2020高中数学 第二章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率课后巩固提升 2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8-学必求其心得，业必贵于专精1变化的快慢与变化率［A组基础巩固]1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足()A．Δx〉0 B．Δx〈0C．Δx≠0 D．Δx＝0解析：由平均变化率的定义可知，Δx＝x2－x1。由于x2,x1的大小不确定，故Δx的取值情况不确定．又∵Δx在分母位置，∴Δx≠0。答案：C2．已知函数f（x)，区间[x0，x1］，当自变量由x0变到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量的比是函数（）A．在区间［x0,x1］上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化率D．以上结论都不对解析：根据平均变化率的定义可知,函数在区间［x0，x1]上的平均变化率为eq\f(fx1－fx0,x1－x0)。答案:A3．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR,则球的体积增加量Δy约为(）A。eq\f（4π，3）R3ΔR B．4πR2ΔRC．4πR2 D．4πRΔR解析：Δy＝eq\f（4π,3）(R＋ΔR）3－eq\f（4π，3）R3＝eq\f（4π,3)[3R2ΔR＋3R(ΔR）2＋(ΔR)3］≈eq\f(4π，3）·3R2ΔR＝4πR2·ΔR。答案：B4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝eq\f(1，8)t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为(）A．2 B．1C。eq\f（1，2） D。eq\f(1，4）解析：因为Δs＝eq\f(1，8)（2＋Δt)2－eq\f（1,8)×22＝eq\f(1,2）Δt＋eq\f（1，8)(Δt）2,所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f（1，2)＋eq\f(1，8)Δt，当Δt无限趋近于0时，eq\f(1，2)＋eq\f(1,8)Δt无限趋近于eq\f（1,2)，因此t＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为eq\f（1,2),故选C。答案：C5．函数f（x)＝(x＋1)2在x＝2处的瞬时变化率为______．解析：Δy＝f（2＋Δx）－f（2）＝(3＋Δx）2－32＝(Δx）2＋6Δx，∴eq\f(Δy，Δx)＝Δx＋6，Δx趋于0时，eq\f（Δy,Δx）趋于6.答案:66．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为________．解析:当自变量从－2变化到－2＋Δx时，函数的平均变化率为eq\f（Δy，Δx)＝eq\f（－2＋Δx2－2－2＋Δx＋1－4＋4＋1,Δx）＝Δx－6。答案：Δx－67．质点的运动方程是s（t)＝eq\f（1，t2），则质点在t＝2时的速度为__________．解析:因为eq\f(Δs,Δt）＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt）＝eq\f(\f(1,2＋Δt2)－\f(1，4),Δt）＝－eq\f（4＋Δt，42＋Δt2），当Δt→0时，eq\f(Δs，Δt)→－eq\f(1,4）,所以质点在t＝2时的速度为－eq\f（1，4)。答案：－eq\f(1，4）8．若一物体运动方程如下：s＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3t2＋1,0≤t<3,,2＋3t－32，t≥3,））则此物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度分别为________、________.解析：∵t＝1时,0≤t〈3，∴s＝3t2＋1。eq\f（Δs，Δt)＝eq\f(st＋Δt－st，Δt）＝eq\f（6Δt＋3Δt2，Δt）＝6＋3Δt.当Δt趋近于0时,eq\f(Δs,Δt)趋近于6,故物体在t＝1时的瞬时速度为6。∵t＝3时，t≥3，∴s＝2＋3（t－3)2，＝eq\f（Δs,Δt)＝eq\f（2＋33＋Δt－32－2－33－32，Δt)＝3Δt.当Δt趋近于0时，eq\f(Δs，Δt）趋近于0,故物体在t＝3时的瞬时速度为0。答案：609．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动,若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，求a。解析：∵s＝at2＋1，∴s（2＋Δt）＝a(2＋Δt）2＋1＝4a＋4a·Δt＋a·（Δt）2＋1。于是Δs＝s（2＋Δt)－s(2）＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1－（4a＋1)＝4a·Δt＋a·(Δt)2.∴eq\f（Δs，Δt)＝eq\f（4a·Δt＋a·Δt2，Δt)＝4a＋a·Δt。当Δt→0时，eq\f（Δs,Δt）→4a.依据题意有4a＝12，∴a＝3.10．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果在第xh时，原油的温度(单位：℃)为f（x）＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解析：根据导数的定义,当x＝2时,eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(f2＋Δx－f2，Δx）＝eq\f（2＋Δx2－72＋Δx＋15－22－7×2＋15，Δx）＝Δx－3，当Δx趋近于0时，eq\f（Δy,Δx）趋近于－3，所以原油在第2h的瞬时变化率为－3.同理可得，原油在第6h的瞬时变化率为5.即在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5。它说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升．[B组能力提升］1．如果某物体做运动方程为s＝2（1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1。2s末的瞬时速度为()A．－4.8m/s B．－0。88m/sC．0。88m/s D．4。8m/s解析：eq\f(Δs,Δt）＝eq\f(2[1－1.2＋Δt2]－21－1.22,Δt）＝－4。8－2Δt。当Δt→0时，eq\f（Δs，Δt）→－4。8。答案：A2．曲线y＝eq\f(1，x2)上两点P(1，1）和Q（1＋Δx,1＋Δy)，当Δx＝eq\f（1，2）时，直线PQ的斜率为（)A．－eq\f(5，3） B．－eq\f(10,9）C。eq\f（5,3） D.eq\f(5,6）解析：∵Δx＝eq\f（1，2），x＝1，∴Δy＝f(1＋eq\f（1，2)）－f（1)＝eq\f（4,9）－1＝－eq\f(5，9）。∴eq\f（Δy,Δx）＝eq\f（－\f(5，9),\f（1，2）)＝－eq\f(10,9)。答案:B3．已知函数y＝f(x)＝－x2＋x在区间［t，1］上的平均变化率为2，则t＝________.解析：因为Δy＝f(1）－f(t）＝（－12＋1)－(－t2＋t）＝t2－t,所以eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(t2－t,1－t）＝－t.又因为eq\f(Δy,Δx)＝2，所以t＝－2.答案：－24．如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9。3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝eq\f（1,27)分钟时的瞬时变化率为________分米/分钟．（注：π≈3。1）解析：由题意知，圆锥轴截面为等边三角形，设经过t分钟后水面高度为h，则水面的半径为eq\f(\r（3),3)h,t分钟时，容器内水的体积为9。3t,因为9。3t＝eq\f(1，3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（3）,3）h））2·h，所以h3＝27t，所以h＝3eq\r（3，t)。因为eq\f(Δh，Δt）＝eq\f（3\r(3，\f（1，27)＋Δt）－3\r（3,\f(1，27）），Δt）＝eq\f（3Δt，Δt[\r（3，\f(1，27）＋Δt2）＋\f(1,3）\r（3,\f(1,27）＋Δt)＋\f(1,9)］),＝eq\f(3，\r(3,\f（1，27）＋Δt2）＋\f（1,3）\r（3,\f（1，27)＋Δt)＋\f（1,9））,所以当Δt趋于0时，eq\f（Δh,Δt)趋于9，即h(t)在t＝eq\f(1，27)处的瞬时变化率为9.答案：95．某物体的运动方程如下：s＝s（t)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋10≤t〈3，，28＋3t－32t≥3.)）（1）求此物体在t0＝1到t1＝1＋Δt(0〈Δt<2)这段时间内的平均速率eq\o（v，\s\up6（－)）;（2)求此物体在t0＝1时刻的瞬时速度．解析：（1）当0〈Δt<2,1〈t1＝1＋Δt〈3时,s＝3t2＋1，所以Δs＝s（1＋Δt）－s(1)＝3（1＋Δt）2＋1－（3＋1）＝3(Δt）2＋6Δt,所以eq\o(v,\s\up6(－））＝eq\f（Δs，Δt)＝3Δt＋6。(2)当Δt→0时,eq\o(v，\s\up6(－))近似地趋于t0＝1时刻的瞬时速度,即在t0＝1时刻的瞬时速度为6。6．已知气球的表面积S(单位：cm2）与半径r(单位：cm）之间的函数关系是S(r）＝4πr2.求:(1)气球表面积S由10cm2膨胀到20cm2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；(2)气球表面积S由30cm2膨胀到40cm2时的平均膨胀率．解析：由S（r)＝4πr2，r〉0，把r表示成表面积S的函数：r(S)＝eq\f（1,2π）eq\r（πS).（1）当S由10cm2膨胀到20cm2时，气球表面积的增量ΔS＝20－10＝10（cm2)，气球半径的增量Δr＝r(20）－r（10)＝eq