职高-基础模块-第三章函数全教（学）案

..课题§3.1函数的概念〔1[教学目标]1.培养从图表中获得函数关系的能力,明确自变量、因变量；2.理解函数的"集合式"定义及符号表达；3.理解函数的定义域和值域.[教学重点]函数的概念：对应法则、定义域和值域[教学难点]从集合的观点对函数概念的理解。[教学过程]一、引入同学们,我们生活的这个世界,有各种各样的事物,而每个事物间又是相互联系、相互依赖的。如：随着时间的变化,太阳东升日落,气温也在悄悄变化,我国的国民生产总值在不断增长等等。试问：我们如何刻画这些变化着的现象？怎样找到这些现象中变量之间的关系？二、探究活动在现实生活中,我们会遇到下列问题：1．〔书P38图3-1某城市一天的气温变化图-2-248181448yOx-4261012166210202224y=f<x>,0≤x≤24A⑴上午8时的气温约是多少？图中的A点表示了什么信息？A⑵请指出这一天气温相同的两对时间点。⑶这一天的最高气温是多少？最低气温是多少？分别在几时？⑷图3-1表示了该城市什么时间段的气温变化情况？这一天的温差是多少？气温从最低上升到最高经过了多长时间？⑸这段时间段内气温在上升？哪些时间段内气温在下降？＃对任一时刻t,都有惟一的温度θ与之对应。2．〔书P39问题解决上述三个问题中,都反映出两个变量之间的关系,当一个变量的取值确定后,另一个变量的值也随之惟一确定。回忆初中学习的函数的概念？〔书P39页脚考察上述函数关系,回答下列问题：⑴各个函数关系中自变量取值的集合分别是什么？其中有空集？每个问题均涉及两个非空数集A,B。AB问题1｛t|0≤t≤24｝｛θ|-2≤θ≤10｝问题2{1,2,3,…}｛5,10,15,20,…｝问题3｛x|8.5≤x≤18｝｛y|127.5＜y≤175｝问题4<0,10><0,25]⑵各个函数关系中对于自变量的每一个取值,按什么规则找到唯一的因变量值与之对应？存在某种对应法则,对于A中任意元素x,B中总有一个元素y与之对应。121234┇5101520┇yx问题2θ06715┇-2-1010┇t问题1〖单值对应〗对于A中的任一个元素x,B中有惟一的元素y与之对应。或一个输入值对应到惟一的输出值。[练习1]问题1中的对应t→θ,是否为单值对应？θ→t是否为单值对应？完成教材第39页练习,这些对应是单值对应吗？完成教材第40页例题1,这些对应是单值对应吗？〖总结1〗单值对应为一对一,多对一,而不能一对多。〖函数的概念〗⑴设A、B是一个非空的数集,如果对于集合A中的任何一个元素x,按照某个确定的法则f,在B中都有惟一确定的元素y与它对应,那么这种对应关系f就称为从A到B的函数,记为y=f〔x,其中x为自变量,y为因变量。函数y=f〔x也可简记为f〔x。函数y=f〔x在x=a时的函数值记作f〔a。所有自变量x组成的集合A叫函数的定义域,因变量y的取值集合叫做函数的值域。⑵函数是建立在两个非空的数集上的单值对应。⑶函数的三要素：定义域、对应法则、值域。⑷一一对应函数：如果y是x的函数,并且对于值域中任一y,在定义域A中存在惟一的x,使y＝f<x>,则这样的函数叫做一一对应函数．三、例题例1.判断下列对应是否为函数,若是,是否为一一对应函数：〔1—4备选《教与学新方案》P58例1⑴⑵⑶⑷⑸如下图所示的对应x→y,能表示函数的是。xyODxyODxyOCxyOBxyOA〖小结2〗判断对应是否为函数,一般从两方面入手：〔1D中的每一个值是否对对应关系都有意义？〔2由对应法则f得到的值是否唯一？函数概念的要点：⑴两个非空数集A、B。⑵A中的任一个元素,B中都有惟一的元素与之对应；而B中的元素在A中的对应元素可以不惟一,也可以没有。例2.〔书P40例2已知函数,求当x=－1,0,2时的函数值。点拨：当中的用一具体值代人时,可直接求出函数式的值,当中的用一代数式代入时,可求得另外一个解析式。提高练习：<1>用上例求<2>已知,求的解析式。[练习2]完成教材第40页练习2.四、课堂练习见上练习1、2五、课堂小结1.理解函数的概念。2.把握函数的"对应关系",确定自变量,因变量。六、布置作业1.完成教材第42页习题1,32.完成《学习指导用书》及《教与学》中《函数的概念〔1》中练习。七、板书设计八、教后反思课题§3.1函数的概念〔2[教学目标]1.会求一些最基本函数定义域、值域、最大值、最小值2.能对以往学过的知识理性化思考,对事物间的联系有一种数学化的思考。[教学重点]求最基本函数的定义域和值域[教学难点]求最基本函数的函数的值域[教学过程]一、复习1.函数的概念？设A、B是一个非空的数集,如果对于集合A中的任何一个元素x,按照某个确定的法则f,在B中都有惟一确定的元素y与它对应,那么这种对应关系f就称为从A到B的函数,记为y=f〔x,其中x为自变量,y为因变量。其中,所有自变量x组成的集合A叫函数的定义域,因变量y的取值集合叫做函数的值域。2.①函数是单值对应,一个输入值对应惟一的输出值,即"一对一"或"多对一"的对应。②函数的三要素：定义域、对应法则、值域；只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。二、新课讲授从书P40表3-1、P39图3-3、P39〔3问题中我们可以看出,函数可以用列表,图象,解析式来表示。对给定的函数时必须要指明定义域,对于用解析式表示的函数如果没指明定义域,则认为函数的定义域是指使解析式有意义的所有实数组成的集合。〔书P41三、例题例1.求下列函数的定义域：〔1〔2〔3〔4<5><6>〔7若函数f<x>的定义域[0,3],求下列函数的定义域①②分析：<1>函数的定义域是指函数表达式有意义的输入值的集合。<2>函数的定义域必须用集合或区间来表示,不能只用不等式表示。〖总结1〗：一.求函数定义域的原则〔1〔2〔3〔4函数表达式由几个式子构成,则定义域是使各个部分式子都有意义的实数集合的交集。二．求抽象函数的定义域时,应将f<x>中处于x位置的表达式视为整体。例2．试比较下列两个函数的定义域和值域〔1〔2例3.求下列函数的值域〔1y=2x-1<2><3><4>〔5分析:<1>直接法<2>图像法〔3配方法〔4图像法<5>图像法〖总结3〗：〔1一次函数时的值域为：R；〔2一次函数时的值域与集合D的取值有关,可代入；〔3二次函数的值域时可以配方,xD的值域时可以用图像法〔4反比例函数的值域为例4判断下列各组中两个函数是否为同一个函数：〔备《教与学新方案》P58例2〔1〔2〔3〔4〔5分析：两个函数是否表示同一函数,主要看三要素：定义域、对应法则、值域是否相同。〖总结2〗：若两个函数的定义域,对应法则一致,则它们的值域一定相同,所以判断函数是否相同只要判断函数的定义域和对应法则是否相同即可。四、课堂练习《导学与同步训练》P54-55试金石五、课堂小结1.理解函数的定义域和值域的概念。2.会求简单函数的定义域和值域。六、布置作业完成《学习指导用书》及《导学》中《函数的概念〔3》P55中练习。七、板书设计八、教后反思课题§3.2函数的表示方法[教学目标]1.能从不同方式表示的函数关系中获得函数的基本特征；2.掌握函数的三种表示法。[教学重点]能用几种方法表示函数[教学难点]理解解析式、图像法表示函数[教学过程]一、阅读并划出三种表示法的定义的关键词函数的表示法〔书P43-44,46-47〔1列表法定义：列出表格来表示两个变量的函数关系。它的优点是：不必通过计算就能知道函数对应值。例：初中接触过的平方表,平方根表,立方表,立方根表,三角函数表,汽车、火车站的里程价目表等等。又如：1990-1994年国民生产总值表〔略。〔2图象法定义：用函数图象表示两个变量之间的关系。例：平时作的函数图象：二次函数、一次函数、反比例函数图象。又如：气象台温度的自动记录器,记录的温度随时间变化的曲线〔略人口出生率变化曲线〔略它的优点是：直观形象地表示出函数变化情况。注意：函数的图象可以是直线〔如：一次函数、曲线〔如：抛物线,也可以是折线及一些孤立的点集〔或点。〔3解析法定义：把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式。它的优点是：关系清楚,容易求函数值、研究性质。例：匀速直线运动公式：〔如圆面积公式：圆柱表面积：二次函数〔≥2二、例题讲解例1.一水库的水位在最近5小时内持续上涨,下表记录了这5小时的水位高度。t/时012345…y/米1010.0510.1010.1510.2010.25…由记录表推出这5小时中水位高度y〔米随时间t〔时变化的函数解析式,并画出函数图像。据估计这种上涨的情况还会持续2小时,预计再过2小时水位高度将达到多少米？〔《教与学新方案》P62例1〖总结1〗：函数的图像通常是一段或几段光滑的曲线,但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。例2.把长为a的铁丝折成矩形,设矩形的长一边为x,面积为s,求矩形面积s与一边长x的函数关系式。〔《教与学新方案》P62例2〖总结2〗：在解决实际问题时,求出函数解析式后,要写出定义域。三、课堂练习1.《导学与同步训练》P57-59试金石2.画出的图像。四、课堂小结1.理解函数三种表示法；2.会三种函数的表示法间的转化。五、布置作业1.完成《教与学》P63-652.完成《导学》中《函数的表示方法〔1〔2》P57-60六、板书设计七、教后反思课题§3.3函数的单调性〔1[教学目标]1.渗透数形结合的数学思想。2.理解函数单调性的概念,并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。[教学重点]函数单调性概念。[教学难点]函数单调性概念。[教学过程][探究活动]创设情境问题1：观察下列函数的图象,并指出图象变化趋势。xxyO12-1y=<x-1>2-1yOyOy=1/x,x>0xOyy=2x+1-24-248181448yOx-4261012166210202224y=f<x>,0≤x≤24<4>〔书P38图3-1问题2：这四个函数在定义域范围内,哪些区间上随自变量x的增大,因变量y也增大,哪些区间上随自变量x的增大,因变量y减小？师生探究问题3：如何用数学语言来准确表达函数的单调性？例如,怎样表述当x的值在区间〔0,+上增大时,函数y的值也增大？能否说,由于x=1时,y=3;x=2时,y=5就说随着x的增大,函数值y也随着增大？能否说,由于x=1,2,3,4,5,…时,相应地y=3,5,7,9,…就说随着x的增大,函数值y也随着增大？那么单调增函数如何精确定义呢？一般地,设函数的定义域为A,区间.如果对于区间内的任意两个值、,当时都有,那么就说在这个区间上是单调增函数,称为的单调增区间。练习：指出问题1中各函数的单调增区间。问题4：如何定义单调减函数？如果对于区间内的任意两个值、,当时都有,那么就说在这个区间上是单调减函数,称为的单调减区间。练习：指出问题1中各函数的单调减区间。如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数在这一区间具有单调性,这一区间叫做的单调区间。练习：指出问题1中各函数的单调区间。说明：〔1函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；〔2函数的单调性是对某个区间而言的,在某一点上不存在单调性；〔3函数单调性的定义中,实际上含有两层意思：①对于任意的,,若,有,则称在上是增函数；②若在上是增函数,则当时,就有．数学应用例1画出下列函数的图象,并写出单调区间：〔1〔2〔3思考：能不能说,函数在定义域上是单调减函数？例2求证：函数在区间上是单调增函数拓展：判断函数在定义域上的单调性？析：〔1判断〔通过画图〔2证明：1.在上单调增设且=,即。因此函数在上单调增<注意：通分后分别判断和与0的大小关系>2.在上单调减与上类同〖总结1〗：判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：①取值：在给定区间上任取两个值,,且；②作差变形：作差,通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；〔一般写出因式相乘的形式③定号：判断上述差的符号,若不能确定,则可分区间讨论；④结论：根据差的符号,得出单调性的结论。四、课堂练习书P51、54练习五、课堂小结函数单调性如何定义的？单调增函数、单调减函数分别要满足什么条件？怎样判断函数单调性？有哪些方法？六、布置作业㈠1、书P54习题1〔1-〔62、下列说法正确的有〔=1\*GB3①若,当时,,则在I上是增函数=2\*GB3②函数在R上是增函数=3\*GB3③函数在定义域上是增函数=4\*GB3④的单调区间是A.0个B.1个C.2个D.3个3、设函数在R上是减函数,则有A.B.C.D.4．判断函数的单调性,并给出证明。㈡、完成《学习指导用书》及《导学》中《函数的单调性》P61-63中练习。七、板书设计八、教后反思课题§3.3函数的单调性〔2[教学目标]1.进一步掌握单调性,会求复合函数的单调区间；2.会应用单调性解题。3.学会根据函数单调性的判断进而求解函数的最值。[教学重点]1.复合函数单调性的判断。2.函数最值的求解。[教学难点]1.复合函数单调性的判断。2.函数最值的求解。[教学过程][学前准备]我们知道的单调区间是,那么的单调区间与相同吗？其单调性也是一样吗？[探究活动]创设情境函数单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质。判断函数的单调性的方法有：①定义法；②图象法。练习：证明是函数的单调递减区间。师生探究例1．判断下列函数的单调区间：〖总结1〗：复合函数的单调性的判断：设,,,都是单调函数,则在上也是单调函数。即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减〔类似于"负负得正"例2．已知函数在区间上是增函数,求实数取值范围；〔《教与学》P71例1析：分一次函数,二次函数分别讨论yOx-1yOx-1-2-1-2-4-31231234567-1.5例4求下列函数的最小值：〔1〔2〔3变式延伸：〔1〔2你能总结出求解函数最值的方法吗？〔先画图,然后看图结合单调性判断四、课堂练习1．〔1函数的单调递减区间是,单调递增区间为．〔2的单调递增区间为．2．函数在上是减函数,求a的取值范围。3．函数的最小值为1,则m的值为4.函数的最大值为5.的最大值为五、课堂小结1．复合函数单调性判断法则是什么？2.判断函数单调性与求函数最值有什么关系？函数最值的基本方法是什么？六、布置作业㈠1．已知函数在区间〔3,+∞上是增函数,求实数a的取值范围。2．在区间上是函数。3．下列函数中,在内是减函数的是〔A.B.C.D.4．函数y=的单调增区间是单调减区间是5．函数f<x>=4x,当x∈[-2,+∞]时为增函数,当x∈〔-∞,-2时为减函数则f<1>=6．求下列函数的最值：〔1〔2〔3〔4㈡、完成《学习指导用书》及《导学》中《函数的单调性》P61-63中练习及《教与学》。七、板书设计八、教后反思课题§3.4函数的奇偶性〔1[教学目标]1.师生共同探究,从形的角度来直观感受,从数的角度进行严格论证。2.理解奇函数、偶函数的概念,掌握判断函数奇偶性的方法。[教学重点]奇偶性的概念及函数奇偶性的判定。[教学难点]奇偶性的概念及函数奇偶性的判定。[教学过程][探究活动]创设情境"对称"是大自然的一种美,这种"对称美"在数学中也存在吗？师生探究问题1：〔1观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性。OyxOyxO－1－11yxOyx〔2什么叫"关于y轴对称"？〔3图象是由点构成的,那么关于y轴对称的两个点的坐标之间有什么关系？〔4上述图象上的每个点都能在其上找到它关于y轴的对称点吗？总结：一般地,如果对于函数的定义域内的任意一个,都有,那么称函数是偶函数。问题2：〔1观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性。〔2什么叫"关于原点对称"？〔3图象是由点构成的,那么关于原点对称的两个点的坐标之间有什么关系？〔4上述图象上的每个点都能在其上找到它关于原点的对称点吗？1111Oxy12Oxy总结：一般地,如果对于函数的定义域内的任意一个,都有,那么称函数是奇函数。如果一个函数是奇函数或偶函数,我们就说它具有奇偶性。说明：从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数：〔1其定义域关于原点对称；〔2或必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算,看是等于还是等于,然后下结论；若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。〔3无奇偶性的函数是非奇非偶函数。〔4函数是奇函数函数的图象关于原点对称函数是偶函数函数的图形关于轴对称数学应用例1判断下列函数的奇偶性：〔1〔2〔3〔4〔5〔6〔7〔8解：〔2函数的定义域为R,关于原点对称.是奇函数.〖总结1〗：判断函数奇偶性的步骤：①判断函数的定义域是否关于原点对称；②化简函数表达式；③比较的关系。注：多项式函数的各项关于自变量的次数为偶〔奇数时,该函数为偶〔奇数。〔常数项即自变量的次数为0思考：判断函数y=c〔c为常数的奇偶性。〔书P57问题解决分：当c=0——既是奇函数又是偶函数当c0——偶函数例2判断下列函数的奇偶性：〔1〔2<3>例3已知是偶函数,求实数的值。〔备例4已知函数若,求的值。四、课堂练习书P58习题1—4五、课堂小结函数的奇偶性是如何定义的？如何判断函数具有奇偶性？有几种方法？具有奇偶性的函数的图象有何特征？既是奇函数又是偶函数的函数是什么样？六、布置作业㈠1．判断下列函数的奇偶性：〔1书P58习题1；2〔1、2；4〔2〔3〔4〔52．函数为奇函数,则a=3．已知,当为何值时,为奇函数。㈡、完成《学习指导用书》及《导学》中《函数的奇偶性》P66-71中练习。七、板书设计八、教后反思课题§3.4函数的奇偶性〔2[教学目标]1.从形与数两个方面进行分析,深刻理解函数奇偶性、单调性的概念。2.通过复合函数奇偶性、单调性概念的形成过程,培养学生观察、归纳、抽象的能力。[教学重点]复合函数奇偶性、单调性的判定。[教学难点]复合函数奇偶性、单调性的判定。[教学过程][学前准备]函数在上是单调递增的,若是奇函数,那么在其定义域内对称的区间[1,4]上的单调性如何？若是偶函数呢？[探究活动]创设情境我们学习了函数的奇偶性和单调性,对于函数的这两大性质我们都可以从两方面来考虑：1.从图象来看2.从代数式来分析。前者直观,后者严谨。那么怎样结合两者来解决问题呢？师生探究例1〔1函数在上是奇函数,而且在上是增函数,那么在上是。〔增函数〔2奇函数在上有最大值为3,求函数在上的最值。〔最小值-3析：通过图像举例说明。〖总结1〗：函数的奇偶性和单调性的综合：奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致；偶函数则在在对称于原点的两个区间上的单调性相反！例2已知是定义在上的奇函数,当时,,求。〔《教与学》P75例2例3已知是偶函数,是奇函数,且,求与的表达式。例4已知奇函数在定义域上是单调减函数,且,求a的取值范围。<《教与学》P75例3>四、课堂练习《教与学》P76-77及《导学》P67、P70试金石五、课堂小结具有奇偶性的函数,在它定义域内对称的两个区间里单调性有何特征？六、布置作业㈠已知是R上的偶函数,当时,,求的解析式。2．已知是偶函数,是奇函数,且,求与的表达式。3．已知奇函数在区间上是单调增函数,且,求的取值范围。4．函数是定义上的奇函数,且确定函数的解析式；用定义证明在上是增函数；解不等式。㈡、完成《学习指导用书》、《导学》中《函数的奇偶性》P66-71中练习、《教与学》七、板书设计八、教后反思课题§3.5函数的实际应用[教学目标]1.了解实际问题中函数关系的普遍性,初步建立用函数关系观察实际问题的观念；2．提高实际问题中变量是否存在函数关系的判断能力；3．对较简单的实际问题,能建立其中变量之间的函数关系；4.能根据反映实际问题的函数关系,解释和解决有关实际问题。[教学重点]1.根据实际问题列函数关系式；2.根据实际问题中变量之间存在的函数关系,分析和解决问题。[教学难点]根据实际问题建立函数模型。[教学过程]一．情景引入探求变量之间的变化关系,几乎存在于人们活动的一切领域中．你家每个月都要关心用电数与应交电费；厂里的老板们想知道产值与利润之间的关系；你可能很想在每天花在学习上的时间与考试总成绩之间建立一个公式．如此等等,本质上是在探求人们所关心的变量之间是否存在函数关系,以便从一个量的变化来得到另一个量的变化规律．答复人们这种探求,实际上包含了三个层次的问题：首先要判定变量之间是否存在函数关系；若存在函数关系,其次问题是如何建立和表示函数关系？最后根据函数性质的研究,指导实际问题,给关心者以启迪．正是这三个层次的问题,给数学的研究和发展以动力；促使人们认识到具备一定的数学知识,是自身必须的基本素质．下面的一些例子旨在给你一个尝试的机会,提高你应用数学的意识和素质．二．例题讲解例1一种商品共20件,采用网上集体议价的方式销售．规则是这样的：其价格将随着定购量的增加而不断下降,直至底价．每件价格x元与定购量n件的关系是：,比方说,在规定时间内只定购一件<n=1>,单价就是150元；而20件商品都被定购完的话,单价就只有102.5元．<1>请写出该商品的销售总金额y元与销量件数n之间的关系；<2>求购买12件时的销售总金额．分析商品的销售总金额y元是随着销量件数n的变化而变化的．在商品销售中,有几个基本的量,它们之间的关系是：销售总金额＝单价销售量．解<1>本题中,单价元,销售量是n件,所以y=<>n=100n+50,所以,销售总金额y元与销量件数n之间的函数关系是：y=100n+50,〔0<n20,n∈N．<2>当x=12时,y=10012+50=1250〔元．所以,购买12件时的销售总金额为1250元．〖总结1〗：解应用题的一般步骤：〔1审题、〔2建模、〔3求解、〔4作答例2某商店规定：某种商品一次性购买10kg以下按零售价格50元/kg销售；若一次性购买量满10kg,可打9折；若一次性购买量满20kg,可按40元/kg的更优惠价格供货．<1>试写出支付金额y元与购买量x公斤之间的函数关系式；<2>分别求出购买15kg和25kg应支付的金额．〔《教与学新方案》P79例1分析在销售商品问题中,销售总金额=单价销售量．本题中,不同的购买量单价不同,所以这是一个分段函数．解<1>50x,<0<x<10>；y=5090%x,<0x<20；40x,<x≥20>．<2>当x=15时,y=5090%x=5090%15=675；当x=25时,y=40x=1000．所以,购买15kg和25kg应支付的金额分别为675元和1000元．〖总结2〗：在写分段函数应用题函数的解析式时,要写清定义域,尤其是处于临界点的数只能属于一个区间。例3某商场购进一批单价为16元的日用品,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月