第一部分矢量分析基础课件

第一部分矢量分析基础第一部分矢量分析基础1优选第一部分矢量分析基础优选第一部分矢量分析基础2本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。

矢量代数常用正交坐标系标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度拉普拉斯运算亥姆霍兹定理本章内容本章重点本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。本章内容3矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示

矢量的几何表示矢量可表示为：其中为模值，表征矢量的大小；为单位矢量，表征矢量的方向；

说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。教材上的矢量符号即采用印刷体。1.1矢量代数标量和矢量标量与矢量标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）矢量的代数表示矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示矢量的几何表示矢4矢量用坐标分量表示zxy矢量用坐标分量表示zxy5矢量代数运算矢量的加法和减法说明：1、矢量的加法符合交换律和结合律：

2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：矢量代数运算矢量的加法和减法说明：2、矢量相加和相减可用平6矢量的乘法矢量与标量相乘标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。矢量的标积（点积）说明：1、矢量的点积符合交换律和分配律：

2、两个矢量的点积为标量3、矢量的乘法矢量与标量相乘标量与矢量相乘只改变矢量大小，不7矢量的矢积（叉积）说明：1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：

2、两个矢量的叉积为矢量3、矢量运算恒等式qsinABq矢量的矢积（叉积）说明：2、两个矢量的叉积为矢量3、矢量8三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点来确定。在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。1.2三种常用的正交坐标系三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点来确9直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量10标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）标量场的等值面充满场所在的整个空间；1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。如果物理量是标量，称该场为标量场。式中：为场量最大变化率的方向上的单位矢量。矢量场的散度是标量；1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度从散度定义，可以得到：如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无旋场。(无源）意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。2、两个矢量的点积为标量圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影圆柱坐11说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：加减：标积：矢积：说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：加减：标积：矢积：12球面坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量球面坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标13说明：球面坐标系下矢量运算：

加减：标积：矢积：说明：球面坐标系下矢量运算：加减：标14坐标单位矢量之间的关系

直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系oφxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系φoθrz单位圆

柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系θθ坐标单位矢量之间的关系直角坐标与圆柱坐标与直角坐标与oφx15三种坐标系有不同适用范围：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。3、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解，如点电荷产生电场分布。三种坐标系有不同适用范围：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布16间形成的曲面。而对于无界空间（不存在边界面）：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。若矢量场分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；2)任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：例如：流速场、重力场、电场、磁场等。矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性(体密度)；2三种常用的正交坐标系点的切线方向代表了该点矢量场说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。，标量场在处沿方向为等值面方向（无改变）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）例如：流速场、重力场、电场、磁场等。在此基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。若，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为0。则将得到如下悖论：

推导此悖论并分析产生此悖论的原因。对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有课外学习实训

一、学习报告

将位于球坐标系下的P点（1，30°，90°）处的矢量

，先在直角坐标系下表示出其表达式，然后再将所得到的表达式，重新表达成球坐标系下表出。

则将得到如下悖论：

推导此悖论并分析产生此悖论的原因。在此基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。

间形成的曲面。课外学习实训

一、学习报告

171.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：

确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：1.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。时变18标量场的等值面标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。标量场的等值面标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一数19方向导数表征空间某点处标量场场值沿特定方向变化率。方向导数定义：——

的方向余弦。

方向导数物理意义：，标量场在处沿方向增加率；，标量场在处沿方向减小率；，标量场在处沿方向为等值面方向（无改变）方向导数表征空间某点处标量场场值沿特定方向变化率。方向导数20方向导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大?

最大的变化率为多少？梯度方向导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：梯度21梯度的定义式中：为场量最大变化率的方向上的单位矢量。梯度的性质标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数标量场梯度的幅度表示标量场的最大变化率标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影标量场的梯度梯度的定义式中：为场量最大变化率的方向上的单位矢量22梯度的运算直角坐标系：哈密顿算符球面坐标系：柱面坐标系：梯度的运算直角坐标系：哈密顿算符球面坐标系：柱面坐标23梯度运算相关公式式中：为常数；为坐标变量函数；梯度运算相关公式式中：为常数；为坐标变24表征空间某点处标量场场值沿特定方向变化率。定义：空间某点M处单位面元边界闭合曲线的环流：本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。为矢量沿有向曲面S的通量。1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。在此基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。标量场的等值面充满场所在的整个空间；若，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源；散度定理（矢量场的高斯定理）1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。矢量场的拉普拉斯运算标量场的等值面充满场所在的整个空间；1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。：面元法线方向，垂直于面元平面。则将得到如下悖论：

推导此悖论并分析产生此悖论的原因。该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。散度定理（矢量场的高斯定理）式中：为场量最大变化率的方向上的单位矢量。若，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为0。课外学习实训

一、学习报告

将位于球坐标系下的P点（1，30°，90°）处的矢量

，先在直角坐标系下表示出其表达式，然后再将所得到的表达式，重新表达成球坐标系下表出。1.4矢量场的通量与散度

1.矢量线意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线OM

表征空间某点处标量场场值沿特定方向变化率。1.4矢量场的25矢量场的通量

若矢量场分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：为矢量沿有向曲面S的通量。矢量场的通量问题：如何定量描述矢量场的大小？

引入通量的概念。

若S为闭合曲面

物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。

矢量场的通量若矢量场分布于空间中，在263)

1)面元矢量定义：面积很小的有向曲面。：面元面积，为微分量，无限小：面元法线方向，垂直于面元平面。说明：2)面元法向的确定方法：对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定；对闭合曲面：闭合面外法线方向关于矢量场通量的说明3)1)面元矢量定义：面积很小的有向曲面。：面27若，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的正源；若，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源；若，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为0。通过闭合面S的通量的物理意义：若，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发28、矢量场的散度散度的定义在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：即流出单位体积元封闭面的通量，体现了点M处的通量源密度。、矢量场的散度散度的定义在场空间中任意点29散度的物理意义矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性(体密度)；矢量场的散度是标量；矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度。(正源)

负源)(无源）若处处成立，则该矢量场称为无散场若，则该矢量场称为有散场，为源密度讨论：在矢量场中，散度的物理意义矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性30在直角坐标系下：在圆柱坐标系下：在球面坐标系下：散度的计算在直角坐标系下：在圆柱坐标系下：在球面坐标系下：31散度运算相关公式散度定理（矢量场的高斯定理）该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。散度运算相关公式散度定理（矢量场的高斯定理）该公式表明321.5矢量场的环流旋度磁感应线要么穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线磁场的环流：1.5矢量场的环流旋度磁感应线要磁感应线要么同时磁感33矢量的环流在场矢量空间中，取一有向闭合路径，则称沿积分的结果称为矢量沿的环流。即：线元矢量：长度趋近于0，方向沿路径切线方向。环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。反映矢量场漩涡源分布情况讨论：环量的定义矢量的环流在场矢量空间中，取一有向闭合路径，则34矢量的旋度环流面密度称为矢量场在M点处沿方向的漩涡源密度。定义：空间某点M处单位面元边界闭合曲线的环流：1)环流面密度大小与所选取的单位面元方向有关。2)任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：矢量的旋度环流面密度称为矢量场在M点处沿方向35矢量场的旋度矢量场在M点的旋度为该点处环流面密度最大时对应的矢量，模值等于M点处最大环流面密度，方向为环流密度最大的方向，表示为，即：式中：表示矢量场旋度的方向；

旋度的物理意义矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度矢量场的旋度矢量场在M点的旋度为该点处环流面密度最36

旋度的计算直角坐标系：旋度的计算直角坐标系：37柱面坐标系：球面坐标系：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零旋度计算相关公式：证明证明柱面坐标系：球面坐标系：矢量场的旋度标量场的梯度旋度计38讨论：散度和旋度比较讨论：散度和旋度比较39斯托克斯定理由旋度的定义对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有斯托克斯定理的证明：＝得证！意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。曲面的剖分方向相反大小相等抵消斯托克斯定理由旋度的定义对于有限大面积s，可将其按40若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无旋场。1.6无旋场与无散场无旋场结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩涡源)。重要性质：无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数表征矢量场，即例如：静电场若矢量场在某区域V内，处处41无散场若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无源有旋场。结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。重要性质：无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场例如，恒定磁场无散场若矢量场在某区域V内，处处42（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无散场部分（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场431.7拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：式中：称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中：在圆柱坐标系中：在球面坐标系中：1.7拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求44本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。矢量可表示为：其中(无源）为单位矢量，表征矢量的方向；1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：标量场的等值面充满场所在的整个空间；式中：为场量最大变化率的方向上的单位矢量。矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度。P(x0,y0,z0)该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。意义：形象直观地描述了矢量场的空间分圆柱坐标系下矢量运算方法：标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示意义：形象直观地描述了矢量场的空间分而对于无界空间（不存在边界面）：意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。标量场梯度的幅度表示标量场的最大变化率矢量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。矢量场的拉普拉451.8亥姆霍兹定理在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定，且任意矢量场可表示为：式中：有界区域1.8亥姆霍兹定理在有限区域内，任意矢量场由矢量场46而对于无界空间（不存在边界面）：亥姆霍兹定理表明：

1、在无界区域，矢量场可由其散度及旋度确定。

2、在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场有关。已知矢量F的通量源密度矢量F的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电、磁场散度电、磁场旋度场域边界条件亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。而对于无界空间（不存在边界面）：亥姆霍兹定理表明：147散度定理的证明：从散度定义，可以得到：则在一定体积V内的总的通量为：体积的剖分VS1S2en2en1S散度定理的证明：从散度定义，可以得到：则在一定体积V内的总的48的分布状态。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。定义：空间某点M处单位面元边界闭合曲线的环流：在场矢量空间中，取一有向闭合路径，则称沿积分的结果称为矢量沿的环流。反映矢量场漩涡源分布情况2三种常用的正交坐标系：面元面积，为微分量，无限小该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数标量场的等值面充满场所在的整个空间；矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度概念：矢量线是这样的曲线，其上每一1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：圆柱坐标系下矢量运算方法：(无源）圆柱坐标系下矢量运算方法：，标量场在处沿方向减小率；1)环流面密度大小与所选取的单位面元方向有关。对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有则将得到如下悖论：

推导此悖论并分析产生此悖论的原因。说明：球面坐标系下矢量运算：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。球坐标系中的线元、面元和体积元则将得到如下悖论：

推导此悖论并分析产生此悖论的原因。间形成的曲面。矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度圆柱坐标系下矢量运算方法：亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。直角坐标系与柱坐标系之间矢量场的拉普拉斯运算矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数矢量场的散度是标量；(无源）反映矢量场漩涡源分布情况式中：表示矢量场旋度的方向；无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数矢量可表示为：其中例如：流速场、重力场、电场、磁场等。重要的矢量恒等式的证明：返回的分布状态。概念：矢量线是这样的曲线，其上每一重要的矢量恒等49第一部分矢量分析基础第一部分矢量分析基础50优选第一部分矢量分析基础优选第一部分矢量分析基础51本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。

矢量代数常用正交坐标系标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度拉普拉斯运算亥姆霍兹定理本章内容本章重点本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。本章内容52矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示

矢量的几何表示矢量可表示为：其中为模值，表征矢量的大小；为单位矢量，表征矢量的方向；

说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。教材上的矢量符号即采用印刷体。1.1矢量代数标量和矢量标量与矢量标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）矢量的代数表示矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示矢量的几何表示矢53矢量用坐标分量表示zxy矢量用坐标分量表示zxy54矢量代数运算矢量的加法和减法说明：1、矢量的加法符合交换律和结合律：

2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：矢量代数运算矢量的加法和减法说明：2、矢量相加和相减可用平55矢量的乘法矢量与标量相乘标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。矢量的标积（点积）说明：1、矢量的点积符合交换律和分配律：

2、两个矢量的点积为标量3、矢量的乘法矢量与标量相乘标量与矢量相乘只改变矢量大小，不56矢量的矢积（叉积）说明：1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：

2、两个矢量的叉积为矢量3、矢量运算恒等式qsinABq矢量的矢积（叉积）说明：2、两个矢量的叉积为矢量3、矢量57三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点来确定。在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。1.2三种常用的正交坐标系三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点来确58直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量59标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）标量场的等值面充满场所在的整个空间；1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。如果物理量是标量，称该场为标量场。式中：为场量最大变化率的方向上的单位矢量。矢量场的散度是标量；1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度从散度定义，可以得到：如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无旋场。(无源）意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。2、两个矢量的点积为标量圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影圆柱坐60说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：加减：标积：矢积：说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：加减：标积：矢积：61球面坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量球面坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标62说明：球面坐标系下矢量运算：

加减：标积：矢积：说明：球面坐标系下矢量运算：加减：标63坐标单位矢量之间的关系

直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系oφxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系φoθrz单位圆

柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系θθ坐标单位矢量之间的关系直角坐标与圆柱坐标与直角坐标与oφx64三种坐标系有不同适用范围：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。3、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解，如点电荷产生电场分布。三种坐标系有不同适用范围：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布65间形成的曲面。而对于无界空间（不存在边界面）：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。若矢量场分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；2)任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：例如：流速场、重力场、电场、磁场等。矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性(体密度)；2三种常用的正交坐标系点的切线方向代表了该点矢量场说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。，标量场在处沿方向为等值面方向（无改变）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）例如：流速场、重力场、电场、磁场等。在此基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。若，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为0。则将得到如下悖论：

推导此悖论并分析产生此悖论的原因。对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有课外学习实训

一、学习报告

将位于球坐标系下的P点（1，30°，90°）处的矢量

，先在直角坐标系下表示出其表达式，然后再将所得到的表达式，重新表达成球坐标系下表出。

则将得到如下悖论：

推导此悖论并分析产生此悖论的原因。在此基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。

间形成的曲面。课外学习实训

一、学习报告

661.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：

确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：1.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。时变67标量场的等值面标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。标量场的等值面标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一数68方向导数表征空间某点处标量场场值沿特定方向变化率。方向导数定义：——

的方向余弦。

方向导数物理意义：，标量场在处沿方向增加率；，标量场在处沿方向减小率；，标量场在处沿方向为等值面方向（无改变）方向导数表征空间某点处标量场场值沿特定方向变化率。方向导数69方向导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大?

最大的变化率为多少？梯度方向导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：梯度70梯度的定义式中：为场量最大变化率的方向上的单位矢量。梯度的性质标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数标量场梯度的幅度表示标量场的最大变化率标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影标量场的梯度梯度的定义式中：为场量最大变化率的方向上的单位矢量71梯度的运算直角坐标系：哈密顿算符球面坐标系：柱面坐标系：梯度的运算直角坐标系：哈密顿算符球面坐标系：柱面坐标72梯度运算相关公式式中：为常数；为坐标变量函数；梯度运算相关公式式中：为常数；为坐标变73表征空间某点处标量场场值沿特定方向变化率。定义：空间某点M处单位面元边界闭合曲线的环流：本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。为矢量沿有向曲面S的通量。1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。在此基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。标量场的等值面充满场所在的整个空间；若，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源；散度定理（矢量场的高斯定理）1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。矢量场的拉普拉斯运算标量场的等值面充满场所在的整个空间；1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。：面元法线方向，垂直于面元平面。则将得到如下悖论：

推导此悖论并分析产生此悖论的原因。该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。散度定理（矢量场的高斯定理）式中：为场量最大变化率的方向上的单位矢量。若，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为0。课外学习实训

一、学习报告

将位于球坐标系下的P点（1，30°，90°）处的矢量

，先在直角坐标系下表示出其表达式，然后再将所得到的表达式，重新表达成球坐标系下表出。1.4矢量场的通量与散度

1.矢量线意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线OM

表征空间某点处标量场场值沿特定方向变化率。1.4矢量场的74矢量场的通量

若矢量场分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：为矢量沿有向曲面S的通量。矢量场的通量问题：如何定量描述矢量场的大小？

引入通量的概念。

若S为闭合曲面

物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。

矢量场的通量若矢量场分布于空间中，在753)

1)面元矢量定义：面积很小的有向曲面。：面元面积，为微分量，无限小：面元法线方向，垂直于面元平面。说明：2)面元法向的确定方法：对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定；对闭合曲面：闭合面外法线方向关于矢量场通量的说明3)1)面元矢量定义：面积很小的有向曲面。：面76若，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的正源；若，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源；若，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为0。通过闭合面S的通量的物理意义：若，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发77、矢量场的散度散度的定义在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：即流出单位体积元封闭面的通量，体现了点M处的通量源密度。、矢量场的散度散度的定义在场空间中任意点78散度的物理意义矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性(体密度)；矢量场的散度是标量；矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度。(正源)

负源)(无源）若处处成立，则该矢量场称为无散场若，则该矢量场称为有散场，为源密度讨论：在矢量场中，散度的物理意义矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性79在直角坐标系下：在圆柱坐标系下：在球面坐标系下：散度的计算在直角坐标系下：在圆柱坐标系下：在球面坐标系下：80散度运算相关公式散度定理（矢量场的高斯定理）该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。散度运算相关公式散度定理（矢量场的高斯定理）该公式表明811.5矢量场的环流旋度磁感应线要么穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线磁场的环流：1.5矢量场的环流旋度磁感应线要磁感应线要么同时磁感82矢量的环流在场矢量空间中，取一有向闭合路径，则称沿积分的结果称为矢量沿的环流。即：线元矢量：长度趋近于0，方向沿路径切线方向。环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。反映矢量场漩涡源分布情况讨论：环量的定义矢量的环流在场矢量空间中，取一有向闭合路径，则83矢量的旋度环流面密度称为矢量场在M点处沿方向的漩涡源密度。定义：空间某点M处单位面元边界闭合曲线的环流：1)环流面密度大小与所选取的单位面元方向有关。2)任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：矢量的旋度环流面密度称为矢量场在M点处沿方向84矢量场的旋度矢量场在M点的旋度为该点处环流面密度最大时对应的矢量，模值等于M点处最大环流面密度，方向为环流密度最大的方向，表示为，即：式中：表示矢量场旋度的方向；

旋度的物理意义矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度矢量场的旋度矢量场在M点的旋度为该点处环流面密度最85

旋度的计算直角坐标系：旋度的计算直角坐标系：86柱面坐标系：球面坐标系：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零旋度计算相关公式：证明证明柱面坐标系：球面坐标系：矢量场的旋度标量场的梯度旋度计87讨论：散度和旋度比较讨论：散度和旋度比较88斯托克斯定理由旋度的定义对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有斯托克斯定理的证明：＝得证！意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。曲面的剖分方向相反大小相等抵消斯托克斯定理由旋度的定义对于有限大面积s，可将其按89若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无旋场。1.6无旋场与无散场无旋场结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩涡源)。重要性质：无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数表征矢量场，即例如：静电场若矢量场在某区域V内，处处90无散场若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无源有旋场。结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。重要性质：无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场例如，恒定磁场无散场若矢量场在某区域V内，处处91（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无散场部分（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场921.7拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：式中：称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中：在圆柱坐标系中：在球面坐标系中：1.7拉普拉斯运