高中数学专题：抽象函数常见题型解法

解：令xy0或f(°)假设f(0)0，那么f(x)f(x0) f(x)f(0)°，对任意解：令xy0或f(°)假设f(0)0，那么f(x)f(x0) f(x)f(0)°，对任意R均成立，这与存在实数X1X2，使得f(X1) f(x2)成立矛盾，故f(°)°，必有f(°)由于f(xy)f(x)f(y)对任意X、yR均成立，因此，对任意XR，有Xf(x) f(-X XX X22)f八)[f(?)]抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些表达函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。一、 定义域问题例1.函数f(X?)的定义域是]1,2],求f〔x〕的定义域。f[iogi(3x)]例2.函数f(X)的定义域是[12]，求函数 2 的定义域。二、 求值问题1f(2) 1,f(6)-例3.定义域为 R的函数f〔x〕，同时满足以下条件：① 5:②f(xy) f(x)f(y)，求f〔3〕，f〔9〕的值。三、 值域问题例4.设函数f〔X〕定义于实数集上，对于任意实数 x、y,f(xy)f(x)f(y)总成立，且存在X1X2，使得f(x1) f(X2)，求函数在X120，得f(0) [f(0)]，即有f(0)F面来证明，对任意xR,f(x) 0设存在X0R，使得f(Xo)0，那么f(0) f(X0X。)f(Xo)f(X。)0这与上面已证的f(0) 0矛盾，因此，对任意xR,f(x)0所以f(x) 0评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。四、解析式问题

X1C ‘ f(x) f(——)1x例5.设对满足X0,x1的所有实数X,函数f(x)满足 x ，求f〔x〕的解：在f(x)x1

f()

xf(「)xf(宀)2xx1⑴中以解：在f(x)x1

f()

xf(「)xf(宀)2xx1⑴中以x代换其中x，得:(2)再在中以x1代换x,(3)f(x)⑴⑵⑶化简得：X3X2 12x(x1)x1评析：如果把x和x分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失〞，进而保存一个变量，是实现这种转化的重要策略。五、单调性问题f(x)所以f(x)所以1f(x)例6•设f〔x〕定义于实数集上，当x0时，f(x)1，且对于任意实数x、y，有f(xy)f(x)f(y)，求证：f(X)在R上为增函数。证明:在f(xy)f(X)f(y)中取Xy0，得f(o)[f(0)]假设f(0)0，令x0，y0，那么f(x)0，与f(x)1矛盾所以f(0)0，即有f(o) 1当X0时,f(x) 1 0；当x0时，x 0，f(x)10而f(x)f(x)f(0) 1又当x0时，f(°) 1 0所以对任意xR，恒有f(x)0设 x1x2 ，那么x2x10，f(x2x1)1所以f(x2)f[x1(x2x1)]f(x1)f(x2x1)f(x1)所以yf(x)在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法那么，那么变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题例7.已知函数f(x)(xR，x0)对任意不等于零的实数x1、x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，试判断函数f〔x〕的奇偶性。解：取x11，x21得：f(1)f(1) f(1)，所以f(1) 0又取x1x21得：f(1)f(1)f(1)，所以f(1) 0再取x1 x，x21那么f(x)f(1)f(x)，即f(x)f(x)因为f(X)为非零函数，所以f(X)为偶函数。七、对称性问题11例8.函数yf(x)满足f(x)f(X)2002，求f(x)f(2002x)的值。解：式即在对称关系式f(ax)f(ax)2b中取a0,b2002,所以函数yf(x)的图象关于点〔0，2002〕对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数yf1(x)的图象关于点〔2002,0〕对称。所以f1(x1001)f1(1001x)011将上式中的x用x1001代换，得f(x)f(2002x)0评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题， 在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数yf(x)对一切实数x都满足f(ax)f(ax)2b，那么函数yf(x)的图象关于点〔a，b〕成中心对称图形。八、网络综合问题例9.定义在R上的函数f〔x〕满足：对任意实数m，n，总有f(mn)f(m)f(n)，且当x>0时，0＜f〔x〕＜1。〔1〕判断f〔x〕的单调性；22〔2〕设A{(x,y)|f(x)f(y) f(i)},B{(x,y)|f(axy'2)1a ，假设AB ，试确定a的取值范围。解：〔1〕在f(mn)f(m)f(n)中，令m1,n0，得f(1) f(1)f(0)，因为f(1) 0，所以f(°) 1。在f(mn)f(m)f(n)中，令mx,nx因为当x0时，0f(x)1所以当x0时x0,0f(x)1而f(x)f(x)f(0)所以f(x)f(x)10x=0时，f(0)10，所以，综上可知，对于任意XR,而f(x)f(x)f(0)所以f(x)f(x)10x=0时，f(0)10，所以，综上可知，对于任意XR,均有f(x)0X1X2那么X2X1 0,0f(X2X1) 1f(X2)f[X1(X2X1)] f(X1)f(X2X1) f(X1)1所以又当o设yf(X)在R上为减函数。所以由于函数y=f〔x〕在R上为减函数，所以fa」22f(y)f(xy2)f(1)2即有x又f(ax2) 1 f(0)，根据函数的单调性，有ax2，所以直线ax