北师大版九年级数学下册第一章教学课件全套

第一章

直角三角形的边角关系1.1锐角三角函数第1课时

正切九年级下册配套课件1课堂讲解正切的定义正切的应用坡度(坡角)与正切的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升梯子是我们日常生活中常见的物体.在图1-1中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？

你有几种判断方法？(2)在图1-2中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？(1) 直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？有什么关系?如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么

结论?知1－导知1－导归

纳改变点B的位置，的值始终不变。（来自《点拨》）知1－讲如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即ABC∠A的对边┌斜边∠A的邻边例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则tanA＝________．知1－讲（来自《点拨》）导引：总

结知1－讲（来自《点拨》）直角三角形中求锐角正切值的方法：(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义

求解．例2〈桂林〉如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝________．知1－讲（来自《点拨》）根据题意得∠BCD＝∠CAB，所以tan∠BCD＝tan∠CAB＝导引：总

结知1－讲（来自《点拨》）直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还可以利用相似，得到相等的比作为中间量．【2017·金华】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝

5，BC＝3，则tanA的值是()A.

B.

C.

D.知1－练（来自《典中点》）1A【中考·包头】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜

边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是()A.

B.3

C.

D.知1－练（来自《典中点》）2D如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶3，则tanB的值是(

)3

C.

D.知1－练（来自《典中点》）3A知1－练4一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来

的2倍，那么它的两个锐角的正切值(

)A．都没有变化B．都扩大为原来的2倍C．都缩小为原来的一半D．不能确定是否发生变化（来自《典中点》）A2知识点正切的应用知2－讲议一议在图1-3中，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?总

结知2－讲（来自教材）tanA的值越大，梯子越陡.知2－讲1.当梯子与地面所成的角为锐角A时，tanA＝tanA的值越大，梯子越陡．

因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度．2.当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．知2－讲例3如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?解：甲梯中，乙梯中，因为tanα＞tanβ，所以甲梯更陡.总

结知2－讲（来自《点拨》）(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾

斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程

度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放

置得越“陡”．解：∵△ABC是等腰三角形，

BD⊥AC，∴D是AC的中点．

∴DC＝AD＝AC＝2.在Rt△BCD中，tanC＝＝＝.知2－练如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？1BC2(2016·安顺)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(

)A．2

B.

C.

D.知2－练（来自《典中点》）D知2－练（来自《典中点》）在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，且CD＝2，

BD＝8，则tanA的值是(

)A．2B．4C.D.B知2－练（来自《典中点》）如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的

锐角为α，tanα＝

，则t的值是(

)A．1B．1.5C．2D．3C知2－练（来自《典中点》）5【中考·烟台】如图，BD是菱形ABCD的对角线，

CE⊥AB于点E，交BD于点F，且点E是边AB的

中点，则tan∠BFE的值是(

)A.B．2C.D.D知3－讲3知识点坡度(坡角)与正切的关系探究一、如图是某一大坝的横断面：坡面AB的垂直高度与水平宽度AE的长度之比是α的什么三角函数？αACBDE坡面AB与水平面的夹角叫做坡角.知3－讲坡度的定义：

坡面的垂直高度与水平宽度之比叫做坡度，记作i

.αABEhl坡度的概念，一要记住是一个比值而不是角度，二要明确坡度其实就是坡角的正切．例4以下对坡度的描述正确的是(

)A．坡度是指倾斜角的度数B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比D．坡度是指斜坡的高度与斜坡长度的比错解分析：概念不清，误以为坡度是一个角度，而猜测

坡度即为倾斜角的度数．（来自《点拨》）知3－讲B解：由勾股定理可知，AC＝＝≈192.289(m)，∴tan∠BAC＝≈≈0.286.所以，山的坡度大约是0.286.知3－练如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度（结果精确到0.001).1B如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠A.关于∠A的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是(

)A．tanA的值越大，梯子越缓B．tanA的值越小，梯子越陡C．tanA的值越大，梯子越陡D．梯子的陡缓程度与∠A的正切值无关知3－练（来自《典中点》）2C3如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中AD∥BC.

若两斜坡的坡度均为i＝2∶3，顶宽是3m，路基高是4m，则路基的下底宽是(

)A．7mB．9mC．12mD．15m知3－练（来自《典中点》）D正切：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，

即tanA＝ABC∠A的对边a┌斜边c∠A的邻边b1知识小结坡度(坡角)与正切的关系：坡度就是坡角的正切．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则tanB＝________.易错点：忽略求正切值的前提.2易错小结第一章

直角三角形的边角关系1.1锐角三角函数第2课时

正弦和余弦1课堂讲解正弦余弦锐角三角函数的取值范围2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升复习回顾∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，

即tanA＝ABC∠A的对边a┌斜边c∠A的邻边b1知识点正弦正弦：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对

边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝知1－讲例1如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC=200,

sinA=0.6,求BC的长.知1－讲（来自教材》）在Rt△ABC中，∵即∴BC=200×0.6=120.解：C知1－练（来自《典中点》）把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值(

)A．不变

B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍

D．不能确定A知1－练（来自《典中点》）【2017·日照】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝

13，AC＝5，则sinA的值为(

)

A.

B.C.D.B知1－练（来自《典中点》）【2017·怀化】如图，在平面直角坐标系中，点A的

坐标为(3，4)，那么sinα的值是(

)

A.

B.

C.

D.C知1－练（来自《典中点》）(2016·乐山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，

AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是(

)A．sinB＝

B．sinB＝C．sinB＝

D．sinB＝C知1－练（来自《典中点》）【中考·杭州】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB

＝4，sinA＝

，则斜边上的高等于(

)A.B.

C.D.B2知识点余弦余弦：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝知2－讲知2－讲例2如图，在Rt△ABC中，

∠C＝90°，AC＝12，

BC＝5，求sinA，cosA的值．导引：在Rt△ABC中，已知两直角边长，可先用勾股定理求

斜边长，再利用定义分别求出sinA，cosA的值．

解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝∴sinA＝cosA＝总

结知2－讲（来自《点拨》）在直角三角形中，求锐角的正弦和余弦时，一定要根据正弦和余弦的定义求解．其中未知边的长度往往借助勾股定理进行求解．知2－讲例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝

BC＝40，

求△ABC的周长和面积．已知BC＝40，求△ABC的周长，

则还需要求出其他两边的长，借

助sinA的值可求出AB的长，再

利用勾股定理求出AC的长即可，

直角三角形的面积等于两直角边

长乘积的一半．导引：知2－讲解：∵sinA＝

∴AB＝∵BC＝40，sinA＝

，∴AB＝50.又∵AC＝

∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝120，△ABC的面积为

BC·AC＝×40×30＝600.总

结知2－讲（来自《点拨》）正弦的定义表达式sinA＝可根据解题需要变形为

BC＝ABsinA或AB＝余弦的定义表达式cosA＝也可变形为

AC＝ABcos

A或AB＝.知2－练（来自《典中点》）【2017·湖州】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(

)

A.B.C.D.A知2－练（来自《典中点》）【中考·崇左】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的

是(

)A.B.C.D.A知2－练（来自《典中点》）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝2，

∠A＝α，则AC的长为(

)A．2sinαB．2cosαC．2tanαD.D知2－练（来自《典中点》）(2016·广东)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐

标为(4，3)，那么cosα的值是(

)

A.B.C.D.D知3－讲3知识点锐角三角函数的取值范围锐角三角函数的取值范围：

在Rt△ABC中，因为各边边长都是正数，且斜边边长

大于直角边边长，所以对于锐角A，有tanA＞0，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1.例4如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，

BC＝3，求∠A，∠B的三角函数值．由已知AC与BC的长可确定∠A与∠B的正切，但要

确定∠A与∠B的正弦与余弦，根据定义必须确定

斜边AB的长，这就需要先用勾股定理计算AB的长．（来自《点拨》）知3－讲导引：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.∴sinA＝

cosA＝tanA＝sinB＝cosB＝tanB＝（来自《点拨》）知3－讲解：总

结知3－讲（来自《点拨》）求一个直角三角形中锐角的三角函数值时，①若已知两边长，先根据勾股定理求第三边长，然后根

据概念直接求；②若已知两边的比，则设辅助未知数表示出两边长，然

后再用方法①求．若α是锐角，sinα＝3m－2，则m的取值范围是(

)A.

＜m＜1B．2＜m＜3C．0＜m＜1D．m＞如果0°＜∠A＜90°，并且cosA是方程

(x－0.35)＝0的一个根，那么cosA＝_______．知3－练（来自《典中点》）A0.35锐角三角函数定义：1知识小结ABC∠A的对边a┌斜边c∠A的邻边b锐角三角函数的取值范围：对于锐角A，有tanA＞0，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1.已知x＝cosα(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，求cosα的值．易错点：忽视锐角的余弦值的取值范围.2易错小结方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝

∵0＜cosα＜1，∴cosα＝常见错解：方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝此时忽略了cosα(α为锐角)的取值范围是0＜cos

α＜1，而错得cosα＝2或cosα＝解：第一章直角三角形的边角关系1.230°，45°，60°

角的三角函数值1课堂讲解30°，45°，60°角的三角函数值由特殊三角函数值求角同角(余角)三角函数间的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？(1) sin30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴进行交流.(2)cos30°等于多少？tan30°呢？做一做(1) 60°角的三角函数值分别是多少？你是怎样得到的?(2) 45°角的三角函数值分别是多少？你是怎样得到的?(3) 完成下表：sinαcosαtanα 30° 45° 60°三角函数角α三角函数值1知识点30°，45°，60°角的三角函数值1．30°，45°，60°角的三角函数值如下表：知1－讲

30°45°60°sinαcosαtanα1角α三角函数值三角函数例1计算：(1)sin30°+cos45°；(2)sin260°+cos260°—tan45°.

(1)sin30。+cos45。

=(2)sin260°+cos260°-tan45°知1－讲（来自教材）解：知1－练（来自教材）在△ABC中，∠C=90°，sinA=BC=20,

求△ABC的周长和面积.

在Rt△ABC中，∵sinA＝，BC＝20，∴AB＝＝＝25.∴由勾股定理得AC＝＝＝15.∴C△ABC＝AB＋BC＋CA＝25＋20＋15＝60，S△ABC＝BC·AC＝×20×15＝150.解：知1－练（来自教材）2计算： (1)sin60。—tan45。；

(2)cos60°+tan60°；

原式＝－1＝解：解：原式＝＋＝知1－练（来自教材）(3)sin45°+sin60°—2cos45°.解：原式＝×＋－2×

＝＋－

＝.知1－练（来自教材）3 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°,高为7m.扶梯的长度是多少？

如图，BC＝7m，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝＝14(m)．所以，扶梯的长度是14m.

解：知1－练(2016·天津)cos60°的值等于(

)A.B.1C.D.(中考·滨州)下列运算：sin30°＝

，

＝2，π0＝π，2-2＝-4，其中运算结果正确的个数为(

)A．4B．3C．2D．1（来自《典中点》）45DD知1－练【中考·包头】计算sin245°＋cos30°·tan60°，其结果是(

)A．2B．1C.D.（来自《典中点》）6A知1－练菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝

，则点B的坐标为(

)A．(，1)

B．(1，)

C．(＋1，1)

D．(1，

＋1)（来自《典中点》）7C知1－练将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是(

)A.cmB.cmC.cmD．2cm（来自《典中点》）8B2知识点由特殊三角函数值求角通过该表可以方便地知道30°，45°，60°角的三角函数值．它的另一个应用：如果已知一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数．例如：若sinθ＝

，则锐角θ＝45°.知2－讲知2－导

在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=,AC=,求∠A、∠B的度数.

∵tanA=

∴∠A=30°,∠B=60°..知2－讲例2在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝

求∠A，

∠B的度数．导引：利用特殊角的三角函数值，查找值所对应的角，再

利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B.解：∵cosA＝cos30°＝

∴∠A＝30°.∴∠B＝90°－30°＝60°.总

结知2－讲（来自《点拨》）在运用数形结合记忆法或增减规律记忆法记住特殊角的三角函数值后，很容易确定∠A的度数，从而可用两锐角互余的关系计算∠B.（来自教材）在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB,cosB,tanB.

过点A作AD⊥BC于点D.∵△ABC是等腰三角形，∴BD＝CD＝BC＝3.在Rt△ABD中，∵AD＝＝4，∴sinB＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝.解：知2－练知2－练（来自《典中点》）(中考·庆阳)在△ABC中，若角A，B满足|cosA－

|

＋(1－tanB)2＝0，则∠C的大小是(

)A．45°B．60°

C．75°D．105°D在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝

，

cosB＝

，则△ABC的形状是(

)A．直角三角形

B．钝角三角形C．锐角三角形

D．不能确定知2－练（来自《典中点》）3B若(tan

A－1)2＋|2cosB－|＝0，则△ABC是(

)A．直角三角形B．含有60°角的任意三角形C．等边三角形D．顶角为钝角的等腰三角形知2－练（来自《典中点》）4D知3－讲3知识点同角(余角)三角函数间的关系如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，令∠A＝α.(1)同角三角函数之间的关系．①平方关系：sin2

α＋cos2

α＝1.②商关系：∵且tanα＝∴＝tanα.(2)互余两角的三角函数的关系．

sinA＝cosB．同理cosA＝sinB．

即任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，

任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.

∵tanA＝tanB＝

∴tanA·tanB＝1.

此结论适用于两个角互为余角的情况.（来自《点拨》）知3－讲例3已知α为锐角，且cosα＝

求的值．运用同角三角函数的关系，由cosα的值可求得sinα

及tanα

的值，然后代入计算即可．（来自《点拨》）知3－讲导引：由sin2α＋cos2α＝1，sinα＞0，得sinα＝而cosα＝

所以sin

α＝因为＝tan

α，所以tanα＝故（来自《点拨》）知3－讲解：已知α为锐角，m＝sin2α＋cos2α，则(

)A．m＞1

B．m＝1C．m＜1D．m≥1在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝

则sinB

的值是(

)A.B.C.D.知3－练（来自《典中点》）BA3在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝

则cosA

的值为(

)A.B.C.D.知3－练（来自《典中点》）C已知α，β都是锐角，如果sinα＝cosβ，那么α与β之间满足的关系是(

)A．α＝β

B．α＋β＝90°C．α－β＝90°D．β－α＝90°知3－练（来自《典中点》）4B30°45°60°sinAcosAtanA1特殊角的三角函数值:1知识小结如图，在△ABC中，AC＝1，AB＝2，∠A＝60°，求BC的长．易错点：忽视锐角的三角函数值应在直角三角形中求解这一条件而致错.2易错小结在△ABC中，∵＝sinA，∴BC＝AB•sin

A＝2sin60°＝2×＝3.错解的原因是忽略了锐角三角函数使用的前提是在直角三角形中．本题中没有明确指出△ABC是直角三角形，因此，不能直接得到

＝sinA，必须通过添加辅助线，构造出直角三角形，再利用三角函数的定义来解决．如图，过点C作CD⊥AB于点D.错解：诊断：正解：在Rt△ADC中，∵cosA＝

，sinA＝，∴AD＝AC•cosA＝1×cos60°＝

，CD＝AC•sinA＝1×sin60°＝.在Rt△BDC中，BD＝AB－AD＝2－∴BC＝

请完成《典中点》Ⅱ、Ⅲ板块对应习题！第一章直角三角形的边角关系1.3三角函数的计算1课堂讲解用计算器求已知锐角的三角函数值用计算器求已知三角函数值的对应角用计算器探究三角函数的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01m)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=ABsin16°.你知道sin16°是多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.怎样用科学计算器求三角函数值呢？1知识点用计算器求已知锐角的三角函数值计算器的使用方法：(1)求整数度数的锐角三角函数值，在科学计算器的面

板上涉及三角函数的键有sin，cos和tan，当我们

计算整数度数的某锐角的三角函数值时，可选按这

三个键之一，然后再从高位到低位依次按出表示度

数的键，然后按＝键，屏幕上就会显示出结果．知1－讲(2)求非整数度数的锐角三角函数值，若度数的单位是用

度、分、秒表示的，在用科学计算器计算其三角函数

值时，同样先按sin，cos或tan键，然后从高位到低位

依次按出表示度的键，再按°′″键，然后，从高位到

低位依次按出表示分的键，再按°′″键，然后，从高

位到低位依次按出表示秒的键，再按°′″键，最后按

＝键，屏幕上就会显示出结果．知1－讲例1用计算器计算:(结果精确到万分位)(1)sin26°≈

；(2)sin82°48′15″≈________．已知锐角求三角函数值，按照正确的按键顺序按键，

将屏幕显示的结果按要求取近似值即可．知1－讲（来自《点拨》）导引：0.43840.9921总

结知1－讲（来自《点拨》）(1)依次按sin26＝键，得到数据再精确到万分位即可；(2)依次按sin82°’”48°’”15°’”＝键，得到数据再

精确到万分位即可．例2已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝23°，斜

边c＝14，求∠A的对边a的长．(结果精确到0.01)．

c是斜边，而a是∠A的对边，故可利用∠A的正弦求a.由sinA＝

则a＝c·sin

A＝14sin23°，利用计算器

计算得a≈5.47.知1－讲（来自《点拨》）导引：解：总

结知1－讲（来自《点拨》）对于不是特殊角的三角函数，一般只能利用计算器进行计算．注意结果要符合题目的精确度要求．知1－练（来自教材）1用计算器求下列各式的值：(1)sin56°;(2)cos20.5°；(3)tan44°59'59"; (4)sin15°+cos61°+tan76°.解：(1)sin56°≈0.8290；(2)cos20.5°≈0.9367；(3)tan44°59′59″≈1.0000；(4)sin15°＋cos61°＋tan76°≈4.7544.知1－练（来自教材）2—个人由山底爬到山顶，需先爬坡角为40°的山坡300m，再爬坡角为30°的山坡100m，求山高（结果精确到0.1m).解：如图，过点C作CE⊥AE于点E，过点B作BF⊥AE于点F，过点B作BD⊥CE于点D，则BF＝DE.在Rt△ABF中，BF＝ABsin40°；在Rt△CDB中，CD＝BCsin30°.∴CE＝CD＋DE＝CD＋BF＝BCsin30°＋ABsin40°＝100sin30°＋300sin40°≈242.8(m)．所以，山高约242.8m.知1－练（来自《典中点》）【2017·威海】为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是(

)A.2ndFsin0·25＝B.Sin2ndF0·25＝C.sin0·25＝D.2ndFcos0·25＝3A知1－练（来自《典中点》）利用计算器求sin30°时，依次按键sin30°′″＝，

则计算器上显示的结果是(

)A．0.5

B．0.707

C．0.866

D．1A知1－练（来自《典中点》）【中考·威海】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是(

)A.5÷tan26＝B.5÷sin26＝C.5×cos26＝D.5×tan26＝5D知1－练用计算器验证，下列等式正确的是(

)A．sin18°24′＋sin35°36′＝sin54°B．sin65°54′－sin35°54′＝sin30°C．2sin15°30′＝sin31°D．sin72°18′－sin12°18′＝sin47°42′（来自《典中点》）6D2知识点用计算器求已知三角函数值的对应角想一想

为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图).这条斜道的倾斜角是多少？知2－讲总

结知2－讲（来自教材）如图,在Rt△ABC中，那么是多少度呢?要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.知2－讲（来自《点拨》）1．已知三角函数值，用计算器求角度，需要用到sin，cos，tan键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和SHIFT键．2．具体操作步骤是：先按SHIFT键，再按sin，cos，tan键之一，再依次输入三角函数值，最后按＝键，

则屏幕上就会显示出结果．知2－讲例3根据下列条件求锐角A的度数：(结果精确到1′)(1)sinA＝0.7321；(2)cosA＝0.2187；(3)tanA＝3.527.导引：利用sin，cos，tan键的第二功能计算，即先按SHIFT

键，再按sin或cos或tan键，然后输入三角函数值，最

后按＝键，即可显示结果．

知2－讲解：(1)先按SHIFT

sin0.7321＝键，显示：47.06273457，再

按°’”键，即可显示47°3′45.84″，所以∠A≈47°4′.(2)先按SHIFTcos0.2187＝键，显示：77.36731078，再

按°’”键，显示77°22′2.32″，所以∠A≈77°22′.(3)先按SHIFTtan3.527＝键，显示：74.17053081，再

按°’”键,显示74°10′13.91″，所以∠A≈74°10′.总

结知2－讲（来自《点拨》）由值求角，计算器显示的角度的单位是“度”，一般需要化为用“度、分、秒”表示的形式，用°’”键可实现两者间的转换．知2－练（来自教材）1已知sinθ=0.82904,求锐角θ的度数.解：∵sinθ＝0.82904，∴θ≈56°0′1″.2一梯子斜靠在一面墙上•已知梯长4m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m,求梯子与地面所成锐角的度数.解：设梯子与地面所成的锐角为∠α，则cosα＝

＝

＝0.625.∴∠α≈51°19′4″.所以，梯子与地面所成的锐角的度数约为51°19′4″.已知sinα＝

，求α，若用科学计算器计算且结果以“度、分、秒”为单位，最后按键(

)A．AC/ONB.SHIFTC．MODE

D.°′″知2－练（来自《典中点》）3D已知α为锐角，且tanα＝3.387，下列各值中与α最接近的是(

)A．73°33′

B．73°27′C．16°27′

D．16°21′在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科学计算器求∠A约等于(

)A．24°38′

B．65°22′C．67°23′D．22°37′知2－练（来自《典中点》）45AD【中考·陕西】如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3m，铅直高度BC为2.8m，则∠A的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．知2－练（来自《典中点》）627.8°知3－讲3知识点用计算器探究三角函数的性质三角函数值的大小有锐角的度数决定，与其在哪个直角三角形中无关，具体来说：(1)tanA随着∠A的增大而增大，∠A越接近90°，tan

A的值就增加得越快，tanA可以等于任何一个正数．(2)sinA的值随着锐角A的增大而增大；cosA的值随着

锐角A的增大而减小．例4已知α，β为锐角，且cosα是方程2x2＋5x－3＝0的一

个根，cosβ≥cosα，试求α的度数及β的取值范围．先求出方程2x2＋5x－3＝0的根，从而得到cosα的值，

再根据特殊角的三角函数值求出α的度数，最后根据

锐角三角函数的增减性确定β的取值范围．（来自《点拨》）知3－讲导引：解方程2x2＋5x－3＝0，得x1＝－3，x2＝∵0＜cosα＜1，且cosα是方程2x2＋5x－3＝0的一个根，∴cosα＝∵cos60°＝

∴α＝60°.∵β为锐角，cosβ≥cosα，∴cosβ≥cos60°.又∵锐角的余弦值随角的度数的增大而减小，∴0°＜β≤60°.（来自《点拨》）知3－讲解：总

结知3－讲（来自《点拨》）解方程，由特殊角的三角函数值可知α的度数，再利用锐角与其余弦值的关系，通过比较得到β的取值范围.1在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确

的是(

)A．sinA＝sinB

B．tanA＝tanBC．sinA＝cos

B

D．cos

A＝cos

B知3－练（来自《典中点》）C用计算器比较tan25°，sin27°，cos26°的大小关系是(

)A．tan25°<cos26°<sin27°B．tan25°<sin27°<cos26°C．sin27°<tan25°<cos26°D．cos26°<tan25°<sin27°知3－练（来自《典中点》）2C用计算器求sin15°，sin25°，sin35°，sin45°,sin55°，sin65°，sin75°，sin85°的值，研究sinα的值随锐角α变化的规律，根据这个规律判断：若

<sinα<

，则(

)A．30°<α<60°B．30°<α<90°C．0°<α<60°D．60°<α<90°知3－练（来自《典中点》）3A1．利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序为：

先按

键或

键或

键，再按角度值，

最后按

键就可求出相应的三角函数值．2．已知锐角三角函数值也可求相应的锐角，按键顺

序为：先按

键，再按

键或

键或

键，然后输入三角函数值，最后按

键

就可求出相应角度．sinsincoscostantan2ndF==1知识小结用计算器求sin35°29′的值(结果精确到0.001)．易错点：不区分35°29′与35.29°而导致错误.2易错小结sin35°29′≈0.580.解：第一章直角三角形的边角关系1.4解直角三角形1课堂讲解已知两边解直角三角形已知一边及一锐角解直角三角形已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升(2)两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°(3)边角之间的关系(1)三边之间的关系ABabcC在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素.锐角三角函数ABabcC什么是解直角三角形解直角三角形：

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．

一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素(其中必须有一个元素是边)，则这样的直角三角形可解.1知识点已知两边解直角三角形在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？知1－讲(1)三边之间的关系；(2)两锐角之间的关系；(3)边角之间的关系：sinA＝

＝cosB，

cosA＝

＝sinB，

tanA＝知1－讲（来自《点拨》）知1－讲应用勾股定理求斜边，应用角的正切值求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．已知两直角边：已知斜边和直角边：例1在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边

分别为a,b,c，且a=

b=求这个三角形的其

他元素.在Rt△ABC

中，a2+b2=c2，

在Rt△ABC

中，sinB=

∴∠B

=30°.∴∠

A

=60°.知1－讲（来自教材）解：例2已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C

的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角

形的其他元素．(角度精确到1′)

求这个直角三角形的其他元素，与“解这个直角三角

形”的含义相同．求角时，可以先求∠A，也可以先

求∠B，因为

＝sinB＝cosA.知1－讲导引：由c＝5，b＝4，得sinB＝

＝0.8，∴∠B≈53°8′.∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.由勾股定理得知1－讲解：例3

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对

边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2.求这个三角形的

其他元素．(角度精确到1′，边长精确到0.01)

已知两边，根据勾股定理可求出第三边．求锐角，

需要由边的比值，运用三角函数求得．知1－讲导引：由勾股定理得由tanA＝＝0.5，得∠A≈26°34′，∴∠B＝90°－∠A≈63°26′.知1－讲解：知1－练在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，则∠A的度数为(

)A．90°

B．60°C．45°

D．30°（来自《典中点》）1D2在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A的值，最适宜的做法是(

)A．计算tanA的值求出B．计算sinA的值求出C．计算cos

A的值求出D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出知1－练（来自《典中点》）C知1－练【中考·兰州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝(

)A.

B.

C.

D.（来自《典中点》）3D知1－练如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tanB＝(

)A．

B．

C.D.（来自《典中点》）4B2知识点已知一边及一锐角解直角三角形知2－导已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a和一锐角A：①∠B=90

°-

∠A；②c=若已知斜边c和一个锐角A：①∠B=90°-

∠A；②a=c·sin

A;③b=c·cos

A.知2－讲例4在Rt△ABC，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分

别为a，b，c，且b=30,∠B=25°求这个三角形的其他

元素（边长精确到1).在沿Rt△ABC，∠C=90°，∠B=25°

∴∠A=65°.

∵

∴

∵∴解：总

结知2－讲（来自《点拨》）在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.知2－讲例5在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分

别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形

的其他元素．(长度精确到0.01)

已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而

已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数．

∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，

∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.由sinA＝得a＝c·sinA＝100·sin26°44′≈44.98.由cosA＝

得b＝c·cosA＝100·cos26°44′≈89.31.解：导引：在Rt△ABC中，由勾股定理得c＝＝.∵sinA＝＝＝，∴∠A≈27°.∵∠C＝90°，∴∠B＝90°－∠A≈63°.知2－练（来自教材）1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（角度精确到1°):

(1)已知a=4,b

=8;

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，

∴∠A＝30°.∵sinB＝，b＝10，∴c＝＝＝.由勾股定理得a＝＝.知2－练（来自教材）

(2)已知b

=10，∠B＝60°;

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°.∵sinA＝，c＝20，∴a＝c·sinA＝20×sin60°＝20×＝.由勾股定理得b＝＝10.知2－练（来自教材）

(3)已知c

=20，∠A＝60°;

解：知2－练(2016·沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(

)A.B．4C．8D．4（来自《典中点》）2D知2－练3在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，

则a等于(

)A.B.C．6D.（来自《典中点》）B知2－练【2017·益阳】如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)(

)A.B.C.D．h·cosα（来自《典中点》）4B知2－练【2017·滨州】如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为(

)A．2＋

B．2C．3＋

D．3（来自《典中点》）5A知3－讲3知识点已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形例6如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝