反比例函数概念与性质(同步)

..反比例函数概念与性质反比例函数概念与性质新知学习新知学习模块一反比例函数的概念1.反比例函数的定义函数<为常数,>叫做反比例函数,其中叫做比例系数,是自变量,是函数,自变量的取值范围是不等于0的一切实数．模块二例函数的图象及性质2.反比例函数的图像反比例函数<为常数,>的图像由两条曲线组成,每条曲线随着的不断增大<或减小>越来越接近坐标轴,反比例函数的图像属于双曲线.3.反比例函数图像的性质反比例函数<为常数,>的图像是双曲线；当时,函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内,它们关于原点对称,在每一个象限内,随的增大而减小；当时,函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内,它们关于原点对称,在每一个象限内,随的增大而增大.模块三反比例函数解析式的确定1．求反比例函数的解析式的方法主要有三种：①待定系数法；②反比例函数的几何意义；③实际问题模块四反比例函数的应用1.注意审题,明确题意即可模块五反比例函数的几何意义1.反比例函数的几何意义：如图,在反比例函数图象上任选一点,向两坐标轴作垂线,垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二,所围成三角形的面积为2.如图,四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、,那么、、、的大小顺序为3.利用k的几何意义进行面积转化：〔1.如图,直线与反比例函数〔交于、两点,与、轴的交点分别为、,那么,此方法是绝大部分学生选用的方法。但是,从效率来讲,就比较低〔2.如图,过点、作轴的垂线,垂足分别为、,则根据的几何意义可得,,而,所以,此方法的好处,在于方便,快捷,不易出错。4.k的几何意义与反比例函数对称性〔1.如图一,直线与反比例函数〔交于、两点,与、轴的交点分别为、,那么,此两种方法是绝大部分学生选用的方法。常规方法,费时、费力、而且还易计算出错。〔2.如图二,我们知道反比例函数的图象是双曲线,关于原点成中心对称,那么延长交双曲线于点,连接、则,,因此可以将的面积转化为梯形的面积基础演练基础演练一、反比例函数的概念一般的,形如____________的函数称为反比例函数,其中x是______,y是______．自变量x的取值范围是______．写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式,并指出函数的类别．<1>商场推出分期付款购电脑活动,每台电脑12000元,首付4000元,以后每月付元,个月全部付清,则与的关系式为____________,是______函数．<2>某种灯的使用寿命为1000小时,它的使用天数与平均每天使用的小时数之间的关系式为__________________,是______函数．<3>设三角形的底边、对应高、面积分别为、、．当时,与的关系式为____________,是____________函数；当时,与的关系式为____________,是____________函数．<4>某工人承包运输粮食的总数是吨,每天运吨,共运了天,则与的关系式为______,是______函数．已知是关于的反比例函数,求的值及函数的解析式。[练一练]已知函数是关于的反比例函数,求的值.若函数是反比例函数,则的值为<>.A.为任意实数B.C.D.已知与成反比例,当时,,则是的〔A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.以上都不是二、反比例函数的图象及性质1.反比例函数的图像及性质：反比例函数的图象大致是图中的<>．在下图中,反比例函数的图像大致是〔[练一练]已知点<,>在反比例函数<>的图像上,其中<为实数>,则这个函数的图像在第_____象限.[练一练]如果点在双曲线上,那么,双曲线在第______象限．反比例函数的图像所在的象限内,随增大而增大,则反比例函数的解析式是〔A.B.C.或D.不能确定[练一练]在反比例函数图象的每一支曲线上,都随的增大而减小,则的取值范围是〔A．B．C．D．已知反比例函数的图像在第二、第四象限内,函数图像上有两点,则与的大小关系为〔A.B.C.D.无法确定[练一练]若点<,>、<,>、<,>都是反比例函数的图像上,试比较、、的大小关系.已知反比例函数的图像上两点<,>,<,>,当时,有,则的取值范围是_____.[练一练]反比例函数的图像上有三点,<,>,<,>,<,>,比较,,大小.反比例函数,当时,随的增大而增大,则的值是<>．A. B.小于的实数 C. D.1在同一坐标系中,与的图象的大致位置不可能的是<>．如图所示的函数图象的关系式可能是〔A.B.C.D.如图是三个反比例函数、、在轴上方的图象,由此观察得到、、的大小关系为在直角坐标系中,点是轴正半轴上的一个定点,点是双曲线〔上的一个动点,当点的横坐标逐渐增大时,的面积将会〔A.逐渐增大B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小如图,已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点,与轴相交于点,轴于点,的面积为1,则的长为．如图,正方形的顶点在坐标轴上,点在上,点在函数的图象上,则点的坐标是．如图,都是等腰直角三角形,点在函数的图象上,斜边都在轴上,则点的坐标是．[练一练]如图所示,,……,在函数的图象上,,,,…,,…都是等腰直角三角形,斜边都在轴上,则______________．如图,直线和双曲线交于两点,是线段上的点<不与重合>,过点分别向轴作垂线,垂足分别是,连接,设面积是、面积是、面积是,则〔A．B．C．D．如图,正方形的顶点在反比例函数的图象上,顶点分别在轴和轴的正半轴上,再在其右侧作正方形,顶点在反比例函数的图象上,顶点在轴的正半轴上,则点的坐标是．三、反比例函数解析式的确定如图,反比例函数的图象与直线交于点,且点纵坐标为1,求该反比例函数的解析式．[练一练]已知关于的一次函数和反比例函数的图象都经过点,则,．已知：如图,在平面直角坐标系中,的一边在轴上,,点在第一象限,,,反比例函数的图象经过的中点．⑴求该反比例函数的解析式；⑵若该反比例函数的图象与的另一边交于点,求过、两点的直线的解析式．已知函数,且为的反比例函数,为的正比例函数,且和时,的值都是1．求关于的函数关系式．四、反比例函数的应用某种灯的使用寿命为1000小时,它的可使用天数与平均每天使用的小时数之间的关系式为.[练一练]近视眼镜的度数〔度与镜片焦距〔米成反比例,已知度近视眼镜镜片的焦距为米,则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压<>是气体体积<>的反比例函数,其图像如图所示．当气球内的气压大于时,气球将爆炸．为了安全起见,气球的体积应〔A．不小于B．小于C．不小于D．小于已知甲、乙两地相距〔km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间〔h与行驶速度〔km/h的函数关系图象大致是〔在对物体做功一定的情况下,力<牛>与此物体在力的方向上移动的距离<米>成反比例函数关系,其图像如图所示,在图像上,则当力达到10牛时,物体在力的方向上移动的距离是米.[练一练]为了预防流感,某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释效过程中,室内每立方米空气中的含药量<毫克>与时间<分钟>成正比例；药物释放完毕后,与成反比例,如图所示．根据图中提供的信息,解答下列问题：<1>写出从药物释放开始,与之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；<2>据测定,当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能进入教室?如图,帆船和帆船在太湖湖面上训练,为湖面上的一个定点,教练船静候于点．训练时要求两船始终关于点对称．以为原点,建立如图所示的坐标系,轴,轴的正方向分别表示正东、正北方向．设两船可近似看成在双曲线上运动．湖面风平浪静,双帆远影优美．训练中当教练船与两船恰好在直线上时,三船同时发现湖面上有一遇险的船,此时教练船测得船在东南方向上,船测得与的夹角为,船也同时测得船的位置〔假设船位置不再改变,三船可分别用三点表示．〔1发现船时,三船所在位置的坐标分别为和；〔2发现船,三船立即停止训练,并分别从三点出发船沿最短路线同时前往救援,设两船的速度相等,教练船与船的速度之比为,问教练船是否最先赶到？请说明理由．五、反比例函数的几何意义1.反比例函数的几何意义如图,函数与的函数图象交于两点,过点作轴于点,则的面积为．如图,已知双曲线经过矩形的边的中点,交边于点,求证：点一定是边的中点．2.利用k的几何意义进行面积转化两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示,点在的图象上,轴于点,交的图象于点,轴于点,交的图象于点,当点在的图象上运动时,以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时,点一定是的中点．[练一练]如图,点、在反比例函数<>的图象上,且点、的横坐标分别为和<>轴,垂足为,的面积为．〔1求反比例函数的解析式；〔2若点<,>,<,>也在反比例函数的图象上,试比较与的大小；〔3求的面积．3.k的几何意义与反比例函数对称性如图,一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点．〔1试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；〔2求的面积．课后作业课后作业下列是反比例函数的是〔A．B．C．D．下列关于的函数中：①；②；③；④中一定是反比例函数的有<>A．1个 B.2个 C.3个 D.4个已知是反比例函数,则它的图象在<>．A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限已知点,是反比例函数<>的图象上的两点,若,则有<>．A. B. C. D.函数与〔在同一直角坐标系中的图象可能是〔A．B．C．D．已知,且,,,则函数与在同一坐标系中的图象不可能是〔反比例函数在第一象限的图象如图所示,则的值可能是<>．A.1 B.2 C.3 D.4已知双曲线经过点,如果,两点在该双曲线上,且,那么与的大小关系为．如图,已知是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点,点在轴的负半轴上,且,那么的面积为．已知函数的图象与轴、轴分别交于点,与双曲线交于点,若,则的值为．如图,将一块直角三角板放在平面直角坐标系中,,,点在第一象限上,过点的双曲线为,在轴上取一点,过点作直线的垂线,以直线为对称轴,线段经轴对称变换后的像是．〔1当点与点重合时,点的坐标是．〔2设当线段与双曲线有交点时,的取值范围是．一定质量的氧气,密度是体积的反比例函数,当时,,则与的函数关系式为______．如图所示一蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数图象．<1>根据图象可知此蓄水池的蓄水量为______；<2>此函数的解析式为____________；<3>若要在内排完水池中的水,那么每小时的排水量至少应该是______；<4>如果每小时的排水量是,那么水池中的水需要______排完．已知点、都在反比例函数的图象上．<1>求、的值；<2>若直线与轴交于点,求关于轴对称点的坐标．已知反比例函数的图象经过点试确定此反比例函数的解析式；⑵点是坐标