专题8.7 双曲线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

第八篇平面解析几何专题8.07双曲线及其几何性质【考试要求】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).【知识梳理】1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A(0，a)2渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段实虚轴B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2【微点提醒】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.离心率e＝＝＝.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于【疑误辨析】.1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是(4)双曲线－±＝0.()(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√【解析】(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.【教材衍化】2.(选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.【答案】－＝1【解析】设双曲线方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为－＝1.3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x2－另一个焦点的距离等于________.＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到【答案】6【解析】设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.【真题体验】4.(2018·浙江卷)双曲线－y2＝1的焦点坐标是()B.(－2，0)，(2，0)D.(0，－2)，(0，2)A.(－，0)，(，0)C.(0，－)，(0，)【答案】B【解析】由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线【答案】5－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.【解析】由题意可得＝，所以a＝5.6.(2018·北京卷)若双曲线【答案】4－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.【解析】由题意可得，【考点聚焦】＝，即a2＝16，又a>0，所以a＝4.考点一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.B.C.D.(2)(2019·济南调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.【答案】(1)C(2)x2－＝1(x≤－1)，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2【解析】(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝2|PF2|，，又|PF1|＝∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).【规律方法】1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.【训练1】(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为()A.2a2B.a2C.30a2D.15a2(2)(2019·杭州质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为()A.8B.10C.4＋3D.3＋3【答案】(1)B(2)B【解析】(1)由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|－|AF2|＝2a，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，∴cos∠F1AF2＝＝＝.又0<∠F1AF<π，∴sin∠F1AF2＝，∴S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×4a×2a×＝a2.(2)由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.考点二双曲线的标准方程【例2】(1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为()A.C.－＝1B.－－＝1＝1－＝1D.(2)(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1【答案】(1)B(2)C【解析】(1)由题设知＝，①又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，易知a2＋b2＝c2＝9，②由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.(2)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.【规律方法】1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).【训练2】(1)(2019·海南二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是()A.－y2＝1B.－－＝1＝1C.x2－＝1D.(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(，2)，则双曲线的方程为________________.【答案】(1)C(2)－＝1【解析】(1)由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得解得∴双曲线C的标准方程是x2－＝1.(2)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P(，2)，所以－＝λ，λ＝－，故所求双曲线方程为－＝1.考点三双曲线的性质角度1求双曲线的渐近线【例3－1】(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线程为()－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方A.y＝±C.y＝±xxB.y＝±D.y＝±xx【答案】A【解析】法一由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.法二由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.角度2求双曲线的离心率【例3－2】(1)(2018·全国Ⅲ卷)设F1，F2是双曲线C：标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐|OP|，则C的离心率为()A.B.2C.D.(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是()A.B.C.(1，2)D.(2，＋∞)【答案】(1)C(2)A【解析】(1)不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝据余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－＝c2，所以e＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根，则3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得<a，即c>2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c2<a2，所以e＝<，又知e>1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.角度3与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是()A.C.B.D.【答案】A【解析】因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－【规律方法】1.求双曲线离心率或其取值范围的方法<y0<.(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】(1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：条渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则C的离心率为()－＝1(a>0，b>0)的一A.B.C.D.(2)已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.【答案】(1)B(2)(0，2)【解析】(1)双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by－ax＝0，又圆心坐标为(2，1)，则＝1，得3a＝4b，所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，则e2＝，又e>1，故e＝.(2)对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的一个焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.本题中，双曲线＋＝1即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4<m<8，则焦点到渐近线的距离d＝∈(0，2).【反思与感悟】1.与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为－＝t(t≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程【易错防范】－＝0就是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程.1.双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线y＝±－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是x.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·郑州模拟)设双曲线方程为()－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线A.y＝±C.y＝±xB.y＝±xxD.y＝±2x【答案】B【解析】因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.2.双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为－A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.【答案】A【解析】由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为，故双曲线C的离心率e＝＝.3.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：距离为()－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的A.B.2C.D.2【答案】D【解析】法一由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线＝2方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为.法二离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，∴点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.4.(2019·天津和平区一模)已知双曲线线，垂足为M.若△FOM的面积为－＝1(a>0，b>0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为()A.x2－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1【答案】C【解析】由题意可知e＝取一条渐近线为y＝x，＝，可得＝，可得F到渐近线y＝x的距离d＝＝b，在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|＝＝＝a，由题意可得ab＝，联立解得－所以双曲线的方程为＝1.5.已知F2，F1是双曲线－＝1(a>0，b>0)的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为()A.y＝±C.y＝±xxB.y＝±D.y＝±xx【答案】D【解析】根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，∵△ABF2为等边三角形，∴|BF2|＝|AB|，∴|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，又∵|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a，∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos120°，即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×＝28a2，亦即c2＝7a2，则b＝＝＝a，由此可得双曲线C的渐近线方程为y＝±x.二、填空题6.直线l：y＝2x＋10过双曲线－＝1(a>0，b>0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________________.【答案】－＝1【解析】由题意得一个焦点为F(－5，0)，c＝5，＝2，又a2＋b2＝c2，所以a2＝5，b2＝20，所以双曲线方程为－＝1.7.设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________.【答案】【解析】a2＝9，b2＝16，故c＝5.∴A(3，0)，F(5，0)，不妨设直线BF的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程解得B.∴S△AFB＝|AF|·|yB|＝·2·＝.8.(2019·梅州质检)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于M，N.若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为________.【答案】【解析】由题意，|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1O|＝|F2O|，|PO|＝|MO|，得四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N＝60°，可得∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得，4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°，即4c2＝20a2－8a2，c2＝3a2，可得c＝a，所以e＝＝.三、解答题9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为P(4，－，且过点).(1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.【答案】见解析【解析】(1)解∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x2－y2＝6，即(2)证明法一由(1)可知，a＝b＝－＝1.，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－.∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.法二由(1)可知，a＝b＝∴F1(－2，0)，F2(2，∴c＝2，，0)，＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，)＋m2＝－3＋m2，∴·＝(3＋2)×(3－2∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.10.设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标.【答案】见解析【解析】(1)由题意知a＝2，∵一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.∴由焦点到渐近线的距离为又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，，得＝.∴双曲线的方程为(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中x0≥2＝t，即(x1，y1)＋(x2，y2)＝t(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.－＝1..又＋将直线方程y＝4×84>0，x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，其中Δ＝(16)2－则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.∴解得∴t＝4，点D的坐标为(4，3).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·河南适应测试)已知F1，F2分别是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线，则双曲线的渐近线方程为()A.y＝±2xB.y＝±xC.y＝±xD.y＝±x【答案】D【解析】不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝.由余弦定理，可得＝，即(a－c)2＝0，所以c＝a，则b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.12.已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.[，＋]B.[2，＋1]＋1]C.[2，＋]D.[，【答案】D【解析】如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，由双曲线定义可知r2－r1＝2a①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴r＋r＝4c2②，由①②得r1r2＝2(c2－a2)，又知S△MNF＝2S△MOF，∴r1r2＝2·c2·sin2β，∴c2－a2＝c2·sin2β，∴e2＝，又∵β∈∈[2，(＋1].，∴sin2β∈，∴e2＝＋1)2].又e>1，∴e∈[，13.(2018·北京卷)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四