2020高中数学 课时达标训练（六）数列的性质和递推公式（含解析）5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE10学必求其心得，业必贵于专精课时达标训练（六)数列的性质和递推公式［即时达标对点练]题组1数列的函数性质1．已知数列｛an｝的通项公式是an＝eq\f(2n,n＋1)，那么这个数列是（)A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列解析：选A法一：∵an＋1＝eq\f(2（n＋1）,n＋2）,∴an＋1－an＝eq\f（2（n＋1）,n＋2)－eq\f(2n,n＋1）＝eq\f(2（n＋1)2－2n（n＋2）,（n＋1）（n＋2）)＝eq\f(2,（n＋1）（n＋2）)〉0，∴{an}是递增数列．法二：∵数列{an}各项均为正，又an＋1＝eq\f(2（n＋1),n＋2)，∴eq\f(an＋1，an）＝eq\f（\f（2（n＋1）,n＋2)，\f（2n，n＋1）)＝eq\f（2(n＋1)2，2n（n＋2）)＝eq\f(n2＋2n＋1,n2＋2n)>1，∴｛an}是递增数列．2．已知数列{an}满足a1>0，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,3）(n∈N*），则数列{an｝是________数列（填“递增”或“递减")．解析:由已知a1>0,an＋1＝eq\f（1，3）an(n∈N＊)，得an〉0（n∈N＊)．又an＋1－an＝eq\f(1,3）an－an＝－eq\f(2,3）an<0，所以{an}是递减数列．答案：递减3。如果数列{an｝为递增数列，且an＝n2＋λn（n∈N＊），则实数λ的取值范围为________．解析:因为{an｝为递增数列，所以an＋1>an。即（n＋1)2＋λ(n＋1）>n2＋λn。∴λ>－2n－1.即λ〉－3,故实数λ>－3。答案：（－3，＋∞)题组2数列的最大（小）项4．数列{an｝中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是()A．103B．108eq\f（1，8）C．103eq\f(1,8）D．108解析：选D根据题意结合二次函数的性质可得，an＝－2n2＋29n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n2－\f（29,2）n))＋3＝－2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(n－\f(29,4）））eq\s\up12（2）＋3＋eq\f(29×29，8)。所以n＝7时,an＝108为最大值．5．设an＝－n2＋10n＋11，数列{an}从首项到第m项的和最大,则m的值是________．解析：令an＝－n2＋10n＋11≥0,则0〈n≤11。∴a1>0,a2〉0，…，a10〉0，a11＝0。∴m＝10或11.答案：10或11题组3由递推公式求数列中的项6．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(）A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋（n＋1），n∈N＊，n≥2D．an＝an－1＋（n－1）,n∈N*，n≥2解析：选B逐项验证可知B选项合适．7．数列｛an}满足a1＝2,an＋1an＋an＋1－an＋1＝0，则a2019＝（）A．2B.eq\f（1，3）C．－eq\f（1,2)D．－3解析：选C由an＋1an＋an＋1－an＋1＝0得an＋1＝eq\f（an－1，an＋1)，由a1＝2得a2＝eq\f(2－1，2＋1）＝eq\f（1，3）,a3＝eq\f(\f（1，3）－1，\f（1,3)＋1)＝－eq\f（1，2），a4＝eq\f(－\f(1，2）－1，－\f(1,2）＋1)＝－3，a5＝eq\f(－3－1,－3＋1)＝2,…，∴{an｝是周期为4的数列，而2019＝504×4＋3，∴a2019＝a3＝－eq\f(1，2).故选C。8．已知数列{an｝的第1项是2,以后的各项由公式an＝eq\f(an－1,1－an－1）(n＝2，3,4,…）给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列｛an｝的通项公式．解：可依次代入项数进行求值．a1＝2，a2＝eq\f（2，1－2)＝－2，a3＝eq\f（－2,1－（－2））＝－eq\f(2，3）,a4＝eq\f(－\f(2,3），1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（2，3)）))＝－eq\f(2，5)，a5＝eq\f(－\f（2,5），1－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2，5)）)）＝－eq\f（2,7）.即数列｛an}的前5项为2,－2，－eq\f(2，3），－eq\f（2，5）,－eq\f(2，7）。也可写为eq\f(－2，－1），eq\f（－2,1），eq\f（－2，3），eq\f(－2，5），－eq\f(2，7).即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，所以an＝－eq\f（2,2n－3）（n∈N*）．题组4由递推公式求数列的通项公式9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－an－3＝0，则{an}的通项公式为（)A．an＝3n＋2B．an＝3n－2C．an＝3n－1D．an＝3n＋1解析：选C因为a1＝2，an＋1－an－3＝0，所以an－an－1＝3,an－1－an－2＝3，an－2－an－1＝3，…a2－a1＝3,以上各式相加，则有an－a1＝(n－1)×3，所以an＝2＋3（n－1）＝3n－1。10．已知数列｛an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(2an，an＋2)（n∈N*），试探究数列{an}的通项公式．解:法一：将n＝1，2,3，4依次代入递推公式得a2＝eq\f（2，3）,a3＝eq\f（2，4)，a4＝eq\f（2,5)。又a1＝eq\f(2，2)，∴可猜想an＝eq\f（2,n＋1）。则有an＋1＝eq\f(2，n＋2），将其代入递推关系式验证成立．∴an＝eq\f(2，n＋1）（n∈N＊）．法二：∵an＋1＝eq\f（2an,an＋2)，∴an＋1an＝2an－2an＋1.两边同除以2an＋1an，得eq\f(1，an＋1）－eq\f（1，an)＝eq\f(1，2）.∴eq\f(1，a2)－eq\f（1，a1）＝eq\f（1,2)，eq\f(1,a3)－eq\f(1,a2）＝eq\f（1,2），…，eq\f(1，an）－eq\f（1，an－1）＝eq\f(1，2）.把以上各式累加得eq\f(1,an）－eq\f(1,a1）＝eq\f（n－1，2)。又a1＝1，∴an＝eq\f(2，n＋1）。故数列｛an}的通项公式为an＝eq\f(2,n＋1）(n∈N＊）．[能力提升综合练］1．在数列｛an｝中，a1＝eq\f(1,3），an＝(－1）n·2an－1(n≥2)，则a5等于（)A．－eq\f（16，3)B。eq\f(16，3）C．－eq\f(8,3）D.eq\f(8，3)解析:选B对n依次取2，3,4，5得a2＝（－1)2·2×eq\f（1,3)＝eq\f（2，3），a3＝－eq\f（4,3)，a4＝－eq\f(8，3）,a5＝eq\f(16，3)。2．已知数列{an｝满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1（n≥1)，则当n≥1时，an等于（）A．2nB。eq\f(n（n＋1），2)C．2n－1D．2n－1解析:选C由an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，得an－1＝a0＋a1＋…＋an－2（n≥2),两式相减得，an＝2an－1，即eq\f(an,an－1)＝2(n≥2)，则an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f（a3,a2）·…·eq\f(an，an－1)＝a1·2n－1,又a1＝a0＝1，∴an＝2n－1（n≥2)．又∵a1＝1也适合,∴an＝2n－1。3．已知数列｛an｝对任意的p，q∈N＊满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，则a10＝()A．－165B．－33C．－30D解析：选C∵ap＋q＝ap＋aq，∴a4＝2a2＝－12,a8＝2a4a10＝a2＋a8＝－30。4．已知an＝eq\f（n－\r（2017),n－\r(2016））（n∈N*），则数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是()A．a1，a100 B．a100，a44C．a45，a44 D．a44，a45解析：选Can＝eq\f(n－\r(2017),n－\r（2016)）＝eq\f(n－\r(2016）＋\r（2016)－\r（2017），n－\r(2016）)＝1＋eq\f（\r(2016）－\r(2017),n－\r(2016)）（n∈N*)．当n≤44时,数列{an}单调递增，且an〉1;当n≥45时，数列{an}单调递增，且an<1.∴数列｛an｝的前100项中最小项和最大项分别是a45，a44.故选C。5．已知数列｛an}，an＝an＋m（a<0，n∈N*），满足a1＝2，a2＝4,则a3＝________．解析：∵eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(2＝a＋m，,4＝a2＋m，)）∴eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(a＝－1,，m＝3,)）∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2。答案：26．数列{an}中，a1＝7,a9＝8，且(n－1）an＝a1＋a2＋…＋an－1（n≥3），则a2等于________．解析：由（n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1（n≥3)，得nan＋1＝a1＋a2＋…＋an，两式相减，得nan＋1－（n－1)an＝an。∴n≥3时，nan＋1＝nan，即an＋1＝an.又a9＝8，∴a3＝8.又2a3＝a1＋a2，a1＝7∴a2＝2a3－a1答案:97．设f（x）＝log2x－logx4（0<x<1),又知数列{an}的通项an满足f(2an)＝2n.(1）求数列{an｝的通项公式；（2）试判断数列｛an｝的增减性．解:(1)∵f(x）＝log2x－logx4(0〈x〈1），f（2an）＝2n，∴log22an－log2an4＝2n，由换底公式，得log22an－eq\f（log24，log22an）＝2n，即an－eq\f(2,an)＝2n,∴aeq\o\al（2，n）－2nan－2＝0，∴an＝n±eq\r（n2＋2）。①由0〈x<1，有0<2an<1，∴an<0.②由①②得an＝n－eq\r（n2＋2），此即为数列｛an｝的通项公式．(2)eq\f（an＋1,an)＝eq\f(（n＋1）－\r(（n＋1）2＋2),n－\r(n2＋2)）＝eq\f(n＋\r(n2＋2)，(n＋1)＋\r（(n＋1）2＋2）)〈1，∵an〈0，∴an＋1〉an，∴数列{an}是单调递增数列．8．已知数列｛an}中,an＝1＋eq\f（1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列｛an｝中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．解：(1)∵an＝1＋eq\f(1，a＋2n－1)（n∈N*，a∈R，且a≠0），a＝－7,∴an＝1＋eq\f（1,2n－9）。结合函