二轮复习第2讲三角变换与解三角形课件

第2讲三角变换与解三角形1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）cos（±）=coscossinsin.（2）sin（±）=sincos±cossin.（3）tan（±）=2.二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin2=2sincos.（2）cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2.（3）tan2=第2讲三角变换与解三角形13.三角恒等式的证明方法（1）从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简.（2）等式的两边同时变形为同一个式子.（3）将式子变形后再证明.4.正弦定理（2R为△ABC外接圆的直径).变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.sinA=,sinB=,sinC=.

a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.3.三角恒等式的证明方法25.余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,

c2=a2+b2-2b2cosC.推论：cosA=,cosB=,cosC=.变形：b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,

a2+b2-c2=2abcosC.5.余弦定理36.面积公式

S△ABC=bcsinA=acsinB=absinC.7.解三角形（1）已知两角及一边，利用正弦定理求解.（2）已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.（3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.（4）已知三边，利用余弦定理求解.6.面积公式4一、两角和与差的三角函数公式的应用例1（1）已知0<<<<,且cos（-）=-,sin（）=,求cos（）的值；（2）已知,∈（0,），且tan（）=,tan=，求2的值.思维启迪（1）（-）-（）=；（2）=（）+,2=+（）.

解（1）二轮复习第2讲三角变换与解三角形课件5二轮复习第2讲三角变换与解三角形课件6二轮复习第2讲三角变换与解三角形课件7

探究提高（1）注意角的变换，（2）先由tan=tan，求tan的值，再求tan2的值，这样能缩小角2的取值范围；（3）善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化.探究提高（1）注意角的变换，8变式训练

1（2008·广东理,16）已知函数f（x）=Asin（x+）（A>0,0<<）（x∈R）的最大值是1，其图象经过点M（1）求f（x）的解析式；（2）已知、∈，且f（）=，f（）=，求f（）的值.

解（1）依题意知A=1,则f（x）=sin（x+）.将点M代入得sin而0<<,变式训练1（2008·广东理,16）已知函数f（x）=9二轮复习第2讲三角变换与解三角形课件10二、正、余弦定理的应用例2已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A-sin2C）=（a-b）sinB.（1）求角C；（2）试求△ABC的面积S的最大值.

思维启迪题设中的条件等式是△ABC中角、边及外接圆半径R的混合关系式，因此，可以利用正、余弦定理将其统一为一种元素（边或角）.正弦定理角化边余弦定理求角C表示出△ABC的面积进而求出最值→→二、正、余弦定理的应用正弦定理余弦定理表示出△ABC的面积11

解（1）由2R（sin2A-sin2C）=（）sinB，两边同乘以2R，得（2RsinA）2-（2RsinC）2=(a-b)2RsinB,根据正弦定理，得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.再由余弦定理，得cosC=,又0<C<,∴C=.（2）解（1）由2R（sin2A-sin2C）=（12探究提高正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用.本例中将三角形面积S表示为cos(A-B)的形式，利用三角函数的知识求解是关键.二轮复习第2讲三角变换与解三角形课件13

变式训练2（2009·北京理，15）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，B=,cosA=,b=.（1）求sinC的值;（2）求△ABC的面积.

解（1）因为角A、B、C为△ABC的内角，且

B=,cosA=,所以C=-A,sinA=.变式训练2（2009·北京理，15）在△ABC中，14（2）由（1）知sinA=,sinC=.又因为B=,b=,所以在△ABC中，由正弦定理得a=于是△ABC的面积S=absinC

（2）由（1）知sinA=,sinC=.15三、解三角形及实际应用例3如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC

是等腰直角三角形，∠ACB=90°,BD交AC于E,

AB=2.（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE.

思维启迪（1）根据△ACD是等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，可求出∠CBE的确切值，然后再由两角差的余弦公式求解；（2）求AE的长度，可在△AEB中由正弦定理求出.三、解三角形及实际应用16

解（1）因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC

=CD,∴∠CBE=15°.∴cos∠CBE=cos（45°-30°）=.（2）在△ABE中,AB=2,由正弦定理

故AE=解（1）因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=17

探究提高（1）在三角形中考查三角函数式的变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它的两重性:其一，作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的途径；其二，它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口.（2）在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦值为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值.探究提高（1）在三角形中考查三角函数式的变换，是近几18变式训练3（2009·辽宁理，17）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km，试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离（计算结果精确到0.01km,≈1.414，≈2.449）.变式训练3（2009·辽宁理，17）如图，A、B、C、19解在△ACD中，∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1，又∠BCD=180°-60°-60°=60°,故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA.在△ABC中，,所以AB故B、D的距离约为0.33km.≈0.33（km）.解在△ACD中，∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠D20规律方法总结1.二倍角的变形公式（1）1±sin=（sin±cos）2.（2）1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2.（3）cos2=2.acosx+bsinx=，其中tan=.3.证明三角恒等式的常用方法（1）从一边开始证它等于另一边，一般由繁到简.

（2）证明左右两边都等于同一个式子（或值）.规律方法总结21（3）运用分析法，证明其等式成立.4.三角恒等变形的基本思路（1）“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧.“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”.（2）角的变换是三角变换的核心，如=(+)-,2=(+)+(-)等.5.已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况以已知a,b,A为例（1）当A为直角或钝角时，若a>b，则有一解；若a≤b，则无解.（3）运用分析法，证明其等式成立.22（2）当A为锐角时，如下表：

6.三角形中的常用结论（1）三角形内角和定理：A+B+C=π.（2）A>B>Ca>b>csinA>sinB>sinC.（3）a=bcosC+ccosB.7.在△ABC中，三边分别为a,b,c（a≤b≤c）（1）若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形.a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥b无解一解两解一解（2）当A为锐角时，如下表：a<bsinAa=bsinA23（2）若a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形.（3）若a2+b2<c2，则△ABC为钝角三角形.8.解斜三角形应用题的一般步骤（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）.（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解这些三角形，求得数学模型的解.（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得到实际问题的解.（2）若a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形.24一、选择题1.（2008·浙江理，8）cos+2sin=-,则tan等于（）A.B.2C.D.-2

解析

方法一由已知得sin（+）=-（其中tan=）,即有sin（+）=-1,所以+=2k-,,所以tan=tanBB25方法二方法二262.（2009·潍坊调研）已知则cos+sin等于（）A.B.C.D.

解析D2.（2009·潍坊调研）已知273.若cos（-）cos+sin（-）sin=-，又∈（）,则cos的值为（）A.B.C.D.解析C3.若cos（-）cos+sin（-）s284.（2009·安徽理，8）已知函数f（x）=sinx+cosx（>0）,y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于,则f（x）的单调递增区间是（）A.B.

C.D.4.（2009·安徽理，8）已知函数f（x）=sin29解析

f（x）=sinx+cosx=2sin.因为函数y=f（x）的图象与y=2的两个相邻交点的距离为,故函数y=f（x）的周期为,所以,即=2.所以f（x）=2sin.令2k-答案C解析f（x）=sinx+cosx=2sin305.（2008·福建理，10）在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=ac，则角B的值为（）A.B.C.D.

解析∵（a2+c2-b2）tanB=ac,∴·tanB=，即cosB·tanB=sinB=.∵0<B<,∴角B的值为D5.（2008·福建理，10）在△ABC中,角A、B、C的31二、填空题6.满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是

.

解析如图，设BC=a，则AC=a,二、填空题32

∴S△ABC

∴S△ABC最大值答案

∴S△ABC∴S△ABC最大值答案337.（2009·江苏，4）函数y=Asin(x+)(A、、为常数，A>0,>0)在闭区间［-,0］上的图象如图所示，则=

.

解析由函数y=Asin（x+）的图象可知：37.（2009·江苏，4）函数y=Asin(x+)348.若f（x）=asin+bsin（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是

.（注：只要填满足a+b=0的一组数字即可）

解析当a=1，b=-1时，满足a+b=0.此时，y=sin-sin

=cosx，为偶函数.（1，-1）8.若f（x）=asin+bsin（35三、解答题9.（2009·青岛模拟）已知函数f（x）=m·n，其中

m=(sinx+cosx，cosx）,n=(cosx-sinx,2sinx），其中>0，若f（x）相邻两对称轴间的距离大于等于.（1）求的取值范围；（2）在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，a=,b+c=3，当最大时，f（A）=1,求△ABC的面积.三、解答题36

解（1）f（x）=m·n=cos2

x-sin2

x+2cosx·sinx=2sin（2x+）.∵>0，∴函数f（x）的周期T=，由题意可知,解得0<≤1，即的取值范围是{|0<≤1}.（2）由（1）可知的最大值为1，∴f（x）=2sin（2x+）.∵f（A）=1,∴sin（2A+）=.解（1）f（x）=m·n=cos2x-sin237S△ABC=S△ABC=3810.（2009·重庆理，16）设函数f（x）=sin-2cos2

x+1.（1）求f（x）的最小正周期;（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线

x=1对称，求当x∈时，y=g（x）的最大值.

解（1）f（x）=sinxcos-cosxsin-cosx=故f（x）的最小正周期为10.（2009·重庆理，16）设函数f（x）=sin39（2）方法一在y=g（x）的图象上任取一点（x,

g（x））,它关于x=1的对称点为（2-x,g（x））.由题设条件，点（2-x,g（x））在y=f（x）的图象上，从而g（x）=f（2-x）=当0≤x≤时，≤x+≤,因此y=g（x）在区间上的最大值为g（x）max=（2）方法一在y=g（x）的图象上任取一点（x,40方法二因区间关于x=1的对称区间为，且y=g（x）与y=f（x）的图象关于x=1对称，故y=g（x）在上的最大值即为y=f（x）在上的最大值.由（1）知f（x）,当≤x≤2时，-≤x-≤.因此y=g（x）在上的最大值为g（x）max=sin=返回方法二因区间关于x=1的对称区间为，41第2讲三角变换与解三角形1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）cos（±）=coscossinsin.（2）sin（±）=sincos±cossin.（3）tan（±）=2.二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin2=2sincos.（2）cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2.（3）tan2=第2讲三角变换与解三角形423.三角恒等式的证明方法（1）从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简.（2）等式的两边同时变形为同一个式子.（3）将式子变形后再证明.4.正弦定理（2R为△ABC外接圆的直径).变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.sinA=,sinB=,sinC=.

a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.3.三角恒等式的证明方法435.余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,

c2=a2+b2-2b2cosC.推论：cosA=,cosB=,cosC=.变形：b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,

a2+b2-c2=2abcosC.5.余弦定理446.面积公式

S△ABC=bcsinA=acsinB=absinC.7.解三角形（1）已知两角及一边，利用正弦定理求解.（2）已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.（3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.（4）已知三边，利用余弦定理求解.6.面积公式45一、两角和与差的三角函数公式的应用例1（1）已知0<<<<,且cos（-）=-,sin（）=,求cos（）的值；（2）已知,∈（0,），且tan（）=,tan=，求2的值.思维启迪（1）（-）-（）=；（2）=（）+,2=+（）.

解（1）二轮复习第2讲三角变换与解三角形课件46二轮复习第2讲三角变换与解三角形课件47二轮复习第2讲三角变换与解三角形课件48

探究提高（1）注意角的变换，（2）先由tan=tan，求tan的值，再求tan2的值，这样能缩小角2的取值范围；（3）善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化.探究提高（1）注意角的变换，49变式训练

1（2008·广东理,16）已知函数f（x）=Asin（x+）（A>0,0<<）（x∈R）的最大值是1，其图象经过点M（1）求f（x）的解析式；（2）已知、∈，且f（）=，f（）=，求f（）的值.

解（1）依题意知A=1,则f（x）=sin（x+）.将点M代入得sin而0<<,变式训练1（2008·广东理,16）已知函数f（x）=50二轮复习第2讲三角变换与解三角形课件51二、正、余弦定理的应用例2已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A-sin2C）=（a-b）sinB.（1）求角C；（2）试求△ABC的面积S的最大值.

思维启迪题设中的条件等式是△ABC中角、边及外接圆半径R的混合关系式，因此，可以利用正、余弦定理将其统一为一种元素（边或角）.正弦定理角化边余弦定理求角C表示出△ABC的面积进而求出最值→→二、正、余弦定理的应用正弦定理余弦定理表示出△ABC的面积52

解（1）由2R（sin2A-sin2C）=（）sinB，两边同乘以2R，得（2RsinA）2-（2RsinC）2=(a-b)2RsinB,根据正弦定理，得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.再由余弦定理，得cosC=,又0<C<,∴C=.（2）解（1）由2R（sin2A-sin2C）=（53探究提高正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用.本例中将三角形面积S表示为cos(A-B)的形式，利用三角函数的知识求解是关键.二轮复习第2讲三角变换与解三角形课件54

变式训练2（2009·北京理，15）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，B=,cosA=,b=.（1）求sinC的值;（2）求△ABC的面积.

解（1）因为角A、B、C为△ABC的内角，且

B=,cosA=,所以C=-A,sinA=.变式训练2（2009·北京理，15）在△ABC中，55（2）由（1）知sinA=,sinC=.又因为B=,b=,所以在△ABC中，由正弦定理得a=于是△ABC的面积S=absinC

（2）由（1）知sinA=,sinC=.56三、解三角形及实际应用例3如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC

是等腰直角三角形，∠ACB=90°,BD交AC于E,

AB=2.（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE.

思维启迪（1）根据△ACD是等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，可求出∠CBE的确切值，然后再由两角差的余弦公式求解；（2）求AE的长度，可在△AEB中由正弦定理求出.三、解三角形及实际应用57

解（1）因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC

=CD,∴∠CBE=15°.∴cos∠CBE=cos（45°-30°）=.（2）在△ABE中,AB=2,由正弦定理

故AE=解（1）因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=58

探究提高（1）在三角形中考查三角函数式的变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它的两重性:其一，作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的途径；其二，它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口.（2）在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦值为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值.探究提高（1）在三角形中考查三角函数式的变换，是近几59变式训练3（2009·辽宁理，17）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km，试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离（计算结果精确到0.01km,≈1.414，≈2.449）.变式训练3（2009·辽宁理，17）如图，A、B、C、60解在△ACD中，∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1，又∠BCD=180°-60°-60°=60°,故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA.在△ABC中，,所以AB故B、D的距离约为0.33km.≈0.33（km）.解在△ACD中，∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠D61规律方法总结1.二倍角的变形公式（1）1±sin=（sin±cos）2.（2）1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2.（3）cos2=2.acosx+bsinx=，其中tan=.3.证明三角恒等式的常用方法（1）从一边开始证它等于另一边，一般由繁到简.

（2）证明左右两边都等于同一个式子（或值）.规律方法总结62（3）运用分析法，证明其等式成立.4.三角恒等变形的基本思路（1）“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧.“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”.（2）角的变换是三角变换的核心，如=(+)-,2=(+)+(-)等.5.已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况以已知a,b,A为例（1）当A为直角或钝角时，若a>b，则有一解；若a≤b，则无解.（3）运用分析法，证明其等式成立.63（2）当A为锐角时，如下表：

6.三角形中的常用结论（1）三角形内角和定理：A+B+C=π.（2）A>B>Ca>b>csinA>sinB>sinC.（3）a=bcosC+ccosB.7.在△ABC中，三边分别为a,b,c（a≤b≤c）（1）若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形.a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥b无解一解两解一解（2）当A为锐角时，如下表：a<bsinAa=bsinA64（2）若a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形.（3）若a2+b2<c2，则△ABC为钝角三角形.8.解斜三角形应用题的一般步骤（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）.（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解这些三角形，求得数学模型的解.（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得到实际问题的解.（2）若a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形.65一、选择题1.（2008·浙江理，8）cos+2sin=-,则tan等于（）A.B.2C.D.-2

解析

方法一由已知得sin（+）=-（其中tan=）,即有sin（+）=-1,所以+=2k-,,所以tan=tanBB66方法二方法二672.（2009·潍坊调研）已知则cos+sin等于（）A.B.C.D.

解析D2.（2009·潍坊调研）已知683.若cos（-）cos+sin（-）sin=-，又∈（）,则cos的值为（）A.B.C.D.解析C3.若cos（-）cos+sin（-）s694.（2009·安徽理，8）已知函数f（x）=sinx+cosx（>0）,y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于,则f（x）的单调递增区间是（）A.B.

C.D.4.（2009·安徽理，8）已知函数f（x）=sin70解析

f（x）=sinx+cosx=2sin.因为函数y=f（x）的图象与y=2的两个相邻交点的距离为,故函数y=f（x）的周期为,所以,即=2.所以f（x）=2sin.令2k-答案C解析f（x）=sinx+cosx=2sin715.（2008·福建理，10）在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=ac，则角B的值为（）A.B.C.D.

解析∵（a2+c2-b2）tanB=ac,∴·tanB=，即cosB·tanB=sinB=.∵0<B<,∴角B的值为D5.（2008·福建理，10）在△ABC中,角A、B、C的72二、填空题6.满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是

.

解析如图，设BC=a，则AC=a,二、填空题73

∴S△ABC

∴S△ABC最大值答案

∴S△ABC∴S△ABC最大值答案747.（2009·江苏，4）函数y=Asin(x+)(A、、为常数，A>0,>0)在闭区间［-