专题-抽象函数的导数问题(教师)

专题抽象函数的导数问题所谓抽象函数，即函数解析式未知的函数，这几年很流行抽象函数与导数结合的问题，此类问题一般有两种方法：根据条件设法确定函数的单调性；要根据题目给定的代数形式，构造函数，确定单调性，而构造什么样的函数，一方面要和已知条件含有的式子特征紧密相关，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式；另外一方面，由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结和问题的结构，构造适合的抽象函数【求导的四则运算】法则1.法则2.法则3.例1、（2006江西卷）对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）A.B.C.D.分析：这个题目的条件，实际上不能构造函数，它其实是告诉我们这个函数的单调性，具体来说：由得：（1）且，于是在上单调递增；（2）且，于是上单调递减；综上可知的最小值为，，，得，选C【典型构造】若条件是，可构造，则单调递增；若条件是，可构造，则单调递增；若条件是，可构造，则单调递增；若条件是，可构造，则，若，则单调递增；例2、是R上的可导函数，且，，求的值分析：构造，则，所以单调递增或为常函数，而，，所以，故，得例3、（07陕西理）是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（）A． B．C． ．分析：选项暗示我们，可能用得到的函数有两种可能，或，下面对他们分别求导，看看哪个能利用上已知条件：，因为，，得，则，故，于是由得，即，选A例3、定义在上的函数，导数为，且，则下式恒成立的是（）B.D.解：因为，所以，即，构造，则，所以单调递增，因，所以，即，即，选D练习1、已知函数满足，且在上，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.解析：构造，则，故为奇函数，且在上，，故是增函数，而，故只需，得，选B2、设在上可导，且，则当有（）解析：构造函数，则易知单调递增，于是，，选C3、（2011高考辽宁）函数的定义域为,，对任意，，则的解集为（）A.B.C.D.解析：构造函数，则，所以在R上单调递增，又因为，则，于是的，选B4、已知函数满足，导函数，则不等式的解集为（）A.B.C.D.解析：构造函数，则，所以函数单调递减，而，等价于，得，选D;5、是定义在R上的可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（）A． B．C． D．解析：构造，可知递增，故选B；6.(2009天津)设在R上的导函数为，且，则下面的不等式在R上恒成立的有（）A． B．C． D．解析：构造函数，则，当时，由，得；当时，，得，于是在上单调递增，故，则；当时，，得，则在上单调递减，故，则；综上可知选A7、在R上的导函数为，且，且，则下面的不等式成立的有（）A． B．C． D．解析：构造，，则单调递增，则，即，故选A8、函数的导函数为，对任意的实数，都有成立，则（）A． B．C． D．解析：构造，，则单调递增，则，即，故选B9、设函数满足，，则当时，（）A．有极大值,无极小值 B．有极小值,无极大值C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值解析：由已知得，设，求导得，易得在且是恒成立，因此在且是恒成立，而，说明 在时没有极大值也没有极小值选D10、若定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其导函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列结论中一定错误的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【解析】由已知条件，构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，选项A,B无法判断，故选C．11、设函数SKIPIF1<0是奇函数SKIPIF1<0的导函数，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0