2020高中数学 第三章 函数 .1. 函数的奇偶性练习（含解析）第一册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE19-学必求其心得，业必贵于专精3。1.3最新课程标准：结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义。知识点偶、奇函数1．偶函数一般地，设函数y＝f（x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x,都有－x∈D，且f(－x)＝f（x)，则称y＝f（x）为偶函数．2．奇函数一般地,设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f（x),则称y＝f（x）为奇函数．3．奇、偶函数的图像特征（1）奇函数的图像关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2)偶函数的图像关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称,则这个函数是偶函数．eq\x(状元随笔）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．[基础自测］1．设f（x）是定义在R上的偶函数，下列结论中正确的是（）A．f（－x)＋f(x）＝0B．f（－x)－f（x)＝0C．f(x)·f(－x）<0D．f（0）＝0解析:由偶函数的定义知f（－x)＝f(x),所以f（－x）－f(x）＝0,f(－x）＋f(x)＝0不一定成立．f（－x)·f（x）＝[f(x）]2≥0，f(0)＝0不一定成立．故选B.答案：B2．下列函数为奇函数的是(）A．y＝｜x|B．y＝3－xC．y＝eq\f(1，x3）D．y＝－x2＋14解析:A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．答案：C3．若函数y＝f(x），x∈［－2，a］是偶函数，则a的值为（）A．－2B．2C．0D．不能确定解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.答案：B4．下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)解析：(1）(3)关于y轴对称是偶函数，(2)（4)关于原点对称是奇函数．答案:(2)(4）（1）（3)题型一函数奇偶性的判断[教材P102例1]例1判断下列函数是否具有奇偶性:(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f（x）＝x2＋1；（3)f（x)＝x＋1；（4)f（x)＝x2，x∈［－1，3］．【解析】（1)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.又因为f（－x)＝(－x)＋（－x）3＋（－x）5＝－(x＋x3＋x5）＝－f（x),所以函数f(x）＝x＋x3＋x5是奇函数．(2)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.又因为f(－x）＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f（x)，所以函数f（x）＝x2＋1是偶函数．(3）因为函数的定义域为R，所以x∈R时,－x∈R.又因为f（－1)＝0，f（1)＝2，所以f（－1）≠f（1)且f(－1)≠－f（1），因此函数f(－x）＝－x＋1既不是偶函数也不是奇函数．(4)因为函数的定义域为[－1,3]，而3∈［－1，3］，但－3∉［－1,3］，所以函数f(x）＝x2，x∈［－1,3］既不是奇函数也不是偶函数.教材反思函数奇偶性判断的方法（1）定义法：(2)图像法：若函数的图像关于原点对称,则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．跟踪训练1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x）＝x2（x2＋2)；(2)f（x)＝|x＋1|－|x－1|；(3）f(x）＝eq\f（\r（1－x2)，x);(4）f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1，x>0，,－x＋1,x〈0。))解析:（1）∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝（－x）2[（－x）2＋2］＝x2（x2＋2)＝f（x），∴f(x)为偶函数．(2）∵x∈R，∴－x∈R。又∵f（－x）＝|－x＋1|－｜－x－1|＝｜x－1｜－｜x＋1|＝－(|x＋1｜－|x－1｜)＝－f（x）,∴f（x）为奇函数．(3)f（x)的定义域为［－1,0）∪(0，1］．即有－1≤x≤1且x≠0,则－1≤－x≤1，且－x≠0,又∵f(－x)＝eq\f(\r（1－－x2)，－x）＝－eq\f（\r（1－x2），x）＝－f（x)，∴f(x)为奇函数．（4)f（x）的定义域是(－∞，0）∪(0，＋∞），关于原点对称．当x>0时,－x<0，f（－x)＝1－（－x)＝1＋x＝f(x)；当x〈0时，－x>0，f(－x)＝1＋（－x)＝1－x＝f（x)．综上可知，对于x∈(－∞,0）∪（0,＋∞），都有f（－x）＝f(x）,f（x)为偶函数．先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断．题型二函数奇偶性的图像特征［经典例题］例2设奇函数f(x）的定义域为[－5，5］，若当x∈[0,5]时，f（x）的图像如图，则不等式f（x）〈0的解集是________．【解析】由奇函数的性质知，其图像关于原点对称，则f(x)在定义域[－5，5］上的图像如图，由图可知不等式f（x）〈0的解集为{x|－2〈x<0或2〈x≤5｝．【答案】{x｜－2<x〈0或2<x≤5}根据奇函数的图像关于原点对称作图，再求出f(x)<0的解集．方法归纳根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题．跟踪训练2如图，给出了偶函数y＝f（x)的局部图像，试比较f（1)与f(3)的大小．解析：方法一因函数f（x)是偶函数，所以其图像关于y轴对称，补全图如图．由图像可知f(1）〈f（3）．方法二由图像可知f(－1)〈f（－3)．又函数y＝f（x)是偶函数，所以f（－1)＝f（1),f（－3）＝f(3），故f(1)〈f（3)．方法一是利用偶函数补全图像，再比较f（1)与f（3）的大小;方法二f(1)＝f(－1）,f（3）＝f(－3），观察图像判断大小．题型三利用函数奇偶性求参数[经典例题］例3(1)设函数f（x)＝eq\f（x＋1x＋a，x)为奇函数,则a＝________；(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x>0,,ax2＋x，x<0))是奇函数，则a＝________。【解析】（1）方法一(定义法)由已知f(－x)＝－f(x），即eq\f(－x＋1－x＋a，－x）＝－eq\f(x＋1x＋a,x)。显然x≠0得，x2－（a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1）x＋a,故a＋1＝0，得a＝－1.方法二（特值法)由f（x）为奇函数得f（－1）＝－f（1)，即eq\f(－1＋1－1＋a，－1）＝－eq\f(1＋11＋a,1），整理得a＝－1.（2)(特值法)由f(x)为奇函数,得f(－1)＝－f（1)，即a×(－1）2＋（－1）＝－(－12＋1）,整理得a－1＝0，解得a＝1.【答案】(1)－1（2）1利用定义法求a,也可利用特值法f(－1)＝－f(1）．方法归纳由函数的奇偶性求参数应注意两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．跟踪训练3(1）若函数f（x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为［a－2，2a］，则a＝________，（2)已知函数f（x）＝ax2＋2x是奇函数,则实数a＝________。解析:(1)由f（x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a－2＋2a＝0，解得a＝eq\f（2，3）.又f（x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称，即－eq\f(b,2a）＝0，解得b＝0。（2）由f（x）为奇函数得f（－x）＝－f（x），即f(－x）＋f（x）＝0，所以a(－x）2＋2（－x）＋ax2＋2x＝0.即2ax2＝0，所以a＝0。答案：（1）eq\f（2,3)0（2）0(1）函数具有奇偶性,定义域必须关于（0,0）对称．（2）f（0）＝0?题型四函数的奇偶性和单调性的综合应用[经典例题]例4已知奇函数y＝f（x)，x∈（－1，1），在(－1，1）上是减函数，解不等式f（1－x）＋f（1－3x）<0。【解析】∵y＝f（x)，x∈(－1，1）是奇函数，∴f(－x)＝－f（x），∴f(1－x)＋f（1－3x)〈0可化为f（1－x)<－f(1－3x），即f（1－x）〈f(3x－1)．又∵y＝f(x）在（－1,1)上是减函数，∴f(1－x）<f（3x－1）⇔eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－1<1－x<1，，－1〈1－3x<1，,1－x>3x－1））⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x〈2，，0〈3x<2,，x<\f(1,2)）)⇔eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0〈x〈2，，0<x<\f(2,3），，x〈\f(1,2）,））∴0〈x〈eq\f(1,2）.即不等式解集为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(1,2）))。eq\x（状元随笔)1.由奇函数得f（－x）＝－f(x)．2．函数单调递减，若f（x1）<f(x2)得x1>x2.3．定义域易忽略.方法归纳1．函数奇偶性和单调性的关系(1）若f（x）是奇函数，且f（x)在[a，b]上是单调函数，则f(x）在[－b，－a］上也为单调函数,且具有相同的单调性．（2)若f(x)是偶函数，且f（x)在[a，b]上是单调函数，则f（x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法（1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1)>f（x2)或f(x1）〈f（x2）的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．(2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．跟踪训练4(1)已知函数y＝f（x）在定义域[－1,1］上是奇函数，又是减函数,若f（1－a2)＋f（1－a)〈0,求实数a的取值范围．（2)定义在［－2，2]上的偶函数f（x）在区间[0,2］上单调递减，若f（1－m）〈f（m)，求实数m的取值范围．解析:（1)由f(1－a2）＋f(1－a)<0，得f(1－a2）〈－f(1－a）．∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1），∴f(1－a2）<f（a－1)．又f（x)在［－1,1]上单调递减，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－1≤1－a2≤1，,－1≤1－a≤1，,－1≤a－1≤1，，1－a2〉a－1,))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a2≤2，，0≤a≤2，，－2〈a〈1。）)∴0≤a〈1.∴a的取值范围是[0,1)．（2)∵函数f(x）是偶函数，∴f(x)＝f(｜x｜）．∴f(1－m）＝f(｜1－m|)，f(m）＝f（|m|)．∴原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，，－2≤m≤2，,｜1－m|〉｜m|，)）解得－1≤m<eq\f（1,2）.∴实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1，2))).eq\x(状元随笔)(1）可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系,再利用单调性转化为自变量的关系．（2）两个自变量1－m，m不一定属于同一单调区间，可考虑用绝对值表示来处理．课时作业18一、选择题1．下列函数是偶函数的是（）A．y＝2x2－3B．y＝x3C．y＝x2,x∈[0,1］D．y＝x解析：对于A，f（－x）＝2(－x）2－3＝2x2－3＝f(x）,∴f(x）是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称,函数不具备奇偶性，故选A。答案:A2．函数f(x)＝eq\f（1,x)－x的图像（）A．关于y轴对称B．关于直线y＝x对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝－x对称解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞），关于原点对称，且f(－x)＝－eq\f（1,x)－（－x）＝x－eq\f(1,x)＝－f(x)，∴f(x）是奇函数，图像关于原点对称．答案：C3．如图,给出奇函数y＝f（x)的局部图像,则f(－2)＋f(－1）的值为()A．－2B．2C．1D．0解析:由图知f(1）＝eq\f(1,2)，f（2)＝eq\f(3，2），又f(x）为奇函数，所以f（－2）＋f(－1）＝－f（2）－f(1)＝－eq\f（3,2）－eq\f（1,2）＝－2.故选A.答案：A4．已知f（x）＝ax3＋bx＋1(ab≠0），若f（2019)＝k,则f（－2019)＝(）A．kB．－kC．1－kD．2－k解析：∵f(2019)＝a·20193＋b·2019＋1＝k，∴a·20193＋b·2019＝k－1，则f（－2019）＝a(－2019）3＋b·(－2019）＋1＝－[a·20193＋b·2019]＋1＝2－k.答案：D二、填空题5．已知f(x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a］上的偶函数，那么a＋b解析：∵f(x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a∴a－1＋2a＝0，∴a＝eq\f（1，3）。又f（－x）＝f（x），∴b＝0,∴a＋b＝eq\f（1,3)。答案：eq\f(1，3）6．已知y＝f（x)是奇函数，当x〈0时，f（x)＝x2＋ax，且f（3)＝6，则a的值为________．解析：因为f(x)是奇函数,所以f（－3）＝－f（3）＝－6，所以(－3）2＋a（－3)＝－6，解得a＝5.答案：57．定义在R上的奇函数y＝f（x)在（0，＋∞）上递增,且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2))）＝0,则满足f(x）>0的x的集合为____________．解析：由奇函数y＝f（x)在(0，＋∞)上递增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）））＝0，得函数y＝f(x）在(－∞，0）上递增，且feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2))）＝0，∴x>eq\f（1,2)或－eq\f（1，2）〈x〈0。答案：eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x－\f(1，2）〈x<0或x>\f(1,2)))三、解答题8．判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝eq\f（x3－x2，x－1);（2）f（x)＝x2－x3；(3）f(x）＝｜x－2|－｜x＋2｜；（4)f(x）＝x2＋eq\f（a,x）（x≠0，a∈R）．解析：(1）∵函数f(x)＝eq\f(x3－x2，x－1）的定义域为{x|x∈R且x≠1｝,定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）f（x）的定义域为R，是关于原点对称的．∵f(－x)＝(－x）2－（－x）3＝x2＋x3,又－f(x）＝－x2＋x3，∴f（－x）既不等于f（x），也不等于－f(x)．故f（x）＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．（3）方法一(定义法）函数f（x)＝|x－2|－｜x＋2|的定义域为R,关于原点对称．∵f（－x)＝|－x－2|－｜－x＋2|＝|x＋2｜－|x－2｜＝－(|x－2|－|x＋2|）＝－f(x），∴函数f(x）＝｜x－2|－｜x＋2｜是奇函数．方法二(根据图像进行判断)f(x）＝｜x－2|－|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－4，x≥2,,－2x，－2〈x<2，,4，x≤－2，)）画出图像如图所示,图像关于原点对称,因此函数f(x)是奇函数．（4)当a＝0时，f(x）＝x2为偶函数．当a≠0时，f（x)＝x2＋eq\f（a，x）（x≠0),取x＝±1，得f（－1)＋f（1）＝2≠0,f（－1）－f（1)＝－2a≠0,即f(－1)≠－f（1)，f(－1)≠f(1)，∴函数