函数的性质知识点总结与题型讲解

..考点05函数的性质〔单调性、奇偶性[高考再现]热点一函数的单调性1.〔20XX高考〔天津文下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的为〔A． B． C． D．2.〔20XX高考〔XX文下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 〔A． B． C． D．[答案]D[解析]该题主要考察函数的奇偶性和单调性,理解和掌握基本函数的性质是关键.A是增函数,不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数,排除,只有D正确,因此选D.3.〔20XX高考〔XX文若函数的单调递增区间是,则[方法总结]1.对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法：<1>可以结合定义<基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断>求解．<2>可导函数则可以利用导数解之．但是,对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行.2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．<1>利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间．<2>定义法：先求定义域,再利用单调性定义确定单调区间．<3>图象法：如果f<x>是以图象形式给出的,或者f<x>的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间．<4>导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.3.函数单调性的应用：f<x>在定义域上<或某一单调区间上>具有单调性,则f<x1><f<x2>f<x1>－f<x2><0,若函数是增函数,则f<x1><f<x2>x1<x2,函数不等式<或方程>的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符号,化为一般不等式<或方程>求解,但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．热点二函数的奇偶性4.〔20XX高考〔XX文<函数>下列函数为偶函数的是 〔A． B． C． D．5.〔20XX高考〔XX文函数为偶函数,则实数________[答案]4[解析]本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切都有成立.由函数为偶函数得即.6.〔20XX高考〔上海文已知是奇函数.若且.则_______.7.〔20XX高考〔课标文设函数的最大值为,最小值为,则____[答案]2[解析]本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.设为奇函数,由奇函数图像的对称性知[方法总结]三．规律总结一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．三种方法判断函数的奇偶性,一般有三种方法：<1>定义法；<2>图象法；<3>性质法．三条结论<1>若对于R上的任意的x都有f<2a－x>＝f<x>或f<－x>＝f<2a＋x>,则y＝f<x>的图象关于直线x＝<2>若对于R上的任意x都有f<2a－x>＝f<x>,且f<2b－x>＝f<x><其中a＜b>,则：y＝f<x>是以2<b－a<3>若f<x＋a>＝－f<x>或f<x＋a>＝eq\f<1,fx>或f<x＋a>＝－eq\f<1,fx>,那么函数f<x>是周期函数,其中一个周期为T＝2a；<3>若f<x＋a>＝f<x＋b><a≠b>,那么函数f<x>是周期函数,其中一个周期为T＝2|a－b|.[基础练习]1．〔课本习题改编下列函数中,在区间<0,1>上是增函数的是<>A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝eq\f<1,x>D．y＝－x2＋4[答案]A[解析]y＝3－x在R上递减,y＝eq\f<1,x>在<0,＋∞>上递减,y＝－x2＋4在<0,＋∞>上递减．2.〔经典习题函数f<x>＝ln<4＋3x－x2>的单调递减区间是<>A.eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<－∞,\f<3,2>>>B.eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3,2>,＋∞>>C.eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<－1,\f<3,2>>>D.eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3,2>,4>>3.〔课本习题改编若函数f<x>＝eq\f<x,2x＋1x－a>为奇函数,则a＝<>A.eq\f<1,2>B.eq\f<2,3>C.eq\f<3,4>D．1[答案]A[解析]∵f<x>＝eq\f<x,2x＋1x－a>是奇函数,利用赋值法,∴f<－1>＝－f<1>．∴eq\f<－1,－2＋1－1－a>＝－eq\f<1,2＋11－a>,∴a＋1＝3<1－a>,解得a＝eq\f<1,2>.4.〔经典习题设函数f<x>和g<x>分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是<>．A．f<x>＋|g<x>|是偶函数B．f<x>－|g<x>|是奇函数C．|f<x>|＋g<x>是偶函数D．|f<x>|－g<x>是奇函数[答案]A[解析]由题意知f<x>与|g<x>|均为偶函数,A项：偶＋偶＝偶；B项：偶－偶＝偶,B错；C项与D项：分别为偶＋奇＝偶,偶－奇＝奇均不恒成立,故选A.6．〔经典习题已知f<x>在R上是奇函数,且满足f<x＋4>＝f<x>,当x∈<0,2>时,f<x>＝2x2,则f<7>等于________．[答案]－2[解析]由f<x＋4>＝f<x>,得f<7>＝f<3>＝f<－1>,又f<x>为奇函数,∴f<－1>＝－f<1>,f<1>＝2×12＝2.∴f<7>＝－2.[名校模拟]一．基础扎实1.<北京市西城区2012届高三下学期二模试卷文>给定函数：①；②；③；④,其中奇函数是〔〔A①②〔B③④〔C①③〔D②④[答案]C[解析]利用函数图象关于原点对称可知①③图像满足条件.2.<20XXXX市高中毕业班第一次模拟考试理>已知.,若,则f<-a>的值为A.-3B.-2C.-1D.03.<20XXXX豫东、豫北十所名校阶段性测试<三理>已知函数.,则该函数是<A>偶函数,且单调递增〔B>偶函数,且单调递减<C>奇函数,且单调递增〔D>奇函数,且单调递减[答案]C[解析]注意到当时,,；当时,,；.因此,对任意,均有,即函数是奇函数.当时,函数是增函数,因此是增函数,选C.4．<2012XX示范高中联考高三理>下列函数中,在内有零点且单调递增的是<>A．B．C．D．5.<XX省XX学军中学2012届高三第二次月考理若、,定义：,例如：=<-5><-4><-3><-2><-1>=-120,则函数的奇偶性为<>A.是偶函数而不是奇函数B.是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数6..<XX省2012届十所重点中学第二次联考文>已知是偶函数,且其定义域为,则〔A．B．C．D．[答案]A[解析]因为偶函数的定义域关于原点对称,所以；又为偶函数,所以,得,所以,选A.67.<XX省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理>函数在区间是增函数,则的递增区间是〔A．B．C．D．8．<XX省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理>已知函数y=f<x>是定义在R上的奇函数,则下列函数中是奇函数的是〔①y=f<|x|>;②y=f<-x>;③y=x·f<x>;④y=f<x>+x.A.①③B.②③C.①④D.②④9．〔XX省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理下列函数中既是偶函数,又是区间[－1,0]上的减函数的是A．B．C．D．答案：D解析：由,所以函数为偶函数；又,当时,,所以函数为减函数,故选D。10．<2012黄冈市模拟及答题适应性试理>已知函数则该函数是A偶函数,且单调递增B偶函数,且单调递减C奇函数,且单调递增D奇函数,且单调递减11.<东城区普通高中示范校高三综合练习<二>〔文>已知函数是偶函数,则的图象与轴交点纵坐标的最小值为.[答案][解析]根据函数是偶函数可得,函数的图象与轴交点的纵坐标为。由,得,解得。12．<XX省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理>已知是上的增函数,那么的取值范围是。13.<XX省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理>已知函数,判断它的奇偶性。[解析]本试题主要考查了函数的奇偶性的判定。[答案]f<x>的定义域为R,f<0>=0设x>0则-x<0,又因为当x<0时f<x>=-x<x+1>故f<-x>=-x<-x+1>=x<x-1>=f<x>设x<0,则-x>0又因为当x>0时f<x>=-x<x-1>故f<-x>=-x<-x-1>=-x<x+1>=f<x>综上得,对任意xR,有f<-x>=f<x>故f<x>为偶函数14．<XX省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理>设函数是定义在上的减函数,并且满足,,〔1求的值,〔2如果,求x的取值范围。〔12分二．能力拔高15．<XX省八校2012届高三第一次联考理>定义在R上的函数满足：对于任意的且当,设M、N分别为在[-2012,2012]的最大值与最小值,则M+N的值为 〔A．4022 B．4024 C．2011 D．2012因此,则函数的最大值为,最小值为,所以,故选A。16.<XX省2012届十所重点中学第二次联考文>设函数,若时,＞0恒成立,则实数m的取值范围是〔A．〔0,1 B．〔-∞,0 C．〔-∞,0D．〔-∞,118.<XX文科数学冲刺试卷〔二>答案：B解析：由题意得,设,则,又函数为奇数,所以,即,利用函数的结论此函数在定义域上位单调递增函数,所以函数,故答案选B．20.<XX省20XX高考考前适应性训练理>已知的单调减区间为〔A．B．C．D．21.<XX市实验中学2012届高三模拟考试〔文>已知定义在R上的函数是增函数,且为奇函数,若实数s,t满足不等式,则当1≤s≤4时,3t+s的取值范围是A.B.C.[4,10]D.[4,16][答案]B[解析]本题考查函数的性质、简单的线性规划问题,考查数形结合的思想。由所给函数性质有,于是,再结合,由线性规划方法,可求得,选B23.<XX省XX学军中学2012届高三第二次月考理三．提升自我25.定义在〔—1,1上的函数f<x>满足：；当时,有；若,,R＝f<0>．则P,Q,R的大小关系为A． B． C．D．不能确定1．已知函数是上的偶函数,则实数_____；不等式的解集为_____．2.定义在上的函数,如果存在函数〔为常数,使得对一切实数都成立,则称为函数的一个承托函数.现有如下函数：①②③④则存在承托函数的的序号为.〔填入满足题意的所有序号[答案]②④[解析]对于①,结合函数的图象分析可知,不存在函数使得对一切实数都成立,不存在承托函数；3.已知函数〔m为常数>,对任意的恒成立.有下列说法：①m=3；②若<b为常数>的图象关于直线x=1对称,则b=1;③已知定义在R上的函数F<x>对任意x均有成立,且当时,；又函数<c为常数,若存在使得成立,则c的取值范围是<一1,13>.其中说法正确的个数是<A>3个〔B>2个〔C>1个〔D>O个一、选择题<8×3′＝24′>1．函数y=x2+bx+c［x∈［0,+∞］是单调函数的充要条件是<>A.b≥0B.b≤0C.b>0D.b<02．函数f<x>=4x2-mx+5在区间［-2,+∞上是增函数,M=f<1>,则下列不等式或等式成立是<>A.M≥25B.M=25C.M≤25D.M>253．定义在R上的函数f<x>、g<x>都有反函数,且f<x+1>和g-1<x-2>的图象关于直线y=x对称,若g<15>=2000,则f<16>的值为<>A.1999B.2000C.2001D.20024．函数f<x>=x-在<1,+∞>上是增函数,则实数a的取值范围是<>A.a≥0B.a≥1C.a≥-2D.a≥-15．已知定义在R上的函数f<x>满足f<x-1>=f<x+1>,f<1-x>=f<1+x>,且在［-1,0］上单调递增.设a=f<3>,b=f<>,c=f<2>,则a、b、c的大小关系是<>A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a6．函数y=f<x>有反函数y=f－1<x>,把y=f<x>的图象在直角坐标平面内绕原点顺时针方向转动90°后得到的图象对应的函数是<>A.y=f－1<-x>B.y=f－1<x>C.y=-f－1<-x>D.y=-f－1<x>7．定义在R上的函数f<x>满足f<x>=f<x+2>,当x∈［3,5］时,f<x>=2-|x-4|,则<>A.B.f<sin1>>f<cos1>C.D.f<cos2>>f<sin2>8．已知函数f<x>是定义在R上的奇函数,当x<0时,f<x>=<>x,那么f－1<-9>的值是<>A.-2B.2C.-3D.二、填空题<5×3′＝15′>9．已知f<x>是定义在R上的偶函数,且它在［0,+∞］上单调递增,那么使不等式f<-2>≤f<a>的实数a的取值范围是.10．函数f<x>=logcos50°|x2-2x-3|的增区间为.11．关于函数f<x>=lg<x≠0>,有下列命题：①函数y=f<x>的图象关于y轴对称;②当x>0时,f<x>是增函数,当x<0时,f<x>是减函数;③函数f<x>的最小值为lg2;④当-1<x<0或x>1时,f<x>是增函数;⑤f<x>无最大值,也无最小值.其中正确的命题是.12．函数f<x>=<α为常数>的图象过点<4,>,那么f-1<8>的值是.13．函数f<x>=loga<x+><x≥1><0<a<1>的反函数是f－1<x>=.三、解答题<5×10′＝50′>14．已知关于n的不等式对一切大于1的自然数n都成立,试求实数a的取值范围.15．f<x>是定义在<0,+∞>上的增函数,且f<>=f<x>-f<y>.<1>求f<1>的值.<2>若f<6>=1,解不等式f<x+3>-f<><2.16．已知函数f<x>=<>2<x≥1>,f－1<x>是f<x>的反函数,记g<x>=+2,求：<1>f－1<x>的定义域与单调区间.<2>g<x>的最小值.17．设偶函数f<x>在区间［a,b］上是增函数<a>0>,试判定函数F<x>=<>f<x>-x在区间［-b,-a］上的单调性,并加以证明.18．给定函数f<x>=loga|logax|<a>0且a≠1>.<1>求函数的定义域.<2>当f<x>>1时,求x的取值范围.<3>当x>1时,判断函数f<x>的单调性,并证明你的结论.四、思考与讨论<11′>19．设a>0,f<x>=是R的偶函数.<1>求a的值;<2>证明f<x>在<0,+∞>上为增函数.参考答案1．A函数y=x2+bx+c的单调增区间是［-,+∞.∵所求函数的定义域为x∈［0,+∞,∴此函数单调的充要条件是-≤0b≥0.2．A依题意,≤-2m≤-16,则M=f<1>=9-m≥25.3．D设y=g-1<x-2>,由反函数的概念得x=g<y>+2,即y=g-1<x-2>的反函数为y=g<x>+2,从而f<x+1>=g<x>+2.当x=15时,f<16>=g<15>+2=2002.故选D.4．D由单调性的定义即得.5．D由f<x-1>=f<x+1>可推出f<x+2>=f<x>,即f<x>以2为一个周期.a=f<3>=f<1>=f<-1>,b=f<>=f<-2>c=f<2>=f<0>,又∵f<x>在［-1,0］上单调递增,∴c>b>a.6．Ｄ设<x,y>是y=f<x>图象上任意一点,当把y=f<x>的图象绕原点顺时针方向转动90°后其对应点为<X,Y>,则X＋9i=<x+yi>·<-i>=y-xi,故y=X,x=-Y,于是X=f<-Y>-Y=f-1<X>即y=-f－1〔x.7．D∵f<x>=f<x+2>,∴F=2是其一个周期.设x∈［-1,1］,则x+4∈［3,5］,f<x>=f<x+4>=2-|x+4-4|=2-|x|其图象如图所示.A:0<sin<1,∴B:0<cos1<sin1<1,∴f<sin1><f<cos1>C:cos,D:cos2=sin,∴f<cos2>=fsin2=sin<π-2>,∵1>sin<π-2>>sin>0∴>f［sin<π-2>］,即:f<cos2>>f<sin2>故正确答案是D.8．Ｂ当x>0时,f<x>=-<>-x,设f-1〔-9=a,则f<a>=-9-<>－a=-9a=2.9．a≤-2或a≥2f<-2>≤f<a>f<|-2|>≤f<|a|>|a|≥2.10．<-∞,-1>,［1,3］作函数u<x>=|x2-2x-3|的图象判断.11．①③④f<x>是偶函数,且f<x>=lg<|x|+>≥lg2,可由f<x>的奇偶性确定单调区间,即先判断出f<x>在<0,+∞>上的单调性.12．将<4,>代入f<x>=,得=,∴α=,∴f<x>==8得x=.13．<ax+a-x><x≤0>注意注明反函数的定义域.14．解设f<n>=<n∈N且n≥2>,∵f<n+1>-f<n>=>0,∴f<n>是关于n的单调增函数,且当n≥2时,f<n>≥f<2>=,故要使f<n>>loga<a-1>+对一切n≥2,n∈N恒成立,则需且仅需loga<a-1>+,即loga<a-1><-1,又a-1>0,∴0<a-1<,解得1<a<.故所求a的取值范围为{a|1<a<}.点评利用函数的单调性求参数的取值范围.15．解<1>令x=y,得f<1>=0.<2>由,得