2019年4月浙江省普通高校招生学考数学试卷

2019年4月浙江省普通高校招生学考数学试卷2019年4月浙江省普通高校招生学考数学试卷2019年4月浙江省普通高校招生学考数学试卷xxx公司2019年4月浙江省普通高校招生学考数学试卷文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度2019年4月浙江省普通高校招生学考数学试卷一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）1．（3分）函数y＝log3（x﹣2）的定义域为（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞0} C．{x|x＜2} D．R2．（3分）直线y＝﹣2x+6的斜率为（）A．2 B．﹣2 C． D．3．（3分）下列点中，在不等式3x+2y﹣6＞0表示的平面区域内的是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（1，1） D．（1，2）4．（3分）设{an}为等差数列，若a2＝2，a3＝3，则a5＝（）A．4 B．5 C．6 D．75．（3分）若α为锐角，，则cosα＝（）A． B． C． D．6．（3分）椭圆右焦点的坐标为（）A．（1，0） B．（，0） C．（，0） D．（2，0）7．（3分）已知函数f（x）＝﹣x3，则（）A．f（x）是偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数 B．f（x）是偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数 C．f（x）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数 D．f（x）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数8．（3分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且PD＝DB．若M为线段PB的中点，则直线DM与平面ABCD所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°9．（3分）若向量＝（x，4）与＝（2，1）垂直，则实数x的值为（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣810．（3分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝1，A＝30°，B＝45°，则b的值为（）A． B． C． D．211．（3分）已知m，n是空间两条直线，α是一个平面，则“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．（3分）若双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（）A． B．1 C． D．213．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．2π C． D．14．（3分）已知函数f（x）＝，若f（x）＝4，则x的值为（）A．2或﹣2 B．2或3 C．3 D．515．（3分）设{an}为等比数列，给出四个数列：①{2an}；②{an2}；③；④{log2|an|}，其中一定为等比数列的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④16．（3分）函数f（x）＝（3ax﹣b）2的图象如图所示，则（）A．a＞0且b＞1 B．a＞0且0＜b＜1 C．a＜0且b＞1 D．a＜0且0＜b＜117．（3分）已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足a+b＞c+d，且|a﹣b|＜|c﹣d|，则下列选项正确的是（）A．a2+b2＞c2+d2 B．|a2﹣b2|＜|c2﹣d2| C．+＜+ D．|﹣|＜|﹣|18．（3分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，且∠APB1＝∠ADB1，则点P的轨迹为（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）19．（6分）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，则A∩B＝；A∪B＝．20．（3分）已知实数x，y满足x2+4y2＝2，则xy的最大值为．21．（3分）已知A，B为圆C上两点，若AB＝2，则的值为．22．（3分）正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝．若对于任意的n∈N*，都有an＞k成立，则整数k的最大值为．三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23．（10分）已知函数f（x）＝2sinxsin（x+）（x∈R）．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若y＝f（x+φ）（0＜φ＜）为偶函数，求φ的值．24．（10分）如图，不垂直于坐标轴的直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）有且只有一个公共点M．（Ⅰ）当M的坐标为（2，2）时，求p的值及直线l的方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2＝1相切于点N，求|MN|的最小值．25．（11分）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．（Ⅰ）若a＝﹣1，b＝2，求f（x）的定义域；（Ⅱ）当a＝1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠﹣1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．

2019年4月浙江省普通高校招生学考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）1．（3分）函数y＝log3（x﹣2）的定义域为（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞0} C．{x|x＜2} D．R【分析】由函数定义域的求法得：要使函数有意义，则需x﹣2＞0，解得：x＞2，得解【解答】解：要使函数有意义，则需x﹣2＞0，解得：x＞2，即函数的定义域为：，故选：A．【点评】本题考查了函数定义域的求法及解一元一次不等式，属简单题2．（3分）直线y＝﹣2x+6的斜率为（）A．2 B．﹣2 C． D．【分析】根据题意，由直线的斜截式方程直接分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线的方程为y＝﹣2x+6，则其斜率为﹣2；故选：B．【点评】本题考查直线的斜截式方程的应用，涉及直线的斜率，属于基础题．3．（3分）下列点中，在不等式3x+2y﹣6＞0表示的平面区域内的是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（1，1） D．（1，2）【分析】将点的坐标代入不等式进行验证即可．【解答】解：当x＝1，y＝2时，3+4﹣6＝1＞0，即点D（1，2）位于不等式对应的平面区域内，故选：D．【点评】本题主要考查点与平面区域的关系，利用代入法是解决本题的关键．4．（3分）设{an}为等差数列，若a2＝2，a3＝3，则a5＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】{an}为等差数列，a2＝2，a3＝3可求d，将d代入等差数列的通项公式，即可求a5【解答】解：{an}为等差数列，因为所以d＝1，a3﹣a2＝1，所以a5＝a3+2d＝5，故选：B．【点评】本题考查等差数列的项的计算，属基础题．5．（3分）若α为锐角，，则cosα＝（）A． B． C． D．【分析】直接利用同角三角函数基本关系式求解．【解答】解：∵α为锐角，且，∴cosα＝．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6．（3分）椭圆右焦点的坐标为（）A．（1，0） B．（，0） C．（，0） D．（2，0）【分析】利用椭圆的标准方程确定几何量，即可得到双曲线的右焦点的坐标．【解答】解：∵椭圆，∴a2＝2，b2＝1∴c2＝a2﹣b2＝1，∴c＝1∴椭圆的右焦点坐标为（1，0）故选：A．【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（3分）已知函数f（x）＝﹣x3，则（）A．f（x）是偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数 B．f（x）是偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数 C．f（x）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数 D．f（x）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即可得函数f（x）为奇函数，求出其导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝﹣x3，有f（﹣x）＝﹣（﹣x）3＝x3＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；又由f′（x）＝﹣3x2，则f′（x）≤0在R上恒成立，则f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数单调性的判断方法，属于基础题．8．（3分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且PD＝DB．若M为线段PB的中点，则直线DM与平面ABCD所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】取BD的中点N，连接MN，可证MN⊥平面ABCD，在Rt△MND中计算tan∠MDB即可得出结论．【解答】解：取BD的中点N，连接MN，∵M，N分别是PB，BD的中点，∴MN∥PD，∵PD⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MDB为直线DM与平面ABCD所成的角，∵tan∠MDB＝＝＝＝1，∴∠MDB＝45°．故选：B．【点评】本题考查了直线与平面所成的角的计算，作出线面角是关键．9．（3分）若向量＝（x，4）与＝（2，1）垂直，则实数x的值为（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．【解答】解：∵；∴；∴x＝﹣2．故选：B．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．10．（3分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝1，A＝30°，B＝45°，则b的值为（）A． B． C． D．2【分析】由sinA，sinB，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的长．【解答】解：∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，A＝30°，B＝45°，∴由正弦定理：，得：b＝＝＝，故选：C．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．11．（3分）已知m，n是空间两条直线，α是一个平面，则“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质进行判断即可．【解答】解：m，n是空间两条直线，α是一个平面，则“m⊥α，n⊥α”则能推出“m∥n，但是由m∥n不能m⊥α，n⊥α，也可能m∥α，n∥α，故“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．12．（3分）若双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（）A． B．1 C． D．2【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a＝b，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，由两条渐近线互相垂直，可得﹣•＝﹣1，可得a＝b，即有c＝＝a，可得离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．13．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．2π C． D．【分析】由三视图得到几何体是半个球与倒放的圆锥的组合体．【解答】解：由三视图得到几何体是半个球与倒放圆锥的组合体，其中球的半径为1，圆锥的高为2，所以体积为××π×13+×12π×2＝；故选：A．【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．14．（3分）已知函数f（x）＝，若f（x）＝4，则x的值为（）A．2或﹣2 B．2或3 C．3 D．5【分析】根据题意，由函数的解析式分2种情况讨论：当|x|≤1时，f（x）＝x2＝4，当|x|＞1时，f（x）＝x+1＝4，求出x的值，验证是否符合题意，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，当|x|≤1时，f（x）＝x2＝4，解可得x＝±2，不符合题意，当|x|＞1时，f（x）＝x+1＝4，解可得x＝3，符合题意，故x＝3；故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用以及函数值的计算，注意分析函数解析式的形式，属于基础题．15．（3分）设{an}为等比数列，给出四个数列：①{2an}；②{an2}；③；④{log2|an|}，其中一定为等比数列的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【分析】根据等比数列的通项公式，分别验证即可．【解答】解：{an}为等比数列，设其公比为q，则通项为，所以对于①，2an是以2a1为首项，以q为公比的等比数列，对于②，为常数，又因为≠0，故②为等比数列，对于③，＝，不一定为常数，对于④，＝，不一定为常数，故选：A．【点评】本题查了等比数列的判断，属于基础题．16．（3分）函数f（x）＝（3ax﹣b）2的图象如图所示，则（）A．a＞0且b＞1 B．a＞0且0＜b＜1 C．a＜0且b＞1 D．a＜0且0＜b＜1【分析】分别取特殊值，根据函数的零点和函数值的变化趋势即可判断【解答】解：当a＝1时，b＝2时，f（x）＝（3x﹣2）2，当x＝log32时，f（x）＝0，故A不符合，当a＝1时，b＝﹣时，f（x）＝（3x﹣）2，当x→+∞时，f（x）→+∞，故B不符合，当a＝﹣1时，b＝2时，f（x）＝（（）x﹣2）2，当x＝﹣log32时，f（x）＝0，此时符合，当a＝﹣1时，b＝时，f（x）＝（（）x﹣）2，当x＝log32时，f（x）＝0，此时不符合，故选：C．【点评】本题考查了函数图象的识别，考查了指数对数函数和指数函数的性质，属于基础题17．（3分）已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足a+b＞c+d，且|a﹣b|＜|c﹣d|，则下列选项正确的是（）A．a2+b2＞c2+d2 B．|a2﹣b2|＜|c2﹣d2| C．+＜+ D．|﹣|＜|﹣|【分析】取特值排除．【解答】解：取a＝6，b＝5，c＝2，d＝8可排除A，C；取a＝7，b＝4，c＝2．d＝6可排除B；故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，排除法，属基础题．18．（3分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，且∠APB1＝∠ADB1，则点P的轨迹为（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，可得点P在对角面A1BCD1内，根据∠APB1＝∠ADB1，可得点P的轨迹为以PB1为母线，AB1所在直线为高对圆锥对底面圆上．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，则点P在对角面A1BCD1内，∵∠APB1＝∠ADB1，则点P的轨迹为以PB1为母线，AB1所在直线为高对圆锥对底面圆上．因此点P的轨迹为圆．故选：B．【点评】本题考查了空间位置关系、圆锥与圆的定义、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）19．（6分）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，则A∩B＝{2}；A∪B＝{1，2，3}．【分析】利用交集、并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，∴A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}．故答案为：{2}，{1，2，3}．【点评】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（3分）已知实数x，y满足x2+4y2＝2，则xy的最大值为．【分析】利用基本不等式即可求出结果．【解答】解：实数x，y满足x2+4y2＝2，则2＝x2+4y2≥4|xy|，当且仅当|x|＝2|y|时取等号即|xy|≤，∴﹣≤xy≤故xy的最大值为，故答案为：【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．21．（3分）已知A，B为圆C上两点，若AB＝2，则的值为2．【分析】由圆的性质得出cos∠CAD＝＝，由数量积的定义可得答案．【解答】解：如图所示：在直角三角形ACD中，cos∠CAD＝＝，而•＝AB×AC×cos∠CAD＝2×AC×＝2．故答案为：2【点评】本题考查数量积的求解，涉及圆的知识和数量积的定义，属基础题．22．（3分）正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝．若对于任意的n∈N*，都有an＞k成立，则整数k的最大值为1．【分析】根据可求得，进而得到an的通项公式，根据通项公式可证得数列{an}为递减数列，可求得，由此得到k的最大值为1．【解答】解：当n＝1时，，解得，当n≥2且n∈N*时，由得：，即，整理得：⇒，即＝，∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝＝＝，因为满足，∴，则，∴＝＝＝，∵，∴，即，∴an+1﹣an＜0，即数列{an}为递减数列，又＝＝1，∴an＞1，则整数k的最大值为1．故答案为：1．【点评】本题考查数列综合应用问题，关键是能够利用Sn求得an的通项公式，进一步证明得到数列为递减数列，从而通过极限求得结果，难点是对于数列是递减数列的证明上，对计算能力要求较高．三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23．（10分）已知函数f（x）＝2sinxsin（x+）（x∈R）．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若y＝f（x+φ）（0＜φ＜）为偶函数，求φ的值．【分析】（Ⅰ）直接在函数解析式中取x＝0求解；（Ⅱ）利用诱导公式及倍角公式变形，再由周期公式求周期；（Ⅲ）由y＝f（x+φ）＝sin（2x+2φ）为偶函数，可得对任意实数x都有sin2xcos2φ＝0，即cos2φ＝0，再结合φ的范围求解．【解答】解：（Ⅰ）由，得f（0）＝2sin0sin；（Ⅱ）∵＝2sinxcosx＝sin2x，∴f（x）的最小正周期为π；（Ⅲ）∵y＝f（x+φ）＝sin（2x+2φ）为偶函数，∴对任意x∈R都有sin（﹣2x+2φ）＝sin（2x+2φ），即﹣sin2xcos2φ+cos2xsin2φ＝sin2xcos2φ+cos2xsin2φ，即sin2xcos2φ＝0，∴cos2φ＝0，∵0＜φ＜，∴φ＝．【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．24．（10分）如图，不垂直于坐标轴的直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）有且只有一个公共点M．（Ⅰ）当M的坐标为（2，2）时，求p的值及直线l的方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2＝1相切于点N，求|MN|的最小值．【分析】（1）将M点坐标代入抛物线方程，可得到p的值已以及抛物线的方程，设出直线方程，根据直线与抛物线相切，联立直线和抛物线的方程，消去x，令△＝0可得直线方程．（2）设出直线方程，根据直线和抛物线相切，直线与圆相切，将参数减少的一个，再根据|MN|2＝|OM|2﹣|ON|2将|MN|表示成参数的函数，求最值即可．【解答】解：（1）点M（2，2）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，故有22＝4p，所以p＝1，从而抛物线的方程为y2＝2x，设直线l的方程为x＝m（y﹣2）+2，代入y2＝2x，得y2﹣2my+4m﹣4＝0．由l与抛物线相切可知，△＝4m2﹣4（4m﹣4）＝0，解得m＝2，所以直线l的方程为x＝2（y﹣2）+2，即y＝．（2）设直线l的方程为x＝my+t（m≠0），代入y2＝2px得y2﹣2pmy﹣2