南区校级期中）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长为偶数，则第三边长可能为（）A．4或6 B．2或4 C．4 D．67．（2022秋•嘉兴期末）嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为10cm、3cm，则该三角形的周长可能是（）A．18cm B．19cm C．20cm D．21cm【考试题型3】根据三角形的三边关系求未知数的取值范围【解题方法】若给出的三边有两边已知，一边未知，则把未知边当成第三边；若有两边未知，一边已知，则把已知边当成第三边，再利用三角形三边关系建立不等式组求解。例题讲解：8．（2023春•东明县期中）若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是．9．（2023•包头一模）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为．【考试题型4】三角形的三边关系化简绝对值【解题方法】利用三角形的三边关系判断绝对值里面式子的大小关系，在根据去绝对值符号进行化简，若式子有两正，则大于0，若式子是两负，则小于0。例题讲解：10．（2023春•鲁山县期末）设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝．【考试题型3】三角形的三边关系与等腰三角形【解题方法】分别讨论给出的边长为腰，必须在满足三角形的三边关系的提前下求周长。例题讲解：11．（2023春•高新区期中）等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于．考点三：三角形的中线三角形的中线：三角形的顶点与对边中点的连线叫做三角形的中线。三角形中线的性质：如图，AM是△ABC的中线，则：①AM是三角形的中线M是BC的中点BM＝CM＝BC。②中线平分三角形的面积。即：③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即：④三角形有3条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的重心。【考试题型1】中线求线段的长度【解题方法】根据中点的性质求出线段长度即可。例题讲解：12．（2023春•绥德县期末）如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若AE＝3，则AC的长度为（）A．3 B．6 C．9 D．12【考试题型2】中线与三角形的面积【解题方法】根据中线平分面积求出相应的面积即可。例题讲解：13．（2022秋•张店区校级期末）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为cm2．【考试题型3】中线与三角形的周长【解题方法】根据中线分得的两个三角形的周长差的关系求得相应的周长与相应的线段长度。例题讲解：14．（2023春•偃师市校级期末）如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm15．（2023•碑林区校级模拟）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（）A．8 B．9 C．10 D．11考点四：三角形的高线三角形的高线：过顶点作对边的垂线，顶点与垂足之间部分叫做三角形的高线。锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高线画法：三角形有3条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。①锐角三角形的三条高都在三角形内部，垂心在三角形内。②直角三角形有两条高是三角形的边，垂心在三角形上。③钝角三角形有两条高在三角形外，垂心在三角形外。【考试题型1】三角形高线的判断。【解题方法】根据三角形高线的画法进行判断。判断哪一条边上的高线就用垂直于该边的直线进行平移，直至过对角顶点。例题讲解：16．（2023春•鄄城县期末）在下列图形中，正确画出AC边上的高的是（）A． B． C． D．【考试题型2】高线或垂心判断三角形的形状。【解题方法】根据锐角三角形的高线（垂心）在三角形内、直角三角形的高线（垂心）在三角形上、钝角三角形的高线（垂心）在三角形外进行判断。例题讲解：17．（2023•佛山模拟）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定考点五：三角形的角平分线：三角形的角平分线：三角形角的平分线与对边交点的连线段是三角形的角平分线。【考试题型1】定义的理解。【解题方法】根据三角形的角平分线的定义进行理解判断。例题讲解：18．（2023•丰润区模拟）如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，正确的是（）A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线 C．AF是△ACE的高线 D．AE是△DAF的中线【考试题型2】三角形的中线，高线，角平分线的综合【解题方法】根据这三者的定义理解判断相关的相关的线段即可。例题讲解：19．（2023春•闽清县期末）如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，正确的个数是（）①BG是△ABD的边AD上的中线；②AD既是△ABC的角平分线，也是△ABE的角平分线；③CH既是△ACD的边AD上的高，也是△ACH的边AH上的高．A．0 B．1 C．2 D．3考点六：三角形的稳定性三角形的稳定性：三角形的三边一旦确定，则三角形的形状和大小就确定，这是三角形的稳定性。【考试题型1】三角形稳定性在实际生活中的应用【解题方法】根据实际生活中的现象若是需要固定的则是利用了三角形的稳定性。例题讲解：20．（2023•山阴县模拟）如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（）A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边考点七：三角形的内角和三角形的内角和：三角形的三个内角之和等于180°。利用过顶点作对边的平行线证明。【考试题型1】利用三角形的内角和求角，进而判断三角形的形状。【解题方法】利用三角形的内角和与题目中给出的角的本身关系建立方程组从而求得各角的度数，在判断三角形的形状。例题讲解：21．（2023春•芝罘区期中）在下列条件①∠A+∠B＝∠C；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A＝∠B＝∠C；④∠A：∠B：∠C＝1：2：3中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考试题型2】利用那个三角形的内角和求度数。【解题方法】根据三角形的内角和等于180°，在结合已知角求出未知角。例题讲解：22．（2023春•舞钢市期末）如图，△ABC中，点D在△ABC的内部，AD平分∠BAC，∠ADB＝90°，DE∥AC，点E在BC上，若∠BAC＝80°，则∠BDE的度数是（）A．110° B．120° C．130° D．135°23．（2023春•高碑店市校级月考）如图，在△ABC中，∠B与∠C互余，∠C＝60°，AD是高，AE是角平分线，则∠1的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°考点八：三角形的外角定理三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和，大于任意一个不相邻的内角。【考试题型1】根据内角和与外角定理求角度【解题方法】利用三角形的内角和，外角定理进行求解即可。例题讲解：24．（2023•开原市一模）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则∠AFC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考试题型2】两条内角平分线形成的夹角【解题方法】根据两条内角平分线形成的夹角与第三个角的关系，即等于90°加上第三个角的一半可直接得出答案。例题讲解：25．（2023春•原阳县月考）如图，在△ABC中，角平分线BD，CE相交于点H．若∠A＝70°，则∠BHC的度数是（）A．60° B．90° C．110° D．125°【考试题型3】一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角【解题方法】内角平分线与外角平分线形成的夹角等于第三个角的一半即可得出答案。例题讲解：26．（2023•罗山县校级开学）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【考试题型4】两条外角平分线形成的夹角【解题方法】两条外角平分线形成的夹角等于90°减去第三个角的一半即可得出答案。例题讲解：27．（2023春•仓山区校级期末）如图，∠CAB的外角的平分线与∠ABC的外角的平分线交于D点，若∠D＝α，则∠C的度数是（）A．180°﹣2α B． C． D．180°﹣α考点九：直角三角形的性质直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余。直角三角形的判定：若有两个内角互余的三角形是直角三角形。【考试题型1】根据直角三角形的性质求角度。【解题方法】利用两锐角互余直接计算即可。例题讲解：28．（2022秋•嘉兴期末）若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（）A．60° B．50° C．40° D．30°考点十：多边形的内角与外角：多边形的内角和计算：多边形的内角和计算公式为。多边形的外角和计算：任意多边形的外角和都等于360°。【考试题型1】计算多边形的内角和。【解题方法】利用公式直接计算即可。例题讲解：29．（2023春•金安区校级期末）十二边形的内角和为（）A．180° B．360° C．1800° D．无法计算【考试题型2】利用公式求边数。【解题方法】根据公式建立方程进行求解即可。例题讲解：30．（2023•南川区校级开学）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍．这个多边形是（）A．六 B．九 C．八 D．十【考试题型3】多边形的截角【解题方法】一个多边形解掉一个角后的边数有可能多一边，有可能不变，有可能少一边，以此求解。例题讲解：31．（2023春•贵池区期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为540°，则原多边形边数为（）A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6考点十一：正多边形正多边形的每个内角度数计算：正多边形的每个外角度数计算：正多边形的一个外角加上一个内角等于180°。【考试题型1】正多边形的角度计算【解题方法】根究正多边形的内外角公式进行计算即可。例题讲解：32．（2023•中山市校级模拟）若一个正n边形的内角和为1080°，则它的每个外角度数是（）A．36° B．45° C．72° D．60°33．（2023•扶余市四模）如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（）A．36° B．54° C．60° D．72°【考试题型2】转角行走【解题方法】转角行走得到的图形是一个正多边形，转动的角度为正多边形的外角。再利用外角公式求正多边形的边数，即可求出周长等。例题讲解：34．（2023•上蔡县校级开学）如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A．60米 B．100米 C．90米【考试题型3】正多边形组合图形的计算【解题方法】利用正多边形的边相等，内角和计算公式，三角形的内角和，三角形的外角定理进行求解。例题讲解：35．（2023•石家庄三模）如图，正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的边CD重合，DH的延长线与AB交于点P，则∠BPD的度数是（）A．83° B．84° C．85° D．86°

【专题过关】一．三角形（共4小题）1．（2023春•沙坪坝区校级期中）△ABC的三角之比是1：2：3，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定2．（2023春•肃州区校级期中）下列说法正确的有（）（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形的两边之差大于第三边；（3）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023春•山亭区期中）根据下列条件，能作出唯一三角形的是（）A．AB＝3，∠C＝50° B．AB＝4，BC＝4，AC＝8 C．∠A＝50°，∠B＝60°，AC＝4 D．∠C＝90°，AB＝64．（2023春•建邺区校级期中）如图，以BC为边的三角形的个数是个．二．三角形的角平分线、中线和高（共7小题）5．（2023春•榆树市期末）画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（）A． B． C． D．6．（2023春•沈河区期末）用一块含45°角的透明直角三角板画已知△ABC的边AB上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．7．（2023春•叙州区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，DE⊥AB于点E，下列说法中，错误的是（）A．△ABC中，AC是BC上的高 B．△ABD中，DE是AB上的高 C．△ABD中，AC是BD上的高 D．△ADE中，AE是AD上的高8．（2023春•淅川县期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（）①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2023春•汝阳县期末）△ABC中，AD是BC边上的中线，下列五种说法：①AD把∠BAC分成相等的两部分；②AD是线段BC分成相等的两部分；③AD把△ABC分成形状相同的两个三角形；④AD把△ABC分成周长相等的两个三角形；⑤AD把△ABC分成面积相等的两个三角形．其中正确的说法有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．（2022春•西乡塘区校级期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（）A．2 B．3 C．4 D．511．（2023•碑林区校级模拟）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（）A．8 B．9 C．10 D．11三．三角形的稳定性（共3小题）12．（2023春•香坊区期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（）A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性13．（2023•兴宁区校级模拟）由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（）A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的内角和为180° D．垂线段最短14．（2023春•长春期末）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等四．三角形三边关系（共6小题）15．（2023春•和平区校级期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm16．（2023春•深圳校级期中）若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足|a﹣2|+（b﹣1）2＝0，则第三边长c的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．417．（2023春•市南区校级期中）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长为偶数，则第三边长可能为（）A．4或6 B．2或4 C．4 D．618．（2023春•东明县期中）若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是．19．（2023春•沙坪坝区校级期中）若a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣c﹣b|＝．20．（2023春•丰泽区校级期中）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝．（2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长AB．五．三角形内角和定理（共5小题）21．（2023•江北区校级开学）一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是51°，那么这个三角形是一个（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定22．（2023•开州区校级开学）一个三角形三个内角的度数之比为1：4：7，这个三角形一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形23．（2023春•芝罘区期中）在下列条件①∠A+∠B＝∠C；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A＝∠B＝∠C；④∠A：∠B：∠C＝1：2：3中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个24．（2022秋•东洲区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．70°25．（2023春•任城区校级期末）如图，∠B，∠C的平分线相交于D，过点D作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，那么下列结论中：①BE＝DE；②DF＝ED；③∠BDC＝90°+∠A；④△AEF的周长＝AB+AC，其中正确的有几个（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个六．三角形的外角性质（共8小题）26．（2023•池州模拟）将直角三角板AOB和直角三角板COD按如图方式摆放（直角顶点重合），已知∠AOC＝45°，则∠DEB的度数是（）A．20° B．30° C．45° D．60°27．（2022秋•新化县期末）将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（）A．75° B．105° C．135° D．165°28．（2022秋•新华区校级期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70° B．80° C．90° D．100°29．（2023春•句容市月考）如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度数等于（）A．60° B．55° C．50° D．45°30．（2023春•仓山区校级期末）如图，∠CAB的外角的平分线与∠ABC的外角的平分线交于D点，若∠D＝α，则∠C的度数是（）A．180°﹣2α B． C． D．180°﹣α31．（2022秋•嘉祥县月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（）A．2° B．4° C．8° D．16°32．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个33．（2023•萍乡模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，AD，BD，CD分别平分∠EAC，∠ABC，∠ACF，以下结论不一定成立的是（）A．AD＝CD B．AD∥BC C． D．∠ADC＝90°﹣∠ABD七．直角三角形的性质（共5小题）34．（2022秋•临淄区期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（）A．135° B．150° C．120° D．110°35．（2023春•甘州区校级期末）如图所示，直线a∥b，直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1＝33°，则∠2的度数为（）A．57° B．47° C．67° D．33°36．（2023春•盐湖区期末）如图，在平面内，一组平行线穿过△ABC，若∠ABC＝90°，∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．45°37．（2023春•秦淮区期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝