流体力学第六章-相似原理与量纲分析课件

第一节

因次(量纲)分析

一、量纲和单位

单位（unit）：量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。

量纲（dimension）：是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和类别。如长度量纲为[L]。——“质”的表征。

基本量纲（fundamentaldimension）：具有独立性的不能由其他量量纲纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度、时间、质量，即[L-M-T]诱导量纲（deriveddimension）:是指由基本量纲导出的量纲。

量纲公式:

几何学量纲：α≠0,β=0,γ=0，

分类运动学量纲：α≠0，β≠0，γ=0

动力学量纲：α≠0，β≠0，γ≠0

无量纲数（纯数，如相似准数）：α=0,β=0,γ=0，即[x]=[1]。

特点：（1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；

（2）具有客观性；

（3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数.

第一节

因次(量纲)分析

一、量纲和单位

1二、量纲和谐原理

量纲和谐原理（theoryofdimensionalhomogeneity）：

凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。这称为量纲和谐原理。

量纲和谐原理的重要性：

a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。

b.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。

c.可用来建立物理方程式的结构形式。

二、量纲和谐原理2

物理过程的有量纲表达形式为，其中m个物理量的量纲被选为基本量纲，余下n-m个物理量可各自与这m个物理量组合成无量纲量，定理的结论是：物理过程的无量纲表达形式为

1.定理

物理过程涉及n个物理量，其中有m个物理量的量纲是互相独立的，选这些量纲为基本量纲，可组成n-m个无量纲量，物理过程则可由这n-m个无量纲量的关系式描述。否则就违反了量纲和谐原理。物理过程的有量纲表达形式为，其3例初速为零的自由落体运动位移ss

～g,tg,t选为基本量纲三个量只能组成一个无量纲量

s/gt2初速为零的自由落体运动规律s/gt2=C做一次实验测得C=1/2

，就不用再做类似实验，包括在月球上做实验。例初速为零的自由落体运动位移ss～g,tg,t4

π定理的解题步骤：

（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式:

（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H，v，ρ。

（3）确定π数的个数N（π）=（n-m），并写出其余物理量与基本物理量组成的π表达式

（4）确定无量纲π参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的指数x，y，z，从而定出各无量纲π参数.（5）写出描述现象的关系式

或显解一个π参数，如：

或求得一个因变量的表达式

π定理的解题步骤：5

选择基本量时的注意原则：

1）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（M，L，T）为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量同样只须选择两个。

2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。

3）不能有任何两个基本变量的因次是完全一样的，换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。

6

2.雷利法

雷利法是量纲和谐原理的直接应用，

雷利法的计算步骤：

1.确定与所研究的物理现象有关的n个物理量；

2.写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：FD=kDx

Uyρz

μa

3.根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数x,y,z,a，代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。

应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小于等于4~5个.

2.雷利法7第二节

相似的基本概念

原型：天然水流和实际建筑物称为原型。

模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。

水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。

水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。

关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。

流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。

第二节

相似的基本概念

原型：天然水流和实际建筑物称为原8模型和原型保证流动相似，应满足：

几何相似

运动相似

动力相似

初始条件和边界条件相似

1.几何相似

几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。

长度比尺：

（6-1）

面积比尺：

（6-2）

体积比尺：

（6-3）

模型和原型保证流动相似，应满足：92.

运动相似

运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。

速度比尺：

（6-4）

加速度比尺：

（6-5）

3.动力相似

动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。

力的比尺：

（6-6）2.

运动相似104.初始条件和边界条件的相似

初始条件：适用于非恒定流。

边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等

。

流动相似的含义：

几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；

动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；

运动相似是几何相似和动力相似的表现；

凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。

4.初始条件和边界条件的相似11第三节

相似准则

动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系。

流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。

则

根据动力相似有

λF=λI

第三节

相似准则

动力相似准则：在两相似的流动中12即

（6-7）

若称

牛顿数，即

（6-8）

所以两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似的重要标志和准则，称为牛顿数相似准则。

完全的动力相似，要求惯性力与其他力比值都相等，但实际上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作用的力给予满足。

即131.雷诺（粘滞力）准则

（6-9）

式中：L——为流场中的特征线性长度。

Re——雷诺数

当粘滞力起主要作用时，动力相似有：

（6-10）

适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似。另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力相似。如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。

1.雷诺（粘滞力）准则142.弗汝德（重力）准则

（6-11）

一般取

（6-12）

当重力起主要作用时，动力相似有：

（6-13）

适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等。2.弗汝德（重力）准则15流体力学第六章-相似原理与量纲分析课件16.欧拉准则

流体流动以动水总压力为主要作用力的情况：

（6-14）

当压力起主要作用时，动力相似有：

一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗劳德数相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。

4.韦伯准则

表面张力为主导作用力时的相似准则：

（6-16）

当表面张力起主要作用时，动力相似有：

（6-17）（6-15）

.欧拉准则

一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液175.马赫数

弹性力为主导作用力时的相似准则（例水击现象）：

柯西数

（6-18）

令

式中：

——流体声速

——弹性模量

5.马赫数18

当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音速或超音速运动等，动力相似有：

（6-20）

6.斯特哈罗数（时间准则）

斯特哈罗数：非恒定流体流动中，当地加速度，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。

（6-21）

f——振动频率

对非恒定流，表明有变力作用，动力相似有：

（6-22）

当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音速或超音19

相似准则：重力相似准则：保证两现象的弗劳德数相等压差力相似，即欧拉数相等往往是两现象动力相似的结果粘性相似准则：保证两现象的雷诺数相等相似准则：重力相似准则：保证两现象的弗劳德数相等压差力相似20本章小结

1.两液流流动相似必须满足：

（1）几何相似——原形和模型两个流场的几何形状相似；

（2）运动相似——原形和模型两个流场的速度场相似；

（3）动力相似——原形和模型两个流场中各相应质点所受的同名方向相同，大小成一固定比例；

（4）初始条件和边界条件相似；

2.相似准则：Re相似准则、Fr相似准则、Eu相似准则

本章小结

1.两液流流动相似必须满足：21原型和模型中采用同一种流体时，不能同时满足重力相似和粘滞力相似；所以只要相应点的粘滞力或重力相似压强会自行相似。

3.基本量纲——具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲。一般取[L-M-T]。

诱导量纲——由基本量纲导出的量纲。[X]=[Lα，Tβ，Mγ]。

4.量纲和谐原理——凡是正确反映客观物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只是方程两边量纲相同，方程才能成立。

5.量纲分析两种方法

雷利法——直接应用量纲和谐原理来求解，适用于较简单问题。

π定理——具有普遍性的方法。关键在于正确选择基本量。

原型和模型中采用同一种流体时，不能同时满足重力22第一节

因次(量纲)分析

一、量纲和单位

单位（unit）：量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。

量纲（dimension）：是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和类别。如长度量纲为[L]。——“质”的表征。

基本量纲（fundamentaldimension）：具有独立性的不能由其他量量纲纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度、时间、质量，即[L-M-T]诱导量纲（deriveddimension）:是指由基本量纲导出的量纲。

量纲公式:

几何学量纲：α≠0,β=0,γ=0，

分类运动学量纲：α≠0，β≠0，γ=0

动力学量纲：α≠0，β≠0，γ≠0

无量纲数（纯数，如相似准数）：α=0,β=0,γ=0，即[x]=[1]。

特点：（1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；

（2）具有客观性；

（3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数.

第一节

因次(量纲)分析

一、量纲和单位

23二、量纲和谐原理

量纲和谐原理（theoryofdimensionalhomogeneity）：

凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。这称为量纲和谐原理。

量纲和谐原理的重要性：

a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。

b.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。

c.可用来建立物理方程式的结构形式。

二、量纲和谐原理24

物理过程的有量纲表达形式为，其中m个物理量的量纲被选为基本量纲，余下n-m个物理量可各自与这m个物理量组合成无量纲量，定理的结论是：物理过程的无量纲表达形式为

1.定理

物理过程涉及n个物理量，其中有m个物理量的量纲是互相独立的，选这些量纲为基本量纲，可组成n-m个无量纲量，物理过程则可由这n-m个无量纲量的关系式描述。否则就违反了量纲和谐原理。物理过程的有量纲表达形式为，其25例初速为零的自由落体运动位移ss

～g,tg,t选为基本量纲三个量只能组成一个无量纲量

s/gt2初速为零的自由落体运动规律s/gt2=C做一次实验测得C=1/2

，就不用再做类似实验，包括在月球上做实验。例初速为零的自由落体运动位移ss～g,tg,t26

π定理的解题步骤：

（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式:

（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H，v，ρ。

（3）确定π数的个数N（π）=（n-m），并写出其余物理量与基本物理量组成的π表达式

（4）确定无量纲π参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的指数x，y，z，从而定出各无量纲π参数.（5）写出描述现象的关系式

或显解一个π参数，如：

或求得一个因变量的表达式

π定理的解题步骤：27

选择基本量时的注意原则：

1）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（M，L，T）为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量同样只须选择两个。

2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。

3）不能有任何两个基本变量的因次是完全一样的，换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。

28

2.雷利法

雷利法是量纲和谐原理的直接应用，

雷利法的计算步骤：

1.确定与所研究的物理现象有关的n个物理量；

2.写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：FD=kDx

Uyρz

μa

3.根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数x,y,z,a，代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。

应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小于等于4~5个.

2.雷利法29第二节

相似的基本概念

原型：天然水流和实际建筑物称为原型。

模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。

水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。

水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。

关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。

流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。

第二节

相似的基本概念

原型：天然水流和实际建筑物称为原30模型和原型保证流动相似，应满足：

几何相似

运动相似

动力相似

初始条件和边界条件相似

1.几何相似

几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。

长度比尺：

（6-1）

面积比尺：

（6-2）

体积比尺：

（6-3）

模型和原型保证流动相似，应满足：312.

运动相似

运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。

速度比尺：

（6-4）

加速度比尺：

（6-5）

3.动力相似

动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。

力的比尺：

（6-6）2.

运动相似324.初始条件和边界条件的相似

初始条件：适用于非恒定流。

边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等

。

流动相似的含义：

几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；

动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；

运动相似是几何相似和动力相似的表现；

凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。

4.初始条件和边界条件的相似33第三节

相似准则

动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系。

流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。

则

根据动力相似有

λF=λI

第三节

相似准则

动力相似准则：在两相似的流动中34即

（6-7）

若称

牛顿数，即

（6-8）

所以两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似的重要标志和准则，称为牛顿数相似准则。

完全的动力相似，要求惯性力与其他力比值都相等，但实际上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作用的力给予满足。

即351.雷诺（粘滞力）准则

（6-9）

式中：L——为流场中的特征线性长度。

Re——雷诺数

当粘滞力起主要作用时，动力相似有：

（6-10）

适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似。另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力相似。如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。

1.雷诺（粘滞力）准则362.弗汝德（重力）准则

（6-11）

一般取

（6-12）

当重力起主要作用时，动力相似有：

（6-13）

适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等。2.弗汝德（重力）准则37流体力学第六章-相似原理与量纲分析课件38.欧拉准则

流体流动以动水总压力为主要作用力的情况：

（6-14）

当压力起主要作用时，动力相似有：

一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗劳德数相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。

4.韦伯准则

表面张力为主导作用力时的相似准则：

（6-16）

当表面张力起主要作用时，动力相似有：

（6-17）（6-15）

.欧拉准则