《量子力学》考研基础概念

《量子力学》题库一、简答题答：微观粒子的能量和动量分别表示为：Ehh hp nk其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。波动过程的波函数的区别。cc，其中c和c为复数，和为粒11 2 2 1 2 1 2E

的构成完备系的能量本征态。试说明式子c

c的含1 2 11 2 2义，并指出在状态中测量体系的能量的可能值及其几率。c

c

的含义是：当粒子处于和

态，11 2 2 1 2 1又处于2

和1 2

是体系可能的状态时，它们的线性叠加态也是体系一个时，体系部分地处于态、中。1 2中测量体系的能量的可能值为EE1 2

，各自出现的几率为c1

2和c2。2什么是定态？定态有什么性质？向率流密度都不随时间变化。什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。一性质应用到费米子组成的全同粒子体系，必然推出费米不相容原理。试简述波函数的标准条件。答：波函数在变量变化的全部区域内应满足三个条件：有限性、连续性和单值性。为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？答：因为所有力学量的数值都是实数。而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，量的算符必须是厄米算符。请写出微扰理论适用条件的表达式。H' 答： mn

1，

E(0)

E(0)E(0)n

E(0) n mm试简述微扰论的基本思想。答：复杂的体系的哈密顿量

分成 与 两部分。 是可求出精确解的，而 可看成对 的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。计规律是什么？答：由电子、质子、中子这些自旋为的粒子以及自旋为的奇数倍的粒子组成的全同粒子体2 2系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi)－狄拉克(Dirac)统计，称为费米子。下，这种态所属的能级有什么特点？答：束缚态，能级是分立的。简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明（系。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？ˆ[2,Lz

]0，这两个算符有共同的完备本征函数系m

。时具有确定值？它们的均方偏差之间有什么样的关系？答：不可能同时具有确定值。它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。ll'l1mm'm0,1指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。①4x2

d2； dx2

2 ；

nK14x2

d2dx2

是线性算符4x2

d2(c

c

)4x2

d2(c

d2)4x2 (cu)dx2 11 2

dx2 1

dx2 22c4x21

d2udx2

c4x22

d2udx2 2②2不是线性算符[cucuc2u22ccuu c2u211 22 1 1 1212 2 2c[u]2c[u]21 1 2 2③K1

是线性算符ncucu NcuNcu cNucNu11 22 11 22 1 1 2 2KKKKK指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。d d d2， i ， 4dx dx dx2解：*ddx*

*dx dx

dx当x，0，0 *ddx d*dx(d)*dx dx dx dx(d)*dxdxd dx不是厄米算符*iddxi*i

*dx dx

dxi(d)*dxid)*dxdx dxdidx是厄米算符

d2dx2

的本征函数，其本征值是什么？①x2， ②ex， ③sinx， ④3cosx， ⑤sinxcosx解：①

d2dx2

(x2)2∴ x2

d2dx2

的本征函数。x②d2edx2x

ex∴ ex

d2dx2

的本征函数，其对应的本征值为1。③d2dx2

(sinx)

d(cosx)sinxdx∴ sinx

d2dx2

的本征函数，其对应的本征值为－1。④d2dx2

(3cosx)

d(3sinx)3cosx(3cosx)dx∴ 3cosx

d2dx2

的本征函数，其对应的本征值为－1。d2(sinxcosx)d(cosxsinx）sinxcosx⑤dx2 dx(sinxcosx)∴sinxcosx

d2dx2

的本征函数，其对应的本征值为－1。*4d2dx*

4

d*ddx dx2 dx - dx dx4

d*d

dx4*4d*dx dx dx

dx

dx24

d2*dx(

d2)*dx4d2dx2

dx2是厄米算符

dx2问下列算符是否是厄米算符：①ˆˆx

②1(ˆˆ2

ˆ)x*(ˆˆ*ˆ(ˆ

)d1 x 2 1 x 2ˆ1

)*ˆx

(2

x 1

)*d2因为

ˆˆx ∴ ˆˆ 不是厄米算符。x②*[1(ˆˆ ˆˆ

d

1*(ˆˆ1*(ˆ

xˆ)d1 2 x x 2

2 1 x

2 1 x 21(ˆ

1(ˆˆ

d121[ 2

xˆˆx

1

2x 1

2 x 1 2d21[ 21

ˆˆˆˆx

1 2∴ 1(ˆˆ2

ˆ)是厄米算符。x全同粒子体系的波函数应满足什么条件？随时间改变。二、证明题已知粒子在中心力场中运动，试证明（x方向的分量）是守恒量。x证：因为粒子在势函数为U 的中心力场中运动时，哈密顿算答是(r)ˆ ˆ2

2 ˆ2H U2 (r

(r2 ) 2r2r2

(r)x

与、有关而与r无关，且[ˆx

ˆ,]0ˆ所以，[ˆ,ˆ]0x试证：对于一维运动，设有两个波函数 及 是对应于同一级量 E的解，则1 2''”是对x的微商。1 2 2 1证：因为[

2 d2 2mdx2''

(x)

](x)

E

(x)

，所以1 2m(EU)/211''22m(EU)/ 221'' ''11

11

')'01积分得：

2 2'

1常数1 2 2 1试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。证明： 和

是对应于同一能级E的不同本征态，则'

'

常数。1 2 1 2 2 1在特例下，令'

'

0，即1 2 2 1' '12 121 2由此得： C1 2

'111

dx

'222

dxC所以1和2描述同一个态。证明：考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符, 为实数为厄密算符为厄密算符5 已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为 ,取试证明:。也是和 共同本征函数, 对应本征值分别为:证。是 的对应本征值为 的本征函数是 的对应本征值为 的本征函数.证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令(r (rr，t)()f(t)()e i()er iJ (**)2mi i

i

i

iEt (r)e2m

（(r)e

**(r)e (r)e ]i (r)*(r)*(r)(r)]2m可见J与t无关。U(x)U(x态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为2 d2(x)U(x)(x)E(x) ①2dx2将式中的x以(x)代换，得2 d2(x)U((x)E(x) ②2dx2利用U(x)U(x)，得2 d2(x)U(x)(x)E(x) ③2dx2(x)和(x都是描写在同一势场作用下的粒子状态(x)和(x常数c(xx而得其对方，由①经xx反演，可得③，(x)c(x) ④由③再经xx反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。(x)c(x) ⑤④乘⑤，得

(x)(x)c2(x)(x)c21c1当c1时，(x)(x(x具有偶宇称，当c1时，(x)(x(x具有奇宇称，当势场满足U(x)U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是J J 0er eemJ e

2nm证：电子的电流密度为 iJ eJee

(nm

*nm

* nm

)nm在球极坐标中为e 1 1 err r rsin 式中e、e、er

为单位矢量

1 1 J eJe (e e e *e

nm

rr r

rsin

nm*

( 1 1 ]e e ne e

r

rsin

nmie 1 [e* * )e*2 r

nmr

nm nm

nm

r

nm1 1 1 *

)e( *

)]nm

r

nm

rsin

nm

rsin

nm

nm 中的r和部分是实数。nm∴ J e

ie2rsin

(im

2nm

nm

2)e

emrsin

2enm eJerJe0Je

emrsin

2nm9 如果算符、满足关系式1，求证①ˆˆ2ˆˆ2ˆ②ˆˆ3ˆˆ3ˆ2证： ① ˆˆ2ˆˆ1ˆˆ)ˆˆˆ2ˆˆˆˆˆ2ˆ1ˆˆ)ˆˆ2ˆ②ˆˆ3ˆˆ(2ˆˆˆ)ˆˆˆ2ˆ2ˆˆˆˆˆ2ˆ2ˆ21ˆ)ˆˆ3ˆ210 证明ix y z证：由对易关系x y

y

2iˆz

及对易关系x y

y

0 ， 得上式两边乘，得z

x

iˆzx y z

z

∵ˆ21z∴ix y z11 证明2)(3)和

组成的正交归一系。S(1)(1)

S[

S(S )

A(S )][

(S )

(S )]S S 1/2 (S

1/2 2z)(S )

1/2 1z 1/2 2z(S ) (S )1/2 2(S1/2 2

1/2 1z) (S1/2 2

1/2 1z 1/2 2z)=1(1)(2)[ (S )

(S )][

(S )

(S )]S S 1/2 (S

1/)

2z(S )

1/2 1z(S )

1/(S

2z)=0(1)(3)

1/21[

2z 1/2(S )

1z 1/2 (S )]

1/2 2zS S 2

1/2

1/2 2z[ (S1/2 1

) (S1/2 2

)

(S1/2

) (S )]1/2 2z [(S2 1/2 2

)(S1/2

) (S1/2

) (S )1/2 2z(S1/2 2z

)(S1/2

) (S1/2

) (S )]1/2 2z 1[(S2 1/2 2

) (S1/2 2

)0]=0同理可证其它的正交归一关系。1(3)(3)S S

[ (S2 1/2

) (S1/2 2

)

(S1/2

) (S1/2 2

)][ (S1/2 1z

) (S1/2 2

)

(S1/2

) (S )]1/2 2z1[ (S2 1/2 1

) (S1/2 2

)][ (S1/2

) (S )]1/2 2z [ (S2 1/2 1

) (S1/2 2

)][ (S1/2 2

) (S )]1/2 1z [ (S2 1/2 21

) (S1/2

)][ (S1/2

) (S )]1/2 1z [ (S2 1/2 2

) (S1/2

)][ (S1/2 2

) (S )]1/2 1z100112 212 对于无限深势阱中运动的粒子（如图所示）证明xa （x2a2 1 6 ）（2 12

n22并证明当n时上述结果与经典结论一致。[解]写出归一化波函数：xn

2sinna a

（1）先计算坐标平均值：a 2 a2

1 a

2nxx0

xdx0a

sin

xdxa

cosa0

）xdxa利用公式：xsinpxdxxcospx

sinpx

（2）p p2得 xcospxdxxsinpx

cospx

（3）p p21x2a 22nxa a a 1x2a 22nxax

x

a

cos 20x

x2

2x以知，可计算x22 2 1 2nxx2a x2dxx2sin2 dx a21cos ）dx0 a a a0 a利用公式

x2cospxdx1x2sinpx 2xcospx1sinpx （5）p p2 p311a32nxa a a 2 11a32nxax2

x2a2

a2

x2

sin

a

2xcos03 2n22

a2 a2 a2x

x2x2

3 2n2

2a2 a2

（6）12 2n22在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度1。axaxdxa1xdxa0x2a1

0a 22x2dxa20a 3

a2 a2 a2x

x2x2

3 2n2

2故当n时二者相一致。设pih,f(q)是q] （1）q,p2f(q)2hipf.（证明）根据题给的对易式及q,f(q)0;q,p2f

qp2fp2fqqp2fp2qfqppfp(pq)fqppfp(qpih)f(qppqhi)pf2hipf（2）[q,pf(q)p]ih(fqpf)（证明）同前一论题[q,pfp]qpfppfpqqpfppf(qphi)qpfppfpqhipfqpfppqfphipf(qppq)fphipfhi(fppf)（3）[q,f(q)p2]2ihfp[证明]同前一题论据：[q,fp2]qfppfppqfqppfppqfqppfp(qphi)fqppfpqphifpf(qppq)phifp2hifp（4）[p,p2f(q)]

hp2fii[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式[p,f(q)]hfii

(fi)dfdq[p,p2f]p2fp2fpp2(pffp)p2[p,f]

hp2fii（5）[p,pf(q)p]

hpfipi（证明）论据同：[p,pfp]p2fppfp2p(pffp)phpfii（6）[p,f(q)p2]i

fip2（证明）论据同：[p,fp2]pfp2fp2(pffp)p2hi

fip2设算符[A，B]都对易。证明(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：按题目假设重复运算n-1次以后，得证明 是厄密算符证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。另一方法是根据厄密算符的定义：用于积分最后一式：前式=说明题给的算符满足厄密算符定义。16 定义[ˆ,ˆ]

ˆˆˆˆ（反对易式）证明：[ˆ,ˆˆ]ˆ[ˆ,ˆ]

[ˆ,ˆ]ˆˆ[ˆ,ˆ]

[ˆ,ˆ]ˆ[ˆˆ,ˆ]1[ˆ,ˆ][ˆ,ˆ]1[ˆ,ˆ][ˆ,ˆ]2 2 其中ˆ，ˆ与ˆ，ˆ对易。（证明）第一式等号右方ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[ˆ,ˆˆ]＝第二式等号右方1(ˆˆˆ)(ˆˆ

ˆˆ)

1(ˆˆˆ(ˆ

ˆˆ)1(ˆˆ2

2 2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)ˆˆˆˆˆˆ因ˆ，ˆ与ˆ，ˆ对易，ˆˆˆˆ，ˆˆˆˆ前式ˆˆˆˆˆˆˆˆ[ˆˆ,ˆˆ]17 证明力学量ˆ（不显含t）的平均值对时间的二次微商为：d2 ˆ ˆ

ˆ是哈密顿量）2dt2

AH],H] （H（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量ˆ 不显含t，有dA1[ˆ,ˆ] （１）dt i1将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量1 1 ˆ ˆ 1 1 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ

[ˆ,ˆ]的平均值，则有：d2A

[ [H],H] H],H] （２）dt2

ii 2此式遍乘2即得待证式。试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。证明： 和 是对应于同一能级E的不同本征态，''常数。在1 2 1 2 2 1特例下，令''0，即1 2 2 112' '121'11

dx

'222

dx

1 2由此得： C1 2所以 和1

描述同一个态。2证明泡利矩阵满足关系x y z

i。【证】.证明：考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符, 为实数为厄密算符 为厄密算符已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为,取征值分别为:

试证明:。

也是 和 共同本征函数,对应本证。是 的对应本征值为 的本征函数是 的对应本征值为 的本征函数22证明：描写全同粒子体系的波函数的对称性不随时间改变证明：设t时刻波函数是对称的，用 表示，Sˆˆ在t时刻也是对称的，S由i St

ˆS知， S在t时刻也是对称的，故在下一时刻的态函数：tS

Sdt也是对称的以此类推，波函数在以后任意时刻都是对称的。同理可证，若某一时刻波函数反对称，则以后任一时刻的波函数都是反对称的。三、 计算题由下列定态波函数计算几率流密度：(1)1

1eikrr

(22

reikr1从所得结果说明1面波。

1

表示向内(即向原点)传播的球2 J和1

只有r分量2r在球坐标中 r

1e

1 e i

0r

r

rsinJ1

2m

1 1

*)1 1i 1 1 1 1 [ eikr

( eikr) eikr

( eikri[1(11i[1(111(1ik1)]r ik )2m r r2 r r r2 r 0k

k mr2 0 mr3 J与r同向。表示向外传播的球面波。1 iJ2

2m

2 2

*)2i 1[ eikr

1(

)

1(

)]r1i[1(1ik11i[1(1ik1)1(1ik1)]r2mr r2 r r r2 r 0k kmr2

r0

rmr3

与r反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。2一粒子在一维势场，x0U(x)，0xa0，xa中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程2 d2(x)U(x)(x)E(x)2mdx2Ⅰ：x0

2 d2

(x)U

(x)E

(x) ①2mdx2 1 1 1Ⅱ：0xa

2 d22mdx2

(x)E2

(x) ②Ⅲ：xa 2 d22mdx2

(x)U(x)3

(x)E3

(x) ③由于(1)、(3)方程中，由于U(x)，要等式成立，必须 (x)01 (x)02即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)

d22

(x)2mE

(x)0dx2 2 2令k2

2mE，得2

d22

(x)

k

(x)0dx2 2其解为 (x)AsinkxBcoskx ④2根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得(0)(0) ⑤2 1(a)(a) ⑥2 3⑤ B0⑥Asinka0A0sinka0kan (n∴2

(x)Asinnxa由归一化条件2 得 Aa2 0

(x)2dx1nxdx1a由ab2aA2a

sin

m n axsin xdx a a 2mn (x)22mE

sinnx2aa2ak2E

222n 2ma2

n2 (nE是量子化的。对应于En的归一化的定态波函数为(x,t)n

sinn2aa2a

ixe, 0xa xa, xa21求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置解：(x) xe22x221(x)1

(x)2

2

x2e2x2d(x)

2x2e2x21 [2x2x3x2dxd(x)令 1

0，得dxx0

x1

x由1(x)x0x1(x)0d2而 1

(x) 3 [(26 2x2)2 2x(2x2 2x3)]e dx2 5 2x22 4x4)]e2x2d21

(x) 2310edxe

x12x1

是所求几率最大的位置。() 2x2it一维谐振子处在基态 x e 2 2 ，求：势能的平均值U

122x2；动能的平均值T

p2；2动量的几率分布函数。1 1 解：(1)U

22x2

22

x2ex2dx11 1 1 1 1 2 2 2 2214

222 2

4 x2neax135(2n02n1anap2 1 (2) T2

2

*(x)p(x)dx 1 12x2

d2 12x22 2

e

(

)e2 dxdx22 22x2)ex2 2 2 2[e2x2dx2x2e2x22 2 2[ 22 3 2

2 2 2

4

4 14或 TEU1112 4 4(3) c(p)*(x)dxp2 1 2

e12x2eiPxdx2 21 e12x2ei12 11 211

ip)2 p2 e2 2 22dx111

2(x

ip)2

e222e

2 2 dx21 2

1 p2

e222

222动量几率分布函数为(p)c(p)2

p2e221a30(r,a30

er/a0，求：r的平均值；势能e2r

的平均值；最可几半径；(4)(5)动量的几率分布函数。解：(1)rr(r,,)2d

2re2r/ar2sindrdd3 0 0 0004r3a2r/aa3 00xneaxdx0n!an14 3a0a324 2 00a a0e2 e2(2) U( )

21

e2r/ar2sindrdd00r a3 0 0 0r0e2 2

e2r/arsindrdd00a3 0 0 004e2 a3 00

e2r/ardr04e2 1 e200a3 22 a00a a0(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为(r)dr2(r,,)]2r2sindrdd

4e2r/a0r2dr0 0(r)

a304e2r/ar2a3 00d(r) 4 2dr

a (2a r)re2r/a030 03令d(r)rr , r adr 1 2 3 0当rr1

时，(r)0为几率最小位置d2(r) 4 8 4 (2 r r2)e2r/a0dr2d2d2(r)dr2ra0∴ra是最可几半径。0

a3 a a20 0 08e20a30221r2r(r )221r2r(r )21r sin(sin)1 sin2 222 2T2

2

er/a

2(er/a

)r2sindrdd0020 0 0a3002

2 1a3

0er/a0

1 dr2dr

d[r2dr

(er/a0

)]r2sindrdd0 0 0042 (1

(2r

r2)er/a0dr2a3 a 0 a0 0 000 42 (2a2 a2) 2004 4 0

2a20(5) c(p)(r(r,,)pc(p)

1(2)3/

aa30

er/a0

r2dreiprs0

sind2d0(2)3(2)3/2 a30

r2er/adr

iprcos

d(cos) 2

0(2)3/2 a30(2)3/2 a300

000ipr

iprcose0i rer/a(2(2)3/230ip0

(e

epr)drxneaxdx0n!an1(2)3/2(2)3/230ip

[

1 ](1i

p)2 (1ip)2a a 0 0 1 2a33ip0

1 p2a( )20 a2 204242a3300a440(a2p22)20 (2a0

)3/2(a0

2p

2)2动量几率分布函数(p)c(p)2

8a350t=0时，粒子的状态为

2(ap0

2)4(x)A[sin2kx1coskx]2求此时粒子的平均动量和平均动能。解：(x)2kx1coskx1cos2kx1coskx]2 2 2Acos2kxcos2A [11(ei2kx

ei2kx)1(eikx

eikx)]A A [ei02

1ei2kx2

21ei2kx2

1eikx2

1eikx] 122可见，动量pn

的可能值为0 2k 2k k k2k22k222k22k22k2222n2

的可能值为0对应的几率 应为n(A2 A2 A2 A2 A2)24 16 16 16 161111128888( )1111128888上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得1 (A24A2)A2n 4 16 2n∴ A1∴ p的平均值为p pn nn02k

A222kA22kA22kA22016 16 16 16Tp22n

p2n2 nn0

2k22 1

2k22 1 25k228

8

2 8设氢原子处于状态(r,,)1R2 21

(r10

,) R32 3

(r11

,)求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：在此能量中，氢原子能量有确定值E 2

e2s22n2

e s82

(n2)角动量平方有确定值为(1)222 (角动量Z分量的可能值为L 0L Z1 Z2其相应的几率分别为1， 34 4其平均值为L 1033Z 4 4 4试求算符ieixd 的本征函数。dx的本征方程为ˆF即 d

d dxd diFeixdxd(Feixd

)d(Feix )dx dxlnFeix

lncdxceFe

（ˆ是F的本征值）9 设波函数(x)sinx，求[(d[xddx dxd)x][(d[xd][xddx dx dx dx[(d)x][sinxxcosx][xd][xcosx]dx dx(sinxxx)x(cosxcosxx)x(xx)sinx2xcosxˆˆ都是厄米的，那么ˆˆ也是厄米的证： *(ˆˆ*ˆ*ˆd1 2 1 2 1 2(ˆ)*(ˆ)*2 1 2 1[(ˆˆ]*2 1∴ ˆˆ也是厄米的。求 ˆˆxˆˆ

ˆˆ ?x xˆˆ ?x yˆˆx

ˆˆ ?x z解：ˆˆxxˆˆx

(ˆˆz

ˆ)ˆˆ(ˆˆˆ)y x x z yˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)z x y x x z x yˆˆˆz xˆˆˆˆˆ

ˆˆ)y x=0ˆ

ˆ

(ˆˆˆ)ˆˆ(ˆˆˆ)y x x y x z x x x zˆ2ˆˆˆˆˆˆˆˆ)x z x x z x zˆ2ˆˆˆˆ2ˆˆˆ)x z x x x z(ˆˆˆˆ)ˆx x ziˆˆˆz xˆˆx

(ˆˆy

zˆˆx

)ˆˆ(ˆˆˆˆ)x x y xˆˆˆ

ˆˆ2ˆˆˆˆˆˆy x x x y x xˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆˆ2x y x x y x(ˆˆˆˆ)ˆx x yˆx

y? y

ˆˆˆy

? z

?z解：x x

(ˆˆz

ˆ)ˆˆ(ˆˆˆ)y z yˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz y z yˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz y z y=0y

(ˆˆˆ)ˆˆ(ˆˆˆ)x z x zˆˆˆˆˆˆˆˆ2ˆx z x zˆ(ˆˆˆˆ)x xizˆz

(ˆˆy

ˆˆ)ˆˆ(ˆˆˆˆ)x y xˆ2ˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆy x y xˆ(ˆˆˆˆ)x xiyˆ

L2x

的矩阵元。(L

(1 )ei(33

)eidx pp

3(1 )3

przpr epr

yzp

pr)eidz y(1)32

pr

ii e (i)(y

p yz

i )epr (i)(p

)(

)ei d33zpppypp

ypz

2

ppri(p ypz

p zpy

)()(2) (x)dxpp p x p1i i( )3ep1i i

)2eprd(1 )ei(ˆ33

y)(ˆ

)eid2

prz y

pry(1)32

i (z

)(i)(p y ypz

p zy

i)e )e

i i(i)(pypz

pzy

)( )32

pr(ˆz

)eprdy

i2(p

p )2( )3epprypz

zpy

2 2(pypz

pzpy

)2(pp)求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。2an2a解：基矢：u(x)n

sin xa22n2能量：E n

2a2对角元：xmm

xsin2 xdxa2 m 0a2 m ucosnuduucosnudu1cosnuusinnucn2n当时，mn x a(sin x)x(sin )dxmn a0 a a1axcos(m

(mxa0

a a xdx1 a2 (max (ma cos x sin x]a

(mn)22

a (ma0[ a2

cos(mn)x

ax sin(m

ax] (mn)2

a (ma 0a 1 1 a

(1)mn4mn

1 (mn)2 (mn)2 (1)mn12(m2

n2)2p

u*(x)ˆumn m

(x)dxia2sinxdsinnxdx0a a dx ai2nasinxcos

xdxa2 0 a ainasin(mn

(mxsin

xdxa2 0

a a ai a cos(mx a cos(mxaa2 (m

a (ma 0a 1 1 i

(1)mn

1] a2 (mn) (mn) (1)mn

i2mn(m2n2)asinmucosnuducos(mn)ucos(mn)uC2(mn)2(mn)求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。ˆ 1 1 2 2 1H

ˆ

2x2

2x22 2 2x2 2Hpp

*(x)ˆp

(x)dxp1 ipx

2 2 1

ipx2e

( 2x2)e dx22 22

(ip)2

1 ei(pp)xdx

2

x2ei(pp)xdx1 2 2 1 p2 1 (pp)p2 1

1 ( )2

i(pp)xe dxe2 2 2 i p2p2 1 2

i(pp)x (pp) 2( )22 2 i p2

e dxp2 1 (pp) 22 (pp2 122 2 p2p2 1 (pp) 22 (pp2 122 2 2解：连续性方程为JJt∴ J

i**2而 J

i**2i2**)i1(Tˆ**Tˆ)i∴ it

(*TˆTˆ*)it

(*TˆTˆ*)写成矩阵形式为itit

)))*TT*0设一体系未受微扰作用时有两个能级：E 及E 现在受到微扰H的作用，01 02微扰矩阵元为H H a，HH b、b都是实数用微扰公式求能量12 21至二级修正值。

11 22解：由微扰公式得En

HnnHHmn2E(2)n

'E(0)m n

E(0)m得 E

Hb E

H bE(2)

01Hm12Hm12

11 02 22 a201E(2)

E Em 01 Hm12Hm12

E E01 02 a202 E Em 02

E E02 01∴能量的二级修正值为E E1 01

b

a2E E01 02E E2 02

b

a2E E02 01计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。4e4e233c3s mk解： A r 2mk mk由选择定则1，知2s故只需计算2p的几率1 E2E121 e4 1 34 s ) s23 4 83而 r 21

x 21

y 21

z 2212p有三个状态，即 210,211, 先计算z的矩阵元 zrcos(z)

R*(r)R (r)r3dr

cosY d21m,100

0 21 101

1m 00fY*1m

Y d30033f 13m0(z)

1 f3210,1003(z) 0211,100(z) 0211,100计算x的矩阵元 xrsincos

rsin(eiei)2(x)

1R*(r)R (r)r3drY*sin(eieiY d21m,100

20 21 10 1m 002323 f2

Y*1m

(Y11

Y

)d6 1 f(6m1

)m1Y Y 1183sineiY 113sineiY Y 0014(x) 0210,100(x)(x)

211,100

1 f66 1 f661计算y的矩阵元 yrsinsin

rsin(eiei)2i(y)

1R*(r)R (r)r3drY*sin(eiei)Y 21m,100

0 21 10 1m 00231 f (2i 23

)m1i 6 1 f(i 6m1

)m1(y) 0210,1006(y) i f6211,100(y)

i f6211,1006r2

2(2f22f21f6 6 3

2)f2f 25681 6f R*(r)R (r)r3dr a81 60 21 10 01 2 1

3 r( )3/2

( )3/2 r4

2a0dr3a2a a 03a27342734231 1 256a481 6 a6a481 6

256a af2

0215a239 0

35 0 0 04e24e233c3s 21A r 22p1s 214e2 3e4 215 s ( s)3 a23c3 83 39 028 3e14 2 s37 10c3

)2e2s28 e10 s37 6c3

1.91109s 1A21

5.231010s0.52109s求线性谐振子偶极跃迁的选择定则解： Amk

r mk

x 2mkx *dxmk m k由x

1[ kk 2

k

k]2 k*m n

dxmnk12x 1[ k12mk

2 m,k

m,k1mk1时，x 0mk即选择定则为 mmk1一维无限深势阱(0xa)中的粒子受到微扰2x

a(0x )H(x)

a 2 x a2(1 ) ( xa) a 2作用，试求基态能级的一级修正。解：基态波函数（零级近似）2a2a(0)1

sinax (0xa)∴能量一级修正为

(0)0 (x0,xa)1E(1)(0)*H(0)dx1 1 12 a/2 x

2 a x 2 sin2 xdx 2(1 )sin

xdxa 0 a a a

a/2 a a2[a/2x1cosxdxa

cos

x)dxa2 0 aa x1cos

x)dx]

a/2 aa/2 a2 1 [( x

a a2 xsin x sin x)a/

a(xa2 2 a 2 a 0a 1 a a2 sin x)a ( x2 xsin x cos x)a ]a a/2 2 a 2 a a/221 [ a2

a2 a2 1 ( a

a2 )]a2 8 2 2 8 22(a2a2)(12)a2 4 2 2 2求在自旋态(S的测不准关系：1 z x y2(Sx

)2(Sy

)2?(S的矩阵表示分别为z 1 z x y2 1

0 1

ˆ 0 i(S)yzy

Sx

S 12∴

0(S态中1 z2

21 0 2i 00 11S Sx 1 x

02 1 0 2 1 0 2 2ˆ 0 10 11 2S2S2

0)

1 0

2 1 x 2

2 21 00 4(S)2x

S2Sx

224S ˆ

0 i1 S 0)

01 y 12 2

2i

0S2ˆ2

0 i0 i1 2 2 y 1 y 2

2i 02i 00 4(S)2y

S2Sy

224(Sx

)2(S)2y

416、的对易关系x y[，]x y z①(S)(S)①(S)(S)224xy16要求(Sx

)2(S)2 zy 4在 (S12

)态中，S z 2∴(Sx

)2(S )2y

416可见①式符合上式的要求。ˆ 0 1 ˆ 0 i求S

及S

的本征值和所属的本征函数。x 21 0 y 2i 0的久期方程为x 2 2

0 2( )202 2∴的本征值为。x 2

a设对应于本征值的本征函数为

12由本征方程 ，

1/2 b1x 1/2 2 1/20 1a a 1 11121 0b11

2bb a 11 ba11a b 1 111由归一化条件 1/2

1/

1，得a(a*,a*)111 1 a11 1即2a 1

1 ∴ a b 221 1222 122的本征函数为

1/2 1 a2设对应于本征值2

2的本征函数为1/2b

2 a2由本征方程

x 1/2 2

1/2b 2b a 2

2

a22a b 2 222由归一化条件，得a (a*,a*) 2 12 2 a21 1即2

21 ∴ a 2 2

b 222222 1 2 对应于本征值

2的本征函数为

1/2 1的本征值为。其相应的本征函数分别为y 21 1 1 12i 2i1

21 22 223 求自旋角动量(coscoscos方向的投影coscoscosn x y z本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出z的平均值是多少？zz

的矩阵元为n0 1cos0 icos1 0cosn 21 0 2i 0 20 1S

cos

cosicosn 2cosicos cos 其相应的久期方程为2cos2

(cosicos)2(cosicos)

2 0cos2

2 2 cos2 (cos2 cos2 ) 4 422 0 (利用cos2cos2cos224 2

的本征值为。n 2 aSn

2的本征函数的矩阵表示为1(Sn)b，则 cos

2 cosicosa a2cosicos

cos

b 2 b 2 a(cosicos)bcosbbcosicos1cos由归一化条件，得

a11 1

(a*,b*) a2b2b b2 2cosicosicos1cos

2a2121cosa221cos1cos1cos2

coscosicoscos) 1cos (S)cos 1cos1 n i 2 (S)1 n2

1cos2

2(12(1cos)cosicoscosicos2(1cos)0

01 1 cosicos2(1cos)cosicos2(1cos)2 1 12 2可见，的可能值为 z 2 2相应的几率为

1cos

cos2cos2

1cosS 1cos

21cos

cos) 2cosz 2 2 2 2 2同理可求得 对应于Sn

的本征函数为2 1cos

)

cos

2 icos1 n 2(1cos2(1cos) 在此态中，的可能值为 z 2 2相应的几率为

1cos 1cos2 2S cosz 2R 1R2323设氢的状态是

(r)Y21

(,)

(r)Y10

(,)zˆzˆ的平均值；z ze e②求总磁矩M2LSz分量的平均值（用玻尔磁矩子表示解：①ψ可改写成1 12

(r)Y

(,

13)02 3

(r)Y

(,

0)1211R

11(,)

21 3(S) R 3

(,) (S)2 21 11

1 z 2 21 10

1 z2 201344从ψ01344z相应的几率为 L z 4的可能值为 z 2 21 3相应的几率C 2为i 4 4S C2Sz i

132 4 2 4 4e e e e ② M Lz 2

Sz

24(4) e 1 M2 4 4 B子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为， ，则体系可能的状态为i j(q)(q

(q)1 i 1 i 2 i 3 (q(q(q)2 j 1 j 2 j 33 1(q(q(q)(q(q(q)3i 1 i 2 j 3 i 1 i 3 j 2(q)(q)(q)]i 2 i 3 j 13 1(q3j 1 j

)(q2 i

)

(q)(q)(q)j 1 j 3 i 2(q(q(q)]j 2 j 3 i 1设体系处 cY cY

态，求111 2 20的可能测值及其平均值。xˆ2的可能测值及相应的几率。，的可能测值。x y（解1）按照习惯的表示法Yim

,)表示角量子数为l，磁量子数m的，ˆ2,ˆ)的共x同本征函数，题材给的状态是一种ˆ2,ˆ的非本征态，在此态中去测量ˆ2,ˆ都只有不确定，x x下面假定 c1

2c2

21从,)cY cY111 2 20看出，当体系处在Y11

lx

的测值，处在Y20

lx

的测值为零。lˆ在态中的平均值xl c z 1

c2

20c 2:1（2）l也可以有两种值，体系处Y11

态中时ˆ2测值为l(l

1

22当体系处在Y 态时l2的测值为202(21)262相应的几率即表示该态的展开式项系数的复平方：c1

2，c 22l2的并态中的平均值l2c 1

6c2

22(3)态中的可能测值可以从对称性考虑来确定，当使用直角坐标表示算符x y时，有轮换对称性，由于态中l2可有二种量子数l所以将l 轮换l的x y x z x结果，知道lx

的可能测值只能是l 2，，0，，x同理，ly的可能测值也是这此值l 2，，0，，y设粒子处在宽度为a的无限深势阱中，求能量表象中粒子坐标和动量的矩阵表示。[解]一维无限深方势阱的归一化波函数是：(x)n

sinnx2aa2a这波函数是能量本征函数，任何力学量的矩阵元是：2 x xF ˆdx sin ˆsin dxmn 0

a0 a a此公式用于坐标矩阵：2x sinxsinxdx2mn a0 a a1 (m [cos

cos(mx]xdxa0

a {1(1)mn1}

(1)[m2n2]2此式不适用于对角矩阵元，后者另行推导。当m=n时，得对角矩阵元：x asin2mxxdxa ⑵mm 20 a 2动量矩阵元（非对角的）p asinxd

sindx

2n

sinxcosxdxmn 2

0 a idx a a2i 0 a a 2imn

(1)nm1) ⑶a2(n2m2)p 2n

sinxcosxdx0 ⑷mm a2i 0 a a

0xa, 0yaU(

x,y

, 其他区域

写出第一激发态的能级；问第一激发态的能级是否简度，若是简并，是几重简并？以下的线不知如何去掉？）二维无限深势阱中运动的粒子，其能级为22E (n2

n2)，n,

1,2,3...n1n2

2a2 1 2 1 2所以其基态能级为E11

，而第一激发态能级为E1222

E ，2122E E

22)（2）粒子的波函数为

12 21

2a2 2a2nnsin 1 sin 2(x,y)

a a a所以 ，第一激发态是二重简并的。12 21求一维谐振子的坐标及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。提示：可利用公式：及解：线性谐振子的能级为对应的能量本征函数 利用公式(1)（2）0xa30 质量为的粒子在一维势场U(x)

xxa中运动。设状态由波函数 (x)

4a a

)cos2(x)a描述。求）粒子能量的可能值及相应的几率）粒子的平均能量E3）写出状态在能量表象中的波函数。（1）

(x)

4a a

)cos2(x)a 1(sinsin)a a a而一维无限深势场中的能量本征函数 n

2sinnx，对应的本征值为Ea a

n2222a2所以本题中，粒子的能量的可能值是E1

22a

，E 3

22a

，出现的几率均为1/2。（2）En

|Cn

1 22|2 (2 2a2

922)2a2

222a2

（也可由

求出）（3）由（1）得， 12 1

12 31 所以，在能量表象中，

201 220000...0 0 设在 （无微扰时的哈密顿算符）表象中， 的矩阵表示为其中 , 试用微扰论求能级二级修正。解：在 表象中，求在状态

12 1

Y

1

Y1(,)3 ,) (Sz) (Sz)2 2中算符Jˆ的本征值。z解：ˆ(ˆ ˆz z z(ˆ ˆ) 1

2 Y Y z z 3

1(S

1(S

1,1(,)2 z 2 z1 2

Y

2 Y

1

Y Y 3 2

z 10

z 1 102

3 1 z 1,2

z 1 1,121 0

2(

) Y

Y

Y 3

1 2

1 1,2

2 1 1,121 3 22

2 Y1 2

Y 2 1 1,12的本征值为z 2已知厄密算符ˆ和ˆ是二行二列矩阵，且

， （1）求算符 的本征值）在A表象下求算符 的矩