大学高等数学经典课件36

(4)求出曲线的全部渐近线(5)需要时可由曲线的方程计算出一些适当的点的坐标.(6)列表表示上述讨论的结果,在坐标系里画出渐近线和控制点(各种特殊点,包括极值顶点,拐点等),再根据单调性与凹凸性,可确定曲线的走向,画出该曲线.例5作出例4中函数的图形(4)求出曲线的全部渐近线例5作出例4中函数的图形(1)定义域为x≠1的实数;当x=1时为间断点,x=0时y=-9/4,y=0,x=3曲线与两条坐标轴的交点为(0,-9/4),(3,0)(2)(1)定义域为x≠1的实数;当x=1时为间断点,(2)令y’=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,3把函数的定义域分成四个区域:曲线在(-∞,-1],[3,+∞)之内y’>0,函数单调上升;曲线在[-1,1),(1,3]内y’<0函数单调下降.函数在x=-1时,它从左到右,一阶导数由大到小(变号)有极大值y(-1)=-2;函数在x=3时它从左到右,一阶导数由小到大(变号)有极小值y(3)=0令y’=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,(3)当x<1时,y”<0,曲线上凸,当x>1时,y”>0,曲线下凹,没有拐点.x=1时,函数没有定义,但y”不存在.函数值为无穷大.因此x=1不是点.(3)当x<1时,y”<0,曲线上凸,当x>1时,y”>0,(4)渐近线为x=1和y=x/4-5/4所以x=1是曲线的竖直渐近线是曲线的斜渐近线(5)函数没有始点和终点,为此我们作一些辅助点(2,1/4),(4,1/12)(-2,-25/12)(4)渐近线为x=1和y=x/4-5/4所以x=1是曲线yxx=14y=x-5x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,3)3(3,+∞)y’+0--不存在--0+y”------不存在+++y---2---∞,+∞+0+综合上面的讨论,列表如下:yxx=14y=x-5x(-∞,-1)-1下面我们研究三个问题(1)利用导数证明不等式.(2)证明某些等式.(3)方程根的进一步讨论.(1)利用导数证明不等式利用导数证明不等式是常考的题型.主要的方法有:10利用导数定义证明.20利用微分中值定理;30利用函数的单调性;下面我们研究三个问题(1)利用导数证明不等式40利用极值(或最值);50利用泰勒公式.60利用函数的凹凸性证明

20利用微分中值定理若函数f(x)有一二阶导数,而要证的不等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或不等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若不等式两端或一端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯西中值定理证.40利用极值(或最值);20利用微分中值例2证明不等式证明：把lna乘以各式,得到例2证明不等式证明：把lna乘以各式,得到区间[1/(n+1),1/n]上的增量,可以对f(x)使用拉格朗日中值定理,有f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)因为是函数f(x)=ax在区间[1/(n+1),1/n]上的增量,可以对f(x)使用拉大学高等数学经典课件36大学高等数学经典课件36例3例3大学高等数学经典课件3630利用函数的单调性当要证的不等式两端是给定的两个表达式,或不等式一端或两端含f(x),且知道f’(x)>0(或f”(x)>0)则常需要用单调性证.解：:为证不等式,只要证例4当x>0时,证明不等式30利用函数的单调性解：:为证不等式,只要证例4当x>其辅助函数为其辅助函数为所以当x>0时,f(3)(x)严格单调增加,即f”(x)>f”(0)(x>0)从而f’(x)严格单调增加,于是当x>0时f’(x)>f’(0)=0所以当x>0时,f(3)(x)严格单调增加,即f”(x)例5设f”(x)<0,f(0)=0,证明当0<a≤b时,f(a+b)<f(a)+f(b)函数f’(x)严格单调减少证明:要证明f(a+b)<f(a)+f(b)就只要证f(a+b)-f(b)<f(a)-f(0)例5设f”(x)<0,f(0)=0,证明当0<a≤b大学高等数学经典课件3640利用函数的极值与最值例6对任意实数x,证明不等式40利用函数的极值与最值例6对任意实数x,证明不大学高等数学经典课件36例7设f(x)在[a,b]上二次可微,且对任意x∈(a,b),有|f”(x)|≤M,又f(a)=f(b),证明50利用泰勒公式若已知函数f(x)在某区间上有二阶以上的导数,在证不等式时常用泰勒公式.例7设f(x)在[a,b]上二次可微,且对任意x∈(a,大学高等数学经典课件36大学高等数学经典课件3660利用函数的凹凸性证明函数的凹凸性主要用于证明二元不等式例8证明当x>0,y>0时,xlnx+ylny>(x+y)ln(x+y)/260利用函数的凹凸性证明例8证明当x>0,y>0时,xl(2)证明某些等式利用导数证明等式常用10罗尔定理(要证明某个函数或一个式子等于0或其导数等于0时).20拉格朗日定理.30柯西定理.关于用2或3的情况是若函数f(x)有一二阶导数,而要证的等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若等式两端或一端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯西中值定理证.

(2)证明某些等式关键是建立辅助函数:通常用移项(把等式一端的项全移到另一端)或把等式变形,或变形后再移项或变形后用逆推的方法.解:辅助函数为例9设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使f’(ξ)+λf(ξ)=0,这里的λ是任意实数.关键是建立辅助函数:通常用移项(把等式一端的项全移解:根据连续函数的性质可知,φ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内也可导.满足罗尔定理,在(a,b)内至少存在一点ξ例10设f(x)在[a,b]上连续(0<a<b),在(a,b)内可导,证明在(a,b)内存在ξη,使得根据连续函数的性质可知,φ(x)在[a,b]上连续,在(a,(3).证明方程的根的存在性与个数方程的根可以看成函数的零点,为了利用函数的连续性质及导数理论,通常把方程的根的讨论转化为函数的零点讨论.关于方程根的证明,主要有两种情况(1)证明方程在某区间内至少有一个或几个根

1.利用介值定理证明方程根的存在性(3).证明方程的根的存在性与个数(1)证明方程在某区间内至例11由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+∞)内各有一个根.xyY=lnx1例11由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+∞)内各有2.利用罗尔定理证明方程根的存在性这个方法是作一个在指定区间上满足罗尔定理条件的辅助函数,把根的存在性转化为该辅助函数的导函数的零点的存在性.例12设实数a0,a1,a2,a3,…an,满足关系式证明方程a0+a1x+a2x2+…+anxn=0在(0,1)内至少有一个根.2.利用罗尔定理证明方程根的存在性例12设实数a0,大学高等数学经典课件36(2).证明方程在给定的区间内有唯一的根或最多有几个根证明的步骤和方法如下:

方法有:㈠利用函数的单调增减性;㈡用反证法,通常可利用罗尔定理,拉格朗日定理导出矛盾.2.再证唯一性或最多有几个根.方法有:㈠利用连续性函数的介值定理;㈡利用罗尔定理.1.先证存在性(2).证明方程在给定的区间内有唯一的根或最多有几个根方法例13设f(x)在[0,1]上可导,且0<f(x)<1,又对于(0,1)内所有的x,f’(x)≠-1,证明方程f(x)=1-x在(0,1)内有唯一的实根.证明:先证存在性.令φ(x)=f(x)+x-1,则φ(x)在[0,1]上可导,因为0<f(x)<1,所以φ(0)=f(0)-1<0,φ(1)=f(1)>0,由介值定理知φ(x)在[0,1]内至少有一个零点.即方程f(x)=1-x在(0,1)内至少有一个根.例13设f(x)在[0,1]上可导,且0<f(x)<1,再证唯一性.用反证法.设方程f(x)=1-x在(0,1)内有两个根x1,x2.不妨设0<x1<x2<1.即f(x1)=1-x1,f(x2)=1-x2.对f(x),在[x1,x2][0,1]上应用拉格朗日中值定理,有ξ∈(x1,x2),使这与假设f’(x)≠-1矛盾,故唯一性得证.再证唯一性.这与假设f’(x)≠-1矛盾,有些同学是这样做的:其实(下面是按的微分展开)与1相比,并没有近似为0.所以上面的解法和精确的值相差较大.应该是这样做:计算的近似值有些同学是这样做的:其实(下面是按(4)求出曲线的全部渐近线(5)需要时可由曲线的方程计算出一些适当的点的坐标.(6)列表表示上述讨论的结果,在坐标系里画出渐近线和控制点(各种特殊点,包括极值顶点,拐点等),再根据单调性与凹凸性,可确定曲线的走向,画出该曲线.例5作出例4中函数的图形(4)求出曲线的全部渐近线例5作出例4中函数的图形(1)定义域为x≠1的实数;当x=1时为间断点,x=0时y=-9/4,y=0,x=3曲线与两条坐标轴的交点为(0,-9/4),(3,0)(2)(1)定义域为x≠1的实数;当x=1时为间断点,(2)令y’=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,3把函数的定义域分成四个区域:曲线在(-∞,-1],[3,+∞)之内y’>0,函数单调上升;曲线在[-1,1),(1,3]内y’<0函数单调下降.函数在x=-1时,它从左到右,一阶导数由大到小(变号)有极大值y(-1)=-2;函数在x=3时它从左到右,一阶导数由小到大(变号)有极小值y(3)=0令y’=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,(3)当x<1时,y”<0,曲线上凸,当x>1时,y”>0,曲线下凹,没有拐点.x=1时,函数没有定义,但y”不存在.函数值为无穷大.因此x=1不是点.(3)当x<1时,y”<0,曲线上凸,当x>1时,y”>0,(4)渐近线为x=1和y=x/4-5/4所以x=1是曲线的竖直渐近线是曲线的斜渐近线(5)函数没有始点和终点,为此我们作一些辅助点(2,1/4),(4,1/12)(-2,-25/12)(4)渐近线为x=1和y=x/4-5/4所以x=1是曲线yxx=14y=x-5x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,3)3(3,+∞)y’+0--不存在--0+y”------不存在+++y---2---∞,+∞+0+综合上面的讨论,列表如下:yxx=14y=x-5x(-∞,-1)-1下面我们研究三个问题(1)利用导数证明不等式.(2)证明某些等式.(3)方程根的进一步讨论.(1)利用导数证明不等式利用导数证明不等式是常考的题型.主要的方法有:10利用导数定义证明.20利用微分中值定理;30利用函数的单调性;下面我们研究三个问题(1)利用导数证明不等式40利用极值(或最值);50利用泰勒公式.60利用函数的凹凸性证明

20利用微分中值定理若函数f(x)有一二阶导数,而要证的不等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或不等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若不等式两端或一端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯西中值定理证.40利用极值(或最值);20利用微分中值例2证明不等式证明：把lna乘以各式,得到例2证明不等式证明：把lna乘以各式,得到区间[1/(n+1),1/n]上的增量,可以对f(x)使用拉格朗日中值定理,有f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)因为是函数f(x)=ax在区间[1/(n+1),1/n]上的增量,可以对f(x)使用拉大学高等数学经典课件36大学高等数学经典课件36例3例3大学高等数学经典课件3630利用函数的单调性当要证的不等式两端是给定的两个表达式,或不等式一端或两端含f(x),且知道f’(x)>0(或f”(x)>0)则常需要用单调性证.解：:为证不等式,只要证例4当x>0时,证明不等式30利用函数的单调性解：:为证不等式,只要证例4当x>其辅助函数为其辅助函数为所以当x>0时,f(3)(x)严格单调增加,即f”(x)>f”(0)(x>0)从而f’(x)严格单调增加,于是当x>0时f’(x)>f’(0)=0所以当x>0时,f(3)(x)严格单调增加,即f”(x)例5设f”(x)<0,f(0)=0,证明当0<a≤b时,f(a+b)<f(a)+f(b)函数f’(x)严格单调减少证明:要证明f(a+b)<f(a)+f(b)就只要证f(a+b)-f(b)<f(a)-f(0)例5设f”(x)<0,f(0)=0,证明当0<a≤b大学高等数学经典课件3640利用函数的极值与最值例6对任意实数x,证明不等式40利用函数的极值与最值例6对任意实数x,证明不大学高等数学经典课件36例7设f(x)在[a,b]上二次可微,且对任意x∈(a,b),有|f”(x)|≤M,又f(a)=f(b),证明50利用泰勒公式若已知函数f(x)在某区间上有二阶以上的导数,在证不等式时常用泰勒公式.例7设f(x)在[a,b]上二次可微,且对任意x∈(a,大学高等数学经典课件36大学高等数学经典课件3660利用函数的凹凸性证明函数的凹凸性主要用于证明二元不等式例8证明当x>0,y>0时,xlnx+ylny>(x+y)ln(x+y)/260利用函数的凹凸性证明例8证明当x>0,y>0时,xl(2)证明某些等式利用导数证明等式常用10罗尔定理(要证明某个函数或一个式子等于0或其导数等于0时).20拉格朗日定理.30柯西定理.关于用2或3的情况是若函数f(x)有一二阶导数,而要证的等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若等式两端或一端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯西中值定理证.

(2)证明某些等式关键是建立辅助函数:通常用移项(把等式一端的项全移到另一端)或把等式变形,或变形后再移项或变形后用逆推的方法.解:辅助函数为例9设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使f’(ξ)+λf(ξ)=0,这里的λ是任意实数.关键是建立辅助函数:通常用移项(把等式一端的项全移解:根据连续函数的性质可知,φ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内也可导.满足罗尔定理,在(a,b)内至少存在一点ξ例10设f(x)在[a,b]上连续(0<a<b),在(a,b)内可导,证明在(a,b)内存在ξη,使得根据连续函数的性质可知,φ(x)在[a,b]上连续,在(a,(3).证明方程的根的存在性与个数方程的根可以看成函数的零点,为了利用函数的连续性质及导数理论,通常把方程的根的讨论转化为函数的零点讨论.关于方程根的证明,主要有两种情况(1)证明方程在某区间内至少有一个或几个根

1.利用介值定理证明方程根的存在性(3).证明方程的根的存在性与个数(1)证明方程在某区间内至例11由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+∞)内各有一个根.xyY=lnx1例11由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+∞)内各有2.利用罗尔定理证明方程根的存在性这个方法是作一个在指定区间上满足罗尔定理条件的辅助函数,把根的存在性转化为该辅助函数的导函数的零点的存在性.例12设实数a0,a1,a2,a3,…an,满足关系式证明方程a0+a1x+a