山东大学电气学院电路课件：第十五章

第十五章电路方程的矩阵形式本章重点：1.电路的计算机辅助分析2.电路的关联性质和基尔霍夫定律的矩阵表示3.结点电压方程的矩阵形式4.状态方程i1i2i3i1i2i3i1i2i3抽象i=0抽象支路+-一.图的基本概念R2CLuSR1抽象抽象无向图有向图关于图的有关概念的复习

+-连通图图不连通图+-抽象连通图抽象不连通图1.图G={支路，节点}①②１允许孤立节点存在二.名词和定义2.子图

路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。3.连通图图G的任意两节点间至少有一条路经时称G为连通图。4.有向图图中的方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向。回路、树一.回路(1)连通；(2)每个节点关联支路数恰好为2。12345678253127584回路不是回路回路L是连通图G的一个子图。具有下述性质树不唯一树支：组成树的支路连支：属于G而不属于T的支路二.树(Tree)树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：(1)连通；(2)包含G的所有节点和部分支路；(3)不包含回路。16个树是连接全部结点所需最少支路的集合。树支数bt=n-1连支数bl=b-(n-1)单连支回路（基本回路）1234567145树支数4连支数3单连支回路独立回路§15-1割集

定义：连通图G的一个割集是G的一个支路集合，把这些支路移去将使G分离成两部分，但是若少移去一条支路图G仍是连通的，常用Q表示。例：245613456213245613G

Q1(1,3,6)

Q2(4,5,6)

支路集合Q：a)这些支路移去将使G

分离成两部分;

b)但是若少移去一条支路图G仍是连通的。

1.割集的概念

563移去支路集合(3,5,6)241G

，图G虽被分为两个部分，但少移去支路3图G仍被分为两个部分。所以支路

(3,4,5,6)非割集。，图G未被分为两个部分，

所以支路(3,5,6)非割集。移去支路集合(3,4,5,6)346521G

属于同一割集的所有支路电流应满足KCL，故可用割集写出电路的KCL方程。

在G上作闭合面确定割集

KCL适用于割集

245613G

一般方法：作一闭合面，包围G的某些结点，若把与闭合面相切割的所有支路移去，G被分成两个部分，则这一组支路集合构成一个割集

。割集Q1(4,5,6)

（这是第点的自然结果）

割集Q2(1,2,5,6)

345这样得到到n-1个割割集，每每一割集集对应一一条树支支，故称称单树支支割集。。2.独独立割集集组独立割集集组——对应应一组线线性独立立的KCL方程程的割集集。单树支割割集(基基本割集集)：a)选选一个树树T;b)移移去T的的一条树树支，T被分成成两个部部分T1和T2;c)连连接T1、T2的所有连连支加上上移去的的这条树树支便构构成了一一割集。。261例1：245613G

割集Q1(1,3,6)割集Q2(1,2,4)割集Q3(1,2,5,6)Q1

Q2

Q3

选支路(4,5,6)构成树树T例2：12345678981

3

4

62

579Q1

Q4Q2Q3

单树支割割集是独独立割集集——对对应一组组线性独独立的KCL方方程。Q1(1,2,3,4)Q2(3,5,6,8)Q3(4,6,7,8)Q4(4,6,9)选支路(2,5,7,9)构成树树T图的矩阵阵表示是是指用矩阵描描述图的的拓扑性性质，即即KCL和KVL的矩阵形形式。有有三种矩矩阵形式式：图的矩阵阵表示结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵15-2关联矩阵阵、回路路矩阵、、割集矩矩阵一.关联联矩阵[A]：描述支支路与结结点之间间的关联联关系关联：支路k与节点j相连，则则称支路路k与节点j关联，否否则为非非关联。。[Aa]的任一一元素ajk定义如下下：ajk＝1支路k与节点j关联，方向离开节点。ajk＝-1支路k与节点j关联，方向指向节点。ajk＝0支路k与节点j非关联。[Aa]=nb支路b结点

n每一行对对应一个个结点，，每一列列对应一一条支路路。注意12341234564321154326例：特点每一列只只有两个个非零元元素，一一个是+1，一一个是-1，Aa的每一列列元素之之和为零零。矩阵中任任一行可可以从其其他n-1行中导出出，即只只有n-1行是独立立的。故可用(n-1)×b阶矩阵阵[A]表示，，称为降阶关联联矩阵，简称关联矩阵阵。[Aa]=1234123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1[Aa]=(n-1)

b支路b结点n-1A的某些列只具有一个+1或一个－1，这样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应的结点可以当作参考结点。特点关联矩阵阵A的作作用用关联矩矩阵A表示矩阵阵形式的的KCL方程；设b条支路电流列向量为：则：即矩阵形形式的KCL：：[A][i]=0(1)4321154326用矩阵[A]T表示矩阵阵形式的的KVL方程。设b条支路电压列向量为：(n-1)个节点电压列向量：即有：(2)支路电压压用节点点电压表表示出来来，自动动满足KVL，，故(2)式是是用[A]表出出的KVL矩阵阵方程。。4321154326解：43211543261234123456例：已知关联矩阵[A]，求有向拓扑图。可见[A]与与图建立立了一一一对应应关系，，[A]可表征征电路的的拓扑性性质。逆问题：：给出[A]，画出出图G二.回回路路矩矩阵阵[B]:描述述支支路路与与回回路路之之间间的的关关联联性性质质。。设有有向向图图的的独独立立回回路路数数为为l，支支路路数数为为b，，且且所所有有的的回回路路与与支支路路均均加加以以编编号号，，则则回回路路矩矩阵阵[B]是是一一个个l×b阶阶矩矩阵阵.[B]的的任任一一元元素素bjk定义义如如下下：：bjk＝1支路k与回路j关联(在回路上)，且方向一致。bjk＝-1支路k与回路j关联(在回路上)，方向相反。bjk＝0支路k与回路j非关联（即不在回路上）。[B]=lb支路b独立回路

l注意每一一行行对对应应一一个个独独立立回回路路，，每每一一列列对对应应一一条条支支路路。。1231234564321154326123例：给定定B可以以画画出出对对应应的的有有向向图图。。注意独立立回回路路、、对对应应一一个个树树的的单单连连枝枝回回路路得得基基本本回回路路矩矩阵阵[Bf]基本本回回路路矩矩阵阵4321153246231123123456lt一般应有支路路排排列列顺顺序序为为先先连连支支后后树树支支，，回回路路顺顺序序与与连连支支顺顺序序一一致致。。连支支电电流流方方向向为为回回路路电电流流方方向向；；连连支支编编号为为回回路路编编号号。。规定根据回路矩阵的定义应有：(3)回路路矩矩阵阵[B]的的作作用用用回路路矩矩阵阵[B]表示示矩矩阵阵形形式式的的KVL方程程；；设b条支路电压列向量为：[B][u]=100-1-100101010010-11[Bf][u]=0ul+Btut=0ul=-Btut连支支电电压压可可以以用用树树支支电电压压表表示示。。用回路路矩矩阵阵[B]T表示示矩矩阵阵形形式式的的KCL方程程注意设l个独立回路电流的列向量：则支路电流列向量(4)支路路电电流流用用回回路路电电流流表表示示自自动动满满足足KCL。。4321154326123Bf=[Bt1]用连连支支电电流流表表示示树树支支电电流流注意树支支电电流流可可以以用用连连支支电电流流表表出出。。三、、割割集集矩矩阵阵[Q]:描描述述支支路路与与割割集集的的关关联联性性质质。。设有有向向图图的的节节点点数数为为n，支支路路数数为为b，，则则独独立立割割集集数数为为(n-1)。。为为每每个个割割集集编编号号并并指指定定一一个个方方向向，，于于是是割割集集矩矩阵阵Q为为(n-1)×b阶阶矩矩阵阵，，行行对对应应割割集集，，列列对对应应支支路路。。[Q]的的任任一一元元素素qjk定义义如如下下：：支路k与割集j关联（在割集中），且方向一致。支路k与割集j关联，且方向相反。qjk＝0支路k与割集j非关联（不在割集中）。qjk＝1qjk＝-1[Q]=(n-1)b支路b割集数注意每一一行行对对应应一一个个基基本本割割集集,每一一列列对对应应一一条条支支路路.123123456例：n－1＝3独立割集数15432642Q23Q31Q1若选选树树T，，按按先先树树支支后后连连支支的的顺顺序序编编号号，，且且以以树树支支方方向向和和编编号号为为割割集集的的方方向向和和编编号号，，则则单单树树支支割割集集为为：：123123456tl42651343Q32Q21Q1显然基本本割割集集矩矩阵阵[Qf]的的作作用用用基基本本割集集矩矩阵阵[Qf]表示示矩矩阵阵形形式式的的KCL方程程。。根据割集矩阵的定义应有：(5)设是支路电流列向量[Qf

][i]=100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③设(n-1)个树支电压列向量：定义义树树支支电电压压为为相相应应割割集集的的割割集集电电压压，，则则支支路路电电压压列列向向量量(6)例：42651343Q32Q21Q1用[Qf]T表示示矩矩阵阵形形式式的的KVL方程程回路路矩矩阵阵表表示示时时Qi=0可写写成成回路路矩矩阵阵和和割割集集矩矩阵阵的的关关系系注意树支支电电流流可可以以用用连连支支电电流流表表出出。。矩阵阵形形式式的的KVLQfTut=u连支支电电压压可可以以用用树树支支电电压压表表示示。。注意QQi=0QTut=u小结结：：ul=-BtutABAi=0BTil=iKCLKVLATun=uBu=0§15-5节节点点电电压压方方程程的的矩矩阵阵形形式式1.支支路路方方程程的的矩矩阵阵形形式式写支支路路约约束束，，必必须须涉涉及及到到支支路路的的具具体体结结构构和和内内容容。。为为此此定定义义较较具具代代表表性性的的复复合合支支路路，，又又可可称称为为一一般般支支路路。。前已已导导出出矩矩阵阵形形式式的的拓拓扑扑约约束束，，为为导导出出节节点点方方程程的的矩矩阵阵形形式式，，还还需需要要将将支支路路约约束束矩矩阵阵化化。。i)一一般般支支路路的的定定义义+–+–Zk

说明明:a.Zk为Rk,jLk或/jCk；b.不不允允许许存存在在受受控控电电压压源源;c.不不允允许许存存在在无无伴伴电电压压源源;d.受受控控电电流流源源的的控控制制变变量量是是另另一支支路路中中无无源源元元件件的的电电压压或或电流流。。

无受控源，即；电感间无互感（M=0）记Yk=1/Zkii)支支路路方方程程的的矩矩阵阵形形式式+–+–Zk

对整整个个电电路路有有：：即支路路电电流流、、电电压压，，支支路路电电流流源源、、电电压压源源列列向向量量：：其中中，，[Y]是是对对角角阵阵，即即注：实际分析中，复合支路中的电压源、电流源其极性和方向可能与一般支路中的相反，此时在和中应填负号。例：：写出出图图(a)、、(b)所示示电电路路支路路方程程中中的的各各矩矩阵阵。。对图图(a)，，作作出出它它的的有有向向图图为为：：支路方方程及及其各各矩阵阵为：：136542

0

+–R3C6uS6iS4R5R4L1L2iS3(a)

0

136542

0

对图(b)，作作出它它的有有向图图为：：支路方方程的的各矩矩阵为为：+–R3C6uS6iS4R5R4L1L2iS5+–uS4(b)

0

M*+-+-*+-+-

无受控源，即；电感之间有互感

设第1支路路至第第g支支路间间均有有互感感，则其中，，Zi=jLi，i=1,2,,g。互感电电压前前的正正负号号取决决于各各电感感的同同名端端和电电流的的参考方向向，且且M12=M21;M13=M31…；说明：：即注意到，支路路方程程可写写为：：其中：：[Y]=[Z]1，[Z]为支支路阻阻抗矩矩阵，，其主主对角角线元元素是是各支支路阻阻抗，，非对对角线线元素素是相相应支支路间间的互互感阻阻抗，，[Z]不是是对称称阵，，故[Y]亦非非对角角阵。。a.具具有有互感感支路路应连连续编编号，，使[Z]中与与这些些支路路有关关的元元素集中在在一个个子矩矩阵中中，这这样求求逆方方便；；j

kjkj

kjk式中注意：：([Y]=[Z]1)b.若若互互感成成对出出现时时，应应把每每对这这样的的互感感支路路编成成相邻邻支路路。设j，k为相邻邻支路路，电电流的的进端端为同同名端端，则则有子子矩阵阵[Y]中相应有子矩阵例：写出图图示电电路支路方程中中的各各矩阵阵。136542

0

R3C6iS4R5R4L1L2iS3(a)

0

M12

作出有有向图图支路方方程的的各矩矩阵为为：jL1jL2jM12jM21R3R4R5[Z]=

1/jC60

0

G3G4G5[Y]=[Z]1=

jC60

0

jL1jL2jM12jM21R3R4R5[Z]=

1/jC60

0

支路中中有受受控电电流源源，但但无互互感注意到到+–+–Zk

其中，，[Y]=[Z]1。由于有由式(1),(2),得得到到若k支路存存在受受j支路元元件电电压或或电流流控制制的受受控源源，则则[D]的元元素dkj非零，，且有有：有[Y]=[Y]+[D]注意到到[Y]=diag[Y1,Y2,,Yb]以及及[D]的元元素形形成原原理，，则对对于[Y]：对对角线线上的的元素素为支支路导导纳。。非对对角线线上，，如如果k支路存存在受受j支路元元件电电压或或电流流控制制的受受控源源，则则如果无无受控控源，，则Ykj=0。。[Y]=[Y]+[D]设+Yk_+Yj__+对第k条支路：写成矩阵形式：注意：支路方向与（控制量）方向一致，此时为正，否则为负。式中例：电路中中,id2=g21u1，id4=46i6，写出支路方程的的各矩矩阵。。+–R1C3uS2iS4R20L5L6id2+uS4C4id4–iS1+–u10

513246

解：G1g21[Y]=

jC30

0

jC4G20

0

0

0

0

0

0

0

0

0

电压源源向量量与电电流源源向量量为：：支路导纳矩矩阵为为归纳起起来，，四种种情形形下支支路方方程均均有如如下形形式：：[Y]=无受控控源，，无互互感：：[Y]=diag[Y1,Y2,,Yb]无受控控源，，有互互感：：[Y]=[Z]1，[Z]可直直接列列写；；有受控控电流流源，，但无无互感感：[Y]=[Y]+[D]，[Y]=[Z]1，[Y]可以以直接接列写写；有受控控电流流源，，有互互感：[Y]=[Y]+[D]，[Y]=[Z]1。支路中中有受受控电电流源源，含含有互互感可以导导出：：[Y]=[Y]+[D][Y]=[Z]1以及2.矩矩阵阵形式式的节节点电电压方方程拓扑约约束KCL:(1)KVL:(2)支路约约束:(3)(3)式代代入(1)式，，得：：(4)又将(2)式代代入(4)式，，有(5)(5)式即即结点点电压压方程程的矩矩阵形形式。。令(5)式变变为：：注入节点的电流列向量节点导纳矩阵例：电路如如图，，图中中元件件的数数字下下标代代表支支路编编号。。在下下列两两种情情况下下写出出结点点方程程的矩矩阵形形式.(1)M12=0;(2)M12≠0.R3C6iS4R5R4L1L2iS3

0

M12

0

136542

解：电压源向向量与电电流源向向量为：：关联矩阵阵为：支路导纳纳矩阵为为(1)M12=0，由公式式有=[Yn]右边：所以，结点电压方程成为：比较：R3C6iS4R5R4L1L2iS3

0

M12

与手写的的一致(2)M12≠0G3G4G5[Y]=[Z]1=

jC60

0

jL1jL2jM12jM21R3R4R5[Z]=

1/jC60

0

G3G4G5jC60

0

即得所以，结点电压方程成为：说明：

有互感时不能手写节点方程，但可用上述方法通过矩阵运算求得节点电压方程。[Yn]中各项不能通过观察写出。结点分析析法的步步骤第一步：：把电路路抽象为为有向图图5V13A1A+-0.550.521小结1①23456②③④第二步：：形成矩矩阵[A]123[A]=1234561100010-1110000-101-11①23456②③④第三步：：形成矩矩阵[Y]第四步：：形成[US]、[IS][US]=[-500000]T[IS]=[000-130]T第五步：：用矩阵阵乘法求求得结点点方程例15V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1①23456②③④1.画画有向向图2.3.

1234565V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1①23456②③④4.5.6.得

12345例2+US5R5R1L2L3C4IS1M[Y]=[Z]-1其中52431２3１0例3：iS5guauaG5C3G4+

-**ML2L152431２3１0iS5guauaG5C3G4+

-**ML2L1代入作业：写写出节点电压压的矩阵阵形式15－8状态态方程一、状态态变量：：表征电路路状态的的一组最最少数目目的变量量。若已知状状态变量量在t＝＝0时刻刻的值（（一组最最少的信信息量，，或称初初始条件件）及t>0后的外外施激励励，则可可唯一地地确定t>0后电路路在任意意时刻的的性状（（可解得得状态变变量，并并由此导导出任意意元件上上的电压压电流））从微分方方程看，，必须知知道变量量的初始始条件；；从运算算电路看看，必须须知道电电路的附附加电源源，这就就是一组组最少信信息量的的涵义。。电路分析析中一般般选取电电容电压压uc和电感电电流iL为状态变变量。二、状态态方程：：用状态变变量列写写的一组组独立的的一阶微微分方程程。<例>K(t=0)iLC+–uCLR+–us在RLC时域分分析中，，由KVL:高阶微分分方程等等价于一一阶微分分方程组组。若选uc和iL为变量写成矩阵形式若已知uc(0+)和iL(0+)，可求求得uc(t)和iL(t)，继而而确定uL(t)和uR(t)，所以上上式即为为描述动动态电路路的状态态方程。。若令x1=uc，x2=iL

，系数矩阵：则状态方程的标准形式:三、状态态方程的的直观写写法编写思路路：1.对对只接有有一个电电容的割割集（或或节点））写KCL———列出duc/dt项项，应含含有尽量量少的非非状态变变量。2.对对只包含含一个电电感的回回路列写写KVL——列列出diL/dt项项，应应含有尽尽量少的的非状态态变量。。3.保留状态态变量和和输入激激励，利用电路路方