专题03立体几何中的动点问题和最值问题(原卷版+解析)

1/3专题03立体几何中的动点和最值问题题型一立体几何中的动点问题1．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，下列说法正确的是A．直线直线 B．过点的的平面，则平面截正方体所得的截面周长为 C．若线段上有一动点，则到直线的距离的最小值为 D．动点在侧面及其边界上运动，且，则与平面成角正切的取值范围是2．如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法正确的是A．对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线 B．对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线 C．当点从运动到的过程中，二面角的大小不变 D．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大3．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的有A．当点运动时，总成立 B．当向运动时，二面角逐渐变小 C．二面角的最小值为 D．三棱锥的体积为定值4．如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，点是线段上的动点，则A．无论点在线段上如何移动，都有异面直线，的夹角为 B．三棱锥的体积为108 C．直线与所成角的余弦值 D．直线与平面所成最大角的余弦值为5．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有A．存在点使得异面直线与所成角为 B．存在点使得异面直线与所成角为 C．存在点使得二面角的平面角为 D．当时，平面截正方体所得的截面面积为6．已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是A．与一定不垂直 B．二面角的正弦值是 C．的面积是 D．点到平面的距离是常量7．在长方体中，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则A．平面 B．三棱锥的体积为4 C．存在点，使得 D．线段的长度的取值范围为，8．已知正方体棱长为2，如图，为上的动点，平面．下面说法正确的是A．直线与平面所成角的正弦值范围为 B．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．已知为中点，当的和最小时，为的中点9．如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为A． B． C．2 D．10．在正三棱柱中，，点满足，其中，，，，则A．当时，△的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面11．如图，已知四边形为直角梯形，为矩形，平面平面，，，，．（1）若点为中点，求证：平面；（2）若点为线段上一动点，求与平面所成角的取值范围．12．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且．（1）求证：；（2）当取得最大值时，求二面角的余弦值．题型二立体几何中的最值问题13．在四面体中，是边长为2的正三角形，，二面角的大小为，则下列说法正确的是A． B．四面体的体积的最大值为 C．棱的长的最小值为 D．四面体的外接球的表面积为14．已知长方体的高，，，，则当最大时，二面角的余弦值为A． B． C． D．15．如图，在棱长为4的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点．当平面与底面所成的锐二面角最小时，．16．四棱锥的底面是边长为的菱形，面，，，分别是，的中点．（1）求证：平面平面；（2）是上的动点，与平面所成的最大角为，求二面角的余弦值．17．如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，其中，，，，，分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）当点在线段上移动时，求直线与平面所成角正弦的最大值．18．如图，矩形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，，，是上异于，的动点．（1）证明：平面平面；（2）设和平面所成角为，求的最大值．19．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？20．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．21．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，与平面所成角为，为上一点且．（1）证明：；（2）设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面所成二面角的余弦值的最大值．22．如图，四边形为直角梯形，其中，，，为腰上的一个动点．为等腰直角三角形，，平面平面．（1）求证：；（2）当直线与平面所成角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．1/31专题03立体几何中的动点和最值问题题型一立体几何中的动点问题1．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，下列说法正确的是A．直线直线 B．过点的的平面，则平面截正方体所得的截面周长为 C．若线段上有一动点，则到直线的距离的最小值为 D．动点在侧面及其边界上运动，且，则与平面成角正切的取值范围是【解答】解：对于，，，，、平面，平面，平面，直线与直线不垂直，故错误；对于，如图1，取，的中点、，连接、、．因为，，由三垂线定理得，，所以平面，所以截正方体所得的截面为，故周长为，故错误；对于，如图过构造平面与平行，即到直线的距离的最小值，，故正确；对于，如图3，取的中点，因为，，所以平面，故点轨迹为．在正方形中，当与重合时，最大，当时，最小．所以因为平面，所以为与平面所成角，则与平面成角正切的取值范围是，故正确．故选：．2．如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法正确的是A．对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线 B．对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线 C．当点从运动到的过程中，二面角的大小不变 D．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大【解答】解：对任意动点，在平面内只要与平行的直线，即可与平面平行，所以不正确；对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线，不正确；因为二面角的大小不变是锐角，所以不正确；当点从运动到的过程中，二面角的大小不变，由二面角的定义可知，命题是真命题，正确；当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大，不正确；因为是定值，三角形的面积是定值，所以点到平面的距离不变，所以不正确；故选：．3．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的有A．当点运动时，总成立 B．当向运动时，二面角逐渐变小 C．二面角的最小值为 D．三棱锥的体积为定值【解答】解：对于，易证平面，所以，同理可证，从而平面，所以恒成立，正确；对于，平面即平面，而平面即平面，所以当向运动时，二面角的大小不变，错误；对于，当点从的中点向点运动时，平面逐渐向底面靠拢，这个过程中，二面角越来越小，所以二面角的最小值为，正确；对于，因为，点到平面的距离为，所以体积为，即体积为定值，正确．故选：．4．如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，点是线段上的动点，则A．无论点在线段上如何移动，都有异面直线，的夹角为 B．三棱锥的体积为108 C．直线与所成角的余弦值 D．直线与平面所成最大角的余弦值为【解答】解：在正方体中，易证面，又平面，所以，所以异面直线，的夹角为，则正确；，则错误；在棱上取点，使，连结，，（如图），则易知为直线与所成角或其补角，可得，，，则，则直线与所成角的余弦值为，则正确；由题意知三棱锥为棱长为的正四面体，作平面，为垂足，则为正的中心，且为直线与平面所成角，所以，当点移动到的中点时，最短，如图，此时最小，最大，此时，则正确．故选：．5．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有A．存在点使得异面直线与所成角为 B．存在点使得异面直线与所成角为 C．存在点使得二面角的平面角为 D．当时，平面截正方体所得的截面面积为【解答】解：对于，连接、，交于，连接，取点为时，连接，因为、，所以平面，又因为平面，所以，所以对；对于，因为，所以异面直线与所成角就是，因为，所以错；对于，因为二面角的平面角为，因为，所以错；对于，取中点，连接，过作，交于，交于，连接、，，，，．所以对．故选：．6．已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是A．与一定不垂直 B．二面角的正弦值是 C．的面积是 D．点到平面的距离是常量【解答】解：对于，当与点重合时，，故选项错误；对于，由于点是棱上的动点，是棱上的一条线段，所以平面即平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，4，，所以，平面即平面，设平面的法向量为，则，即，令，则，同理可求得平面的法向量为，设二面角为，所以，故，故选项正确；对于，由于平面，又平面，所以，所以，所以是的高，所以，故选项正确；对于，由于，且平面，平面，所以平面，又点在上，所以点到平面的距离为常量，故选项正确．故选：．7．在长方体中，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则A．平面 B．三棱锥的体积为4 C．存在点，使得 D．线段的长度的取值范围为，【解答】解：平面平面，平面，平面，故正确；，故错误；连接，作交于，连接，平面，为与平面所成的角，平面，为与平面所成角．直线，与平面所成角的大小相等，，则，又，，则点在的中垂线上，即点在线段上运动，当点与点重合时，，故正确；，为棱上靠近的三等分点，，，则，，，当点在点或点处时，线段的长度取得最大值，最大值为，当点在点处时，线段的线段取得最小值，最小值为，线段的长度的取值范围为，，故正确．故选：．8．已知正方体棱长为2，如图，为上的动点，平面．下面说法正确的是A．直线与平面所成角的正弦值范围为 B．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．已知为中点，当的和最小时，为的中点【解答】解：对于选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点，0，、，2，，设点，2，，平面，则为平面的一个法向量，且，，，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，选项正确；对于选项，当与重合时，连接、、、，在正方体中，平面，平面，，四边形是正方形，则，，平面，平面，，同理可证，，平面，易知△是边长为的等边三角形，其面积为，周长为．设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则△的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，选项错误；对于选项，设平面交棱于点，0，，点，2，，，平面，平面，，即，得，，0，，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，1，，，而，，且，由空间中两点间的距离公式可得，，，所以，四边形为等腰梯形，选项正确；对于选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：若最短，则、、三点共线，，，，所以，点不是棱的中点，选项错误．故选：．9．如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为A． B． C．2 D．【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，3，，，则，0，，，3，，，0，，，3，，，，，平面的法向量，1，，，，解得，，3，，与平面所成的角为，，当时，取最大值为．此时，的最大值为：．故选：．10．在正三棱柱中，，点满足，其中，，，，则A．当时，△的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面【解答】解：对于，当时，，即，所以，故点在线段上，此时△的周长为，当点为的中点时，△的周长为，当点在点处时，△的周长为，故周长不为定值，故选项错误；对于，当时，，即，所以，故点在线段上，因为平面，所以直线上的点到平面的距离相等，又△的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项正确；对于，当时，取线段，的中点分别为，，连结，因为，即，所以，则点在线段上，当点在处时，，，又，所以平面，又平面，所以，即，同理，当点在处，，故选项错误；对于，当时，取的中点，的中点，因为，即，所以，则点在线的上，当点在点处时，取的中点，连结，，因为平面，又平面，所以，在正方形中，，又，，平面，故平面，又平面，所以，在正方体形中，，又，，平面，所以平面，因为过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点，使得平面，故选项正确．故选：．11．如图，已知四边形为直角梯形，为矩形，平面平面，，，，．（1）若点为中点，求证：平面；（2）若点为线段上一动点，求与平面所成角的取值范围．【解答】证明：（1）平面平面，平面平面，面且，面．建立空间直角坐标系如图，则，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，，，．，，，故，．，，又，，面，故面；解：（2）由（1）知，，设，则，，，，设平面的法向量为，由，取，则，故平面的一个法向量为．设与平面所成角为，．当时取最大值，当时取最小值．故与平面所成角的取值范围为，．12．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且．（1）求证：；（2）当取得最大值时，求二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图，建立空间直角坐标系，设，，则，0，，，2，，，2，，，，，，2，，，，，，．（2）由（1）得，，当或时，取得最大值为2，当时，点与点重合，即，0，，点与点重合，即，2，，，2，，，0，，，，，设平面的一个法向量为，，，则，取，得，1，，设平面的一个法向量，，，则，取，得，1，，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为．当时，点与点重合，点与点重合，同理可得二面角的余弦值为．综上，当取得最大值时，二面角的余弦值为．题型二立体几何中的最值问题13．在四面体中，是边长为2的正三角形，，二面角的大小为，则下列说法正确的是A． B．四面体的体积的最大值为 C．棱的长的最小值为 D．四面体的外接球的表面积为【解答】解：对于，假设，设的中点为，因为三角形为正三角形，则，又，，平面，故平面，又平面，故，而题中并不能得到，故假设不成立，所以不垂直，故选项错误；对于，要使的最大，只需高最大，故的最大值为，故选项正确；对于，由选项中可知，此时也最小，故的最小值为，故选项正确；对于，设的外心为，为的中点，，设过与平面垂直的直线为，过作于点，则外接球球心在上，只需，又，，设，由，可得，解得，所以，所以四面体的外接球的表面积为，故选项正确．故选：．14．已知长方体的高，，，，则当最大时，二面角的余弦值为A． B． C． D．【解答】解：长方体的高，，，，当最大时，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，0，，，，，，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，平面的法向量，0，，设二面角的平面角为，结合图形得为钝角，则．二面角的余弦值为．故选：．15．如图，在棱长为4的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点．当平面与底面所成的锐二面角最小时，．【解答】解：以为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设，则，0，，，4，，，3，，，0，，所以，设平面的法向量为，则有，即，令，则，，故，平面的一个法向量为，设平面与底面所成的锐二面角为，则，锐二面角越小，则越大，所以求的最小值，令，所以当时，有最小值，此时．故答案为：．16．四棱锥的底面是边长为的菱形，面，，，分别是，的中点．（1）求证：平面平面；（2）是上的动点，与平面所成的最大角为，求二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：底面是边长为的菱形，，故，，，由，所以，故，，又，所以，又平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，故平面平面；（2）连接，则由（1）知，平面，则为直线与平面所成的角，在中，，当最小时，即时，取得最大值，此时，设，则由得，，解得，根据题意，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，，，，0，，，，，设平面的法向量为，由，得，又平面的法向量为，由，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．17．如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，其中，，，，，分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）当点在线段上移动时，求直线与平面所成角正弦的最大值．【解答】解：依题意可得，，两两垂直，故以为原点建立空间直角坐标系（如图），，0，，，0，，，4，，，0，，，0，，，4，，（1），0，，，0，，，，，，，，，且，面．（2）设，，，0，，4，，，，，，0，，设面的法向量为，，，由，可取，3，，则直线与平面所成角正弦值为，当时，取得最小值1，此时的值最大为．即直线与平面所成角正弦的最大值为．18．如图，矩形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，，，是上异于，的动点．（1）证明：平面平面；（2）设和平面所成角为，求的最大值．【解答】（1）证明：由题意可知，平面平面，且平面平面，又，平面，故平面，又平面，所以，因为是上异于，的动点，且为直径，所以，又，，平面，所以平面，又平面，故平面平面；（2）解：过点作，交于点，连接，，由平面平面，且平面平面，所以平面，则为与平面所成角，即，不妨设，，所以，则由射影定理可得，，又，所以，故，令，故，当且仅当时取等号，所以的最大值为．19．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？【解答】（1）证明：连接，，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，，，，，，，，即，故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，设，则，0，，，2，，，1，，，即．（2）解：平面，平面的一个法向量为，0，，由（1）知，，1，，，1，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，，，，，，当时，面与面所成的二面角的余弦值最大，此时