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文档简介

第二章线性方程组与矩阵的初等变换§2.1

线性方程组消元法的形式化§2.2初等变换与初等矩阵§2.4

线性方程组的解§2.3矩阵的秩一、消元法与矩阵的初等行变换二、矩阵的行最简形

三、线性方程组的行最简形解法

§2.1

线性方程组消元法的形式化消元过程同解方程组的变化例1

解线性方程组用相应的增广矩阵表示一、消元法与矩阵的初等行变换

下列三种变换称为矩阵的初等行变换：

矩阵的初等行变换

(3)把矩阵的第i

行的k

倍加到第j行,用rj

kri

记之.(2)用非零数

k乘矩阵的第i行,用kri

记之;(1)对换矩阵的第i,j行,用ri

↔

rj

记之;

线性方程组的消元过程,同解方程组的变化,用相应的增广矩阵(行变换)的变化来表示,显得更加清晰.一、消元法与矩阵的初等行变换

如果矩阵A经过有限次初等行变换化为矩阵B

,那么称矩阵A

与B行等价.

增广矩阵行等价的两个线性方程组同解.例2解线性方程组解对方程组的增广矩阵施行初等行变换:此增广矩阵相应的方程组第三个方程为0=a

1.当a

1

时,原方程组无解.当a

1

时,原方程组可解,此时同解方程组为求得原方程组的解为其中

x3,x4

可取任意数.行阶梯形(a

1)行最简形

称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵:(1)零行(元素全为零的行)都位于矩阵的下方;(2)各非零行的首非零元(自左至右第一个不为零的元素)的列标随着行标的增大而严格增大.

行阶梯形矩阵二、矩阵的行最简形其中a1ar

0.左边的零列、下方的零行可能空缺.

行最简形矩阵

称满足下列条件的行阶梯形矩阵为行最简形矩阵:(1)各非零行的首非零元都是1;(2)每个首非零元所在列的其余元素都是零.解例3化矩阵为行最简形.对矩阵A

施行初等行变换:

线性方程组的行最简形解法三、线性方程组的行最简形解法

对方程组的增广矩阵施行初等行变换,化增广矩阵为行最简形,写出同解方程组,解便一目了然.

对于齐次线性方程组,增广矩阵改用系数矩阵即可.解化增广矩阵为行最简形:于是得同解方程组令自由未知元

x2=k1,x4=k2,得原方程组的通解为例4解线性方程组其中

k1,k2

为任意数.提示:

其中

k1,k2

为任意数.于是得同解方程组令自由未知元

x3

k1,x4

k2,得原方程组的通解为解化增广矩阵为行最简形:例5解线性方程组于是得同解方程组解化系数矩阵为行最简形:例6解线性方程组令自由未知元

x3=

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