【班海精品课件】北师大版（新）八年级下-1.1等腰三角形 第三课时

1.等腰三角形第3课时一键发布配套作业&AI智能精细批改（任务-发布任务-选择章节）目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入1、等腰三角形是怎样定义的？有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.①等腰三角形是轴对称图形.③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边

上的高重合(也称为“三线合一”).②等腰三角形的两个底角相等(简写成

“等边对等角”)

.2、等腰三角形有哪些性质？DABC既是性质又是判定班海——老师智慧教学好帮手班海，老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！感谢您下载使用【班海】教学资源！为什么他们都在用班海？一键发布作业，系统自动精细批改（错在哪？为何错？怎么改？），从此告别批改作业难帮助学生查漏补缺，培养规范答题好习惯，提升数学解题能力快速查看作业批改详情，全班学习情况尽在掌握多个班级可自由切换管理，学生再多也能轻松当老师无需下载，不占内存，操作便捷，永久免费！扫码一键发布数学作业AI智能精细批改(任务-发布任务-选择题目)新课精讲探索新知1知识点等腰三角形的判定思考

我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？探索新知如图，在△ABC中，∠B=∠C.作△ABC的角平分线AD.在△BAD和△CAD中，∠1=∠2，∠B=∠C，

AD=AD，∴△BAD

≌△CAD(AAS).∴AB=AC.ABDC12探索新知归

纳由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等.那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”).探索新知1．判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称等角对等边)应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.2．等腰三角形的判定与性质的异同

相同点：都是在一个三角形中；

区别：判定是由角到边，性质是由边到角．即：．探索新知例1已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.ADCBE探索新知∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB＝DAC(全等三角形的对应角相等).∴AE＝DE(等角对等边).∴△AED是等腰三角形.证明：探索新知如图­，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，若AQ＝AR，则△ABC是等腰三角形吗？请说明理由．导引：要说明△ABC为等腰三角形，由图可知即要说明∠B＝∠C，而∠B，∠C分别在两个直角三角形中，因此只要说明∠B，∠C的余角∠BQP，∠R相等即可．例2探索新知解：△ABC是等腰三角形．理由如下：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.∵PR是BC的垂线，∴∠BPQ＝∠CPR＝90°.在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.探索新知总

结本题运用了转化思想，将要证的两角相等利用等角的余角相等转化为证其余角相等；对顶角这一隐含条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作用．典题精讲1如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平分线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.解：△BDE为等腰三角形．理由如下：因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC.因为DE∥BC，所以∠EDB＝∠DBC.所以∠EBD＝∠EDB.所以EB＝ED.故△BDE为等腰三角形．AEDCB典题精讲2在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(

)A．∠A＝50°，∠B＝70°B．∠A＝70°，∠B＝40°C．∠A＝30°，∠B＝90°D．∠A＝80°，∠B＝60°B典题精讲3如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(

)A．3个B．4个C．5个D．6个D典题精讲4如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为(

)A．2B．3C．4D．5C典题精讲5如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，它们相交于点O，则图中除△ABC外一定是等腰三角形的是(

)A．△ABD

B．△ACE

C．△OBC

D．△OCDC典题精讲6已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(

)A．3条B．4条C．5条D．6条B探索新知2知识点反证法想一想小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？探索新知小明是这样想的：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB＝AC那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，

这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此

AB≠AC．你能理解他的推理过程吗？ABC探索新知归纳小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.探索新知1．定义在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．2．利用反证法证明命题的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．探索新知3．适宜用反证法证明的命题反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见

类型的命题就适宜用反证法：(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角．探索新知用反证法证明命题“等腰三角形的两底角是锐角”时，第一步为_________________________________________．导引：反证法的第一步是假设“命题的结论不成立”，就是“命题结论的反面是正确的”，理解了命题的结论和命题结论的反面，问题即可解决．例3假设等腰三角形的两底角是直角或钝角探索新知用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC.求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.例4

证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.于是∠A＋∠B＋∠C=90°＋90°＋∠C>180°.这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角.典题精讲1已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于.解：假设这五个数均小于

，不妨设则有即这与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立.即已知五个正数的和等于1，则这五个数中至少有一个大于或等于典题精讲2用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设(

)A．一个三角形中至少有两个钝角B．一个三角形中至多有一个钝角C．一个三角形中至少有一个钝角D．一个三角形中没有钝角A典题精讲3下列命题中，宜用反证法证明的是(

)A．等腰三角形两腰上的高相等B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行D．全等三角形的面积相等C易错提醒如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，求证：∠DAB是一个锐角．易错点：反证法中易假设结论的反面不全面而致错易错提醒假设∠DAB是一个直角或钝角，则∠DAB≥90°，∵AB＝AC，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝∠DAB≥90°.则∠BAC＝∠DAB＋∠DAC≥90°＋90°＝180°，∴∠B＋∠C＋∠BAC>180°.这与三角形内角和为180°矛盾，∴∠DAB是一个直角或钝角的假设不成立．∴∠DAB是一个锐角．证明：学以致用小试牛刀1如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30nmile到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是(

)A．15nmileB．30nmileC．45nmileD．30nmileB小试牛刀2在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(

)B小试牛刀3在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(

)A．5B．6C．7D．8B小试牛刀如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O.(1)求证：OB＝OC；(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．小试牛刀∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD，CE是△ABC的两条高线，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，即∠DBC＋∠DCB＝∠ECB＋∠CBE＝90°.∴∠DBC＝∠ECB.∴OB＝OC.（1）证明：小试牛刀∵∠CEB＝90°，∠ABC＝50°，∴∠BCE＝180°－90°－50°＝40°.∴∠DBC＝40°.∴∠BOC＝180°－40°－40°＝100°.（2）解：小试牛刀5如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F

作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由：(1)AD∥FG；(2)△AEF为等腰三角形．小试牛刀(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.又∵FG⊥BC，∴AD∥FG.(2)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD.∵AD∥FG，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD.∴∠F＝∠AEF.∴AF＝AE，即△AEF为等腰三角形．解：小试牛刀6如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF.求证：DE＝DF.小试牛刀如图，过点E作EG∥AC交BC于点G，∴∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B(等边对等角)．∴∠B＝∠EGB.∴BE＝EG(等角对等边)．∵BE＝CF，∴EG＝CF.证明：小试牛刀在△EGD和△FCD中，∠EDG＝∠FDC，∠DEG＝∠F，EG＝FC，∴△EGD≌△FCD(AAS)．∴DE＝DF.小试牛刀7如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E.(1)若∠A＝100°，求证：BC＝BE＋AE.(2)探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？试说明理由．小试牛刀在BC上截取BD＝BE，连接DE(如图)．∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°.又∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，∴∠CED＝40°＝∠C.∴DE＝DC.（1）证明：小试牛刀过点E分别作EM⊥BA交BA的延长线于点M，EN⊥BC于点N.∴∠BME＝∠BNE＝90°.又∵∠MBE＝∠NBE，BE＝