教案《余弦函数的图像》教案设计

余弦函数的图像一、教学目标：1、知识与技能：（1）回忆锐角的余弦函数定义；（2）熟练运用锐角余弦函数的性质；（3）理解通过单位圆引入任意角的余弦函数的意义；（4）掌握任意角的余弦函数的定义；（5）理解有向线段的概念；（6）了解余弦函数图像的画法；（7）掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的余弦曲线。2、过程与方法：初中所学的余弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在余弦函数图像，以及余弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对余弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的余弦函数推广到任意角的余弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。二、教学重、难点重点:1.任意角的余弦函数定义，以及余弦函数值的几何表示。2.余弦函数图像的画法。难点:1.余弦函数值的几何表示。2.利用余弦线画出y＝cosx，x∈[0，2π]的图像。三、学法与教法在初中，我们知道直角三角形中锐角的邻边比上斜边就叫着这个角的余弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，余弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出余弦函数的定义；作余弦函数y＝cosx图像时，在余弦函数定义的基础上，通过平移余弦线得出其图像，再归结为五点作图法。教法:探究讨论法。四、教学过程【创设情境，揭示课题】α的终边PMOxy三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。今天我们来学余弦函数y＝cosx的图像的做法。在前一节，我们知道余弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0α的终边PMOxy请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。【探究新知】1、余弦函数线OM下面我们来探讨余弦函数的一种几何表示．如右图所示，角α的终边与单位圆交于点P（x，y），提出问题①线段OM的长度可以用什么来表示?②能用这个长度表示余弦函数的值吗?如果不能，你能否设计一种方法加以解决?引出有向线段的概念．有向线段：当α的终边不在坐标轴上时，可以把OM看作是带方向的线段，x＞0时，把OM看作与x轴同向(多媒体优势，利用计算机演示角α终边在一、二象限时OM从O到M点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与x轴同向)．x＜0时，把OM看作与x轴反向(演示角α终边在三、四象限时OM从O到M点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与x轴反向)．师生归纳：①OM是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．OM是从O→M，而MO则是从M→O。②不论哪种情况，都有OM＝x．③依正弦定义，有cosα＝OM＝x，我们把OM叫做α的余弦线．当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其余弦线。演示运动过程，让学生清楚认识到：当α终边在y轴上时，正弦线变为一个点，即cosα＝0。2．作图的步骤边作边讲（几何画法）y=cosxx[0,2]作单位圆，把⊙O十二等分（当然分得越细，图像越精确）十二等分后得对应于0,,,,…2等角，并作出相应的余弦线，将x轴上从0到2一段分成12等份(2≈，若变动比例，今后图像将相应“变形”取点，平移余弦线，使起点与轴上的点重合描图（连接）得y=cosxx[0,2]（6）由于终边相同的三角函数性质知y=cosxx[2k，2(k+1)]（kZ，k0）6yo--123456yo--12345-2-3-41可以得到y＝cosx在R上的图像3、五点作图法：由上图我们不难发现，在函数y=cosx，x[0,2]的图像上，起着关键作用的有以下五个关键点：(0,1)(,0)(,-1)(,0)(2,1)。描出这五个点后，函数y=cosx，x[0,2]的图像的形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。我们称这种画余弦曲线的方法为“五点法”。【巩固深化，发展思维】1．例题探析例1．用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图。（1）y＝－cosx（2）y＝1＋cosx解：（略，）2．学生练习：教材P25二、归纳整理，整体认识：（1）请学生回顾本节课所学过的知识