2020高中数学 课时素养评价二十九 直线与直线垂直 2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14-学必求其心得，业必贵于专精课时素养评价二十九直线与直线垂直（25分钟·50分)一、选择题（每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）1.(2019·宿迁高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AD，D1D的中点，则异面直线MN与AC所成的角大小为A。30° B.60° C.75° D.90°【解析】选B。如图,连接AD1，由M，N分别为棱AD，D1D的中点,得MN∥AD1,所以∠D1AC即为异面直线MN与AC所成的角,连接D1C,则△AD1C为等边三角形,可得∠所以异面直线MN与AC所成的角大小为60°。2。如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°,AC=4，BC=3,AB=BB1,则异面直线A1B与B1C1A.210 B。C.3210 【解析】选C.因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°，AC=4，BC=3,AB=BB1，BC∥B1C1所以∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角因为A1B=AA(32+A1C=AA12+所以cos∠A1BC=A1B2+B3。如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910。则AA。3 B.52 C.2 D.【解析】选A.连接BC1，A1C1，因为AD1∥BC1所以异面直线A1B与AD1所成角为∠A1BC1.令AA1=t,则A1B=BC1=t2+1,A1C1cos∠A1BC1=(=2t22(t2+1)=910所以AA4.（多选题)如图，在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形，则在下列说法中,正确的为 ()A.AC⊥BDB。AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°【解析】选ABD。因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN,QM∥PN，则PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA,所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确;综上C是错误的.二、填空题（每小题4分，共8分）5.（2019·重庆高一检测）在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2，M,N分别为AA1,BB1的中点,则异面直线BM与C1N所成角的余弦值为________【解析】如图,连接A1N，则A1N∥BM,所以∠A1NC1为异面直线BM与C1N所成角，在正三棱柱ABC—A1B1C1中,因为AB=AA1=2，M,N分别为AA1，BB1的中点所以A1N=C1N=5，在△A1NC1中，由余弦定理可得：cos∠A1NC1=5+5-42即异面直线BM与C1N所成角的余弦值为35答案：36。(2019·深圳高一检测）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M为B1C1的中点,连接A1B，D1M,则异面直线A1B和D1【解析】如图,连接CD1，CM，由A1D1∥BC,A1D1=BC,可得四边形A1BCD1为平行四边形,则A1B∥CD1，所以∠CD1M为异面直线A1B和D1M由正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1的中点,得D1M=MC=52,CD在△CMD1中,由余弦定理可得，cos∠CD1M=54+2-542×52×2=答案：10三、解答题（共26分）7。(12分）正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点,求异面直线BE与PA所成的角的余弦值.【解析】连接AC，BD相交于O,连接OE，则O为AC的中点，因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线,则OE12PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角,设四棱锥的棱长为1，则OE=12PA=12,OB=12BD=2则cos∠OEB=OE2+BE8。（14分）如图,四棱锥P-ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD=6,AB=AD=PD=3,E为PC的中点。(1)求证：BE∥平面ADP.（2)求异面直线PA与CB所成角.【解析】(1）取PD的中点为F，连接EF，AF,则在△PCD中,EF∥CD且EF=12由已知AB∥CD且AB=12CD，所以AB∥EF且AB=EF,所以四边形ABEF为平行四边形所以BE∥AF,而AF⊂平面ADP,BE⊄平面PAD，所以BE∥平面ADP。（2)取CD中点G,连接AG,PG，所以AB∥GC且AB=GC,所以四边形ABCG为平行四边形，所以BC∥AG,所以∠PAG（或其补角)为PA与CB所成角,由题意得PA=AG=PG=32，所以∠PAG=60°,所以PA与CB所成角为60°。（15分钟·30分)1.(4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,AD=2，AB=3，则异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为A。210 B。310 C。25【解析】选A.如图，连接AD1,则AD1∥BC1,所以∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角，因为AA1=1，AD=2，AB=3,所以AB1=10,B1D1=13，AD1=5。在△B1AD1中，cos∠B1AD1=5+10-132×5×10=210.所以异面直线2。（4分）(2019·济南高一检测)已知正四面体ABCD，M，N分别是棱AB与CD的中点,则直线MN与直线AC所成角的大小为 (）A.30° B.45° C。60° D。135°【解析】选B。取AD中点为E,连接ME,EN，易得∠MNE为所求,又易得△EMN为等腰直角三角形,所以∠MNE=45°.3.（4分）如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°,点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点,若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是________【解析】取BC的中点D,连接D1F1，F1所以D1B∥DF1,所以∠DF1A就是BD1与AF1所成角或其补角设BC=CA=CC1=2，则AD=5，AF1=5，DF1=6。在△DF1Acos∠DF1A=(6)答案：304。(4分）如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为BC的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________。

【解析】取BC的中点H,连接EH，AH，∠EHA=90°,设AB=2，则BH=HE=1,AH=5,所以AE=6,连接ED，ED=6，因为BC∥AD,所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD,在△EAD中cos∠EAD=6+4-62答案：65.（14分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AB=AA1,且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，求证AC⊥【证明】由已知条件,构造直四棱柱ABDC-A1B1D1C1,满足条件AC=AB=AA1∠ACC1=90°，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°,连接DC1,AD，如图，则∠AC1D是异面直线AC1与A1B所成的角，所以∠AC1D=60°,所以AD=AC1=DC1,又AC=AB=AA1,所以△ACC1≌△ACD，又∠ACC1=90°，所以∠ACD=90°，所以∠CAB=90°，所以AC⊥AB。【加练·固】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1=2，E为棱CC1的中点(1)求异面直线AE与BC1所成角的大小。（2)求三棱锥B1—ADE的体积.【解析】(1）取BC的中点F,连接EF,AF,因为EF∥BC1，所以∠AEF(或其补角）为异面直线AE与BC1所成角,又AE=AC2+CE所以cos∠AEF=AE2+又0<∠AEF〈π，所以异面直线AE与BC1所成角的大小为π4(2)取BB1的中点H,连接EH，则EH∥AD，则VB1-ADE=VD-AB1H=1.如图，在四面体A—BCD中,AC=BD=a,对棱AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点，则线段MN的长为________。

【解析】取BC的中点E，连接EN,EM，因为M为AB的中点，所以ME∥AC，且ME=12AC=a同理得,EN∥BD，且EN=a2所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角，在△MEN中,EM=EN,若∠MEN=60°，则△MEN为等边三角形，所以MN=a2若∠MEN=120°,可得MN=32答案：a2或32。如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点(1)求证：AD1∥平面DOC1。(2)求异面直线AD1和OC1所成角的大小。【解析】（1)如图,连接D1C交DC1于点O1连接OO1,因为O，