化工数学第三章答案

化工数学第三章习题1.（√）设函数，是一阶拟线性偏微分方程（1.1）的解，也是方程（1.1）的解。是任意常数，求证：的任意函数证明：由分别对x，y求导，得由于g1，g2满足偏微分方程（1.1），因此有将方程分别对x，y求导（7）将（7）代入偏微分方程（1.1）左端，再利用关系式（6），得（8）说明偏微分方程（1.1）也得到满足，因此也是方程的解。2.求下列方程的通解（1）解：由于与存在函数关系，我们得到方程的通解为，为任意函数（2）解：方程通解表示为隐函数，为任意函数（3）解：由（2）得：代入（1）得：整理得：两边同乘以即：得：由于与存在函数关系，我们得到方程的通解为，为任意函数3．（√）求下列问题的解解：该问题的特征线方程为（1）初始曲线表示为（2）由（1）、（2）联立解出（3）消去s,ξ，得（4）解：特征线方程为由方程（1）解出（1）（2）（3）由初值（2）得代回方程（3），消去s,ξ，得4．（√）在固定化酶反应器中，生物活性细胞被制备成颗粒状填充于固定床中，反应动力学由Michaelis-Menten方程给出，设流动为平推流，初、边值由给出，求浓度分布。解：依题意，该固定床反应器的数学模型为（1）（2）上述问题的特征线方程为初始曲线I由方程（1）解出初值影响区的解消去ξ，得边值影响区的解消去η，得5.变截面色谱柱中的线性吸附曲线由以下方程表述式中，流量为常数，，为截面积，若定义以下无量纲变量,则可将方程化为以下形式现考虑环形平面区域的色谱过程，为溶质注入端的环形边界半径，设问题为圆对称，初始浓度为0，注入的溶质浓度为常数，请在r-t平面上绘出边值影响区的特征线，并讨论截面积变化对波在r方向传播的影响。的解：其特征线方程为:在边值影响区，特征线为用r、t表示后为边值影响区的特征线即如上图所示。由上图可看出，随r增大，A(r)增大，增大，减小，在r方向上的波速减小。此外，A(r)还跟该环形减小，在r减小，在r方向区域的厚度有关，即式中的值，当增大时，A(r)增大，特征曲线的曲率增大，增大，方向上的波速减小。所以，总的来说，随A(r)增大，特征曲线的曲率增大，增大，上的波速减小。6．（√）河口附近涨潮后形成水位h的梯级分布落潮时的水位遵循以下方程请描述水位h在落潮时的衰减过程。解：该问题的特征线方程为（1）初始曲线（2）由（1）解得（3）代入（2）中消去初始变量ξ，就得到用隐函数分段表示的解h(z,t)。7.移动床平衡色谱模型在Langmuir吸附情况下由以下方程给出求：1）对于单组分色谱问题，根据波的追赶现象讨论移动床中激波生成的条件，并给出激波间断关系。2）对于双组分吸附分离问题，给出稳态条件下的解答。设进料流股中含有A、B两种组分，试确定合适的操作速度υr以便将A、B分离。解：1）对于单组分色谱问题，模型简化为其中，令得模型的特征曲线方程为由前两式可得波速的方程当时，时，，波速为正方向，此时通量－浓度关系为下凸型，随着浓度c的增加，，波速为反方向，此时通量－浓度关系为上凸型，随着浓度c的增加波波速单调递增。当速单调递减。因此，激波生成条件可见下表：下凸型（上凸型（））激波稀疏波前低后高型（））稀疏波激波前高后低型（根据激波间断条件，取则有，由于饱和问题不产生激波，因此只考虑洗脱问题：设，，。图1.洗脱过程浓度分布图图1给出了浓度分布图像及相应的特征线，由于，每条特征线的浓度保持常数。曲线S右侧的特征线来自初值影响区，该区域，因此，浓度波的速度可由波速方程中令得到，为一组平行的直线；S左侧的特征线来自边值影响区，从t轴出发，该区域，因此，浓度波的速度可由波速方程中令得到，为一组平行的直线。因此，令，对上式进行积分可得其中为积分常数。由初始条件，得到＝0。由此最终得到激波轨迹的解答：2）在稳态条件下，＝0。设组分A浓度为，初始浓度为；组分B浓度为，初始浓度为。因此模型简化为两个常微分方程：对上述两式进行积分可得：其中，、为积分常数。根据初始条件、可确定、的大小。解方程可得为使A、B组分充分分离，这里假设A为弱吸附组分，B为强吸附组分。调整使A在床层中正向传输而B在床层中反向传输，则可达到理想的分离效果。移动床中溶质的净通量为所以由解得，8.在一定的浓度范围，某离子交换过程的等温线可用表示，离子交换柱的模型为请对以下两种情况给出两题的解答（1）饱和过程；（2）洗脱过程解:。将吸附等温线代入离子交换色谱柱模型中，得到：该模型的特征曲线方程为：由前两式可得波速方程1）对于饱和过程，，，。相应的初始曲线在t-x平面上的投影为x轴与t轴。由可知，在浓度曲线上浓度c恒定。该过程浓度分布如图2所示：在左边区域，自t轴引出的特征线、、…的任意一点的斜率，由于为常数，所以该斜率也为常数，特征线为一组发散的平行直线。由可得初始曲线，，。求解特征曲线方程可得该区域，该区域图2.饱和过程浓度分布图在右边区域，自x轴引出的特征线、、…的任意一点的斜率，由于为常数，所以该斜率也为常数，特征线为一组发散的平行直线。由可得初始曲线，，。求解特征曲线方程可得该区域，该区域由于，所以两组特征线自原点发散，没有交点，中间形成一个空白区域，该区域浓度恒为0，即，该区域因此，饱和问题的解为2）对于洗脱问题，，。相应的初始曲线在t-x平面上的投影为x轴和t轴，由于可知在特征线上浓度c恒定。其浓度分布如图3所示。对比本题偏微分方程与方程可知，在本题中，。由图可知，、沿曲线S出现强间断，间断面为。由激波间断条件可得：在激波曲线S左侧为边界影响区，由知该区域特征线上浓度恒定，由边界条件。由初始条件可知，。代入激波间断条件可得对上式进行积分可得：因此，洗脱问题的解为：图3.洗脱问题浓度分布图9.（√）高速公路单行道上由于交通事故而塞车，但塞车段长度达到时事故排除恢复正常通行。设塞车段后方车辆密度为，交通流方程为(3.24)~(3.26)，求恢复通行后的车流密度与车速分布。解：交通流问题的车流密度由以下方程描述分析：车辆密度波的波速为波速随密度单调降低，因此，在x=-α处，初始时刻就将形成一个激波，沿x轴反向传播，波速由激波间断条件确定；而在x=0处，形成一个中心稀疏波，沿x轴正反两个方向传播，其波速和轨迹由特征线方程确定；经过一定时间间隔后，反向传播的稀疏波将赶上反向传播的激波前沿，形成侵蚀，类似于3.1节介绍的化学剂段塞的运动图象；最后，由于稀疏波的不断侵蚀，激波消失。可采用与3.1节类似的分析方法获得稀疏波侵蚀后的解答。10.某色谱反应器的吸附等温线为Freundlich型化学反应为一级反应，，求：（1）解出阶跃注入时的浓度分布；（2）讨论当时的定常吸附情况，这时有两种做法：一种是先求出任意m值情况下的解然后再取极限；另一种是先在数学模型中直接取极限，然后再求解该数学模型。两种结果有很大差异，分析其原因并判断哪一种结果更为合理？解：式中其特征曲线方程为由前两式可得波速方程由于m>1,波的传播速度随浓度c的增加而增大，因此根据我们的初值和边界条件，必然发生波的追赶而且初始间断面从一开始就是激波面。其浓度分布和相应特征线分别如下图a、b所示（a）(b)根据激波间断条件有，在初值影响区，由特征线方程组所以可得当时，解为如果在数学模型中直接取极限，则：问题变为平推流反应器的动态响应，解得（具体过程参见教科书p143）：在初值影响区在边值影响区（）（）应该以第一种解法为宜，因为当m趋于无穷大时，仍然有吸附平衡的问题，在t=0的两侧，反应器中的吸附浓度不是从0阶跃到K，而是同样也要经历一个平衡饱和的过程，但是在第二种解法中，则把整个色谱反应器内的n处理为了阶跃的函数，这实际上是由于函数在c趋向于零的同时m趋向于无穷，这个时候将它取极限看为一个确定值是不合适的。所以第一种解法更合理。11.聚合物驱油过程的分流函数在一定条件下可用下式表述设，求上述驱油问题的解并讨论粘度比增大对驱油过程的影响（可设粘度比在0.1~10之内变化）。解：波速或特征线方程为：由-----------------------------------------------------------（1）代入式（3.5.58）：------------------------------------------------------------（2）与已知f表达式对照可得-------------------------------------（3）将方程（1）与方程（3）代入（3.3.63），并令得：---------------------------------------------------------（4）可得：当，同时时，关系曲线如图：可见，a在0.2到20之间变化时，方程（4）存在0～1之间的解，且随着a的增大而增大。因此，该注水驱油问题的完整解答如下：（1）无线性间断波；（2）中间稀疏波由方程（4）确定；（3）激波由方程（4）确定；（4）初值影响区当黏度比增大时，随之增大，高饱和区间变小，而低饱和区间变大，同时激波轨迹值增大。12.对于双组分Langmuir吸附问题，若色谱柱内初始时刻含有溶质，即试讨论当初始组成（c10，c20）给定时，对于不同的进料组成（c1f，c2f），溶质在色谱柱内的大致分布情况，请在浓度平面上绘出不同进料状态下的组成路线，确定不同相干波的类型，并草绘出相应的浓度空间分布。解：对于双组分Langmuir吸附问题，若色谱柱内初始含有溶质，即t＝0：c1＝c10，c2＝c20x＝0：c1＝c1f，c2＝c2f试讨论当初始组成（c10，c20）给定时，对于不同的进料组成（c1f，c2f），溶质在色谱柱内的大致分布情况，请在浓度片面上绘出不同进料状态下的组成路线，确定不同相干波的类型，并草绘出相应的浓度分布空间。解：由双组分Langmuir吸附问题的解我们可以得到特征路径，它们是由方程的奇异解和通解共同确定的，如下所示。图3.12.1双组分Langmuir吸附问题的特征路径当初始组成I（c10，c20）给定时，不同的进料组成F（c1f，c2f）总是需要沿着特征路径按照一定的方向先经过M（定常态）再到达初始组成I点。路线方向由规则1确定：从进料状态F到初始状态I的组成路线总是首先沿着过F点的、具有最低波速的慢路径行进，然后顺序转换到次慢的特征路径，最后沿着最快的特征路径到达初始状态I。而相干波的类型则由规则2确定：如果沿着组成路线的方向波速增大，则与此相应的相干波为稀疏波，如果减小则为激波。对于Langmuir吸附，若沿组成路线的方向强吸附组分浓度增大，则该相干波为稀疏波，否则就是激波。根据不同进料组成F与初始组成I相对位置，有以下4种情况：1）进料F点位于初始I点右下位置图3.12.2浓度空间的特征路径网络与组成路线根据上述两条规则我们不难判断组成路线及相干波的类型，F点先沿着慢路径到达定常点M，方向与c2（强吸附组分）增大的方向相反，为激波；到达M后再沿着快路径达到初始点I，为稀疏波，简图如下所示图3.12.3情况1组成路线简图组成路线确定之后，就需要根据特征线法确定x－τ平面上的特征线。组成路线为F→M→I，激波F→M的特征线在图3.12.4（上）中为一条重合的直线C＋，其左侧浓度为进料状态F，右侧为定常状态M。稀疏波M→I的特征线对应于扇型直线族C－，其中不同的特征线携带着M到F点之间不同的浓度组成，其斜率σ(cΓ)随着浓度由M点趋向I点而逐渐减小。在激波特征线C＋与稀疏波特征线族C－之间的区域为浓度平台区，该区域的浓度值恒为定常状态M，不随特征线斜率变化。从x轴到特征线族C－之间的区域为初始状态区，该区域尚未受到浓度波的扰动。根据特征线图3.12.4（上），我们容易由图解法得到任意时刻τ=τ1的各组分浓度空间分布。在图中作平行于x轴的直线τ=τ1，该直线与各特征线相交于不同的空间位置x1,x2,x3,⋯，由于各特征线上的浓度值是已知的，连接各交点处的浓度值就可绘出该时刻不同组分的空间分布，示于图3.12.4（下）。图3.12.3情况1x-τ平面上的特征线（上）τ＝τ1时刻的浓度空间分