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文档简介
5.2方阵的特征值与特征向量首页上页下页返回结束化等问题也都要用到特征值的理论.工程技术中的一些问题，如振动问题、稳定性问题和弹性力学问题等，常归结为求矩阵的特征值和特征向量.在数学上，解微分方程组及方阵的对角5.2方阵的特征值与特征向量首页上页下页返回首页上页下页返回结束零列向量
x使关系式定义5.7
设A
是
n
阶矩阵，如果数
λ
和n
维非成立，那么，这样的数
λ称为矩阵A的特征值，非零Ax=λx（5-1）向量x
称为A的对应于特征值
λ的特征向量.例如首页上页下页返回结束零列向量x使关系式定
首页上页下页返回结束∴2是A的一个特征值，一个特征向量.显然，若则
A(kx)
=λ(kx)（k≠0），可见属于特征值
λ的特征向量是不唯一的.如何求矩阵A的特征值与特征向量？下面讨论这一问题.Ax=λx，x
是A的对应于特征值2的首页上页下页返回结束∴2是A的一个特征
设
Aξ=λξ
（ξ≠0），是齐次线性方程组首页上页下页返回结束非零解，上式是以λ为未知数的一元n次方程，的特征方程.改写成λ的特征向量非零解为A对应称为矩阵A设Aξ=λξ（ξ≠0），是齐次线性方程组首页首页上页下页返回结束其左端是λ的n次多项式，称为矩阵A的特征多项式.记作它的根为A的特征值即
首页上页下页返回结束其左端是λ的n次多项式，首页上页下页返回结束（1）求出A的特征方程的全部根，（2）对于A的每一个特征值，它们即是A的对应于的一组线性无关的特征向量，
A的对应于的全部特征向量为◆特征值、特征向量的求法即是A的所有特征值；的一个基础解系程组
（为不全为0的任意常数）.
求出齐次线性方首页上页下页返回结束（1）求出A的特征方程首页上页下页返回结束例5.5
求矩阵
的特征值和特征向量.∴A的特征值为解
A
的特征多项式为当
时，解方程组由基础解系首页上页下页返回结束例5.5求矩阵首页上页下页返回结束∴对应于
的一特征向量可取为
当
时，解方程组由基础解系∴对应于
的一特征向量可取为.首页上页下页返回结束∴对应于首页上页下页返回结束例5.6
求矩阵
特征值和特征向量.∴A的特征值为解
A
的特征多项式为当
时，解方程组由首页上页下页返回结束例5.6求矩阵首页上页下页返回结束当
时，解方程组由基础解系∴
k1
p1（k1≠0）是对应于λ1=2
的全部特征向量.首页上页下页返回结束当首页上页下页返回结束基础解系∴
k2
p2（k2≠0）是对应于λ2=λ3=1
的全部特征向量.例5.7
求矩阵
特征值和特征向量.解∴A的特征值为首页上页下页返回结束基础解系∴k2p2（首页上页下页返回结束当
时，由基础解系∴对应于λ1=-1
的全部特征向量是
k1
p1（k1≠0）.当
时，由解方程解方程首页上页下页返回结束当首页上页下页返回结束基础解系∴
对应于
的全部特征向量
（不全为0）.首页上页下页返回结束基础解系∴对应于例5.8
设λ是方阵A的特征值，证明首页上页下页返回结束.证
∵λ是方阵A的特征值（1）
是
的特征值；（2）当A可逆时，
是
的特征值.有p≠0,
使Ap=λp.于是（1）
是
的特征值；（2）当A可逆时，由
Ap=λp因
p≠0，知故的特征值.是例5.8设λ是方阵A的特征值，证明首页上页下页不难证明：若λ是方阵A的特征值，则首页上页下页返回结束.（其中（1）是
的特征值；是λ的多项式）（2）是
的特征值；（3）是
的特征值（4）是
的特征值；（5）当A可逆时，是
的特征值.不难证明：若λ是方阵A的特征值，则首页上页下页返回首页上页下页返回结束.则
p1,p2,…
,pm
线性无关.特征值，p1,p2,…
,pm
依次是与之对应的特征向量，则（1）（2）定理5.4
设
是方阵A的m个互不相等证明◆特征值、特征向量的性质定理5.3设n阶方阵
的特征值为证明首页上页下页返回结束.则p1,p2,首页上页下页返回结束.|A|A12A1.知A可逆，解
因|A|例5.9设3阶矩阵A的特征值为1
12
求12(1)20，故把上式记作
(A)，有
()2132.从而
(A)的特征值为
(1)1
(1)
3
(2)3
由定理5.3（2）
是A的特征值，则
()是
(A)的特征值
3A2E的特征值3A2E2A13A2E所以首页上页下页返回结束.|A|A12A
5.2方阵的特征值与特征向量首页上页下页返回结束化等问题也都要用到特征值的理论.工程技术中的一些问题，如振动问题、稳定性问题和弹性力学问题等，常归结为求矩阵的特征值和特征向量.在数学上，解微分方程组及方阵的对角5.2方阵的特征值与特征向量首页上页下页返回首页上页下页返回结束零列向量
x使关系式定义5.7
设A
是
n
阶矩阵，如果数
λ
和n
维非成立，那么，这样的数
λ称为矩阵A的特征值，非零Ax=λx（5-1）向量x
称为A的对应于特征值
λ的特征向量.例如首页上页下页返回结束零列向量x使关系式定
首页上页下页返回结束∴2是A的一个特征值，一个特征向量.显然，若则
A(kx)
=λ(kx)（k≠0），可见属于特征值
λ的特征向量是不唯一的.如何求矩阵A的特征值与特征向量？下面讨论这一问题.Ax=λx，x
是A的对应于特征值2的首页上页下页返回结束∴2是A的一个特征
设
Aξ=λξ
（ξ≠0），是齐次线性方程组首页上页下页返回结束非零解，上式是以λ为未知数的一元n次方程，的特征方程.改写成λ的特征向量非零解为A对应称为矩阵A设Aξ=λξ（ξ≠0），是齐次线性方程组首页首页上页下页返回结束其左端是λ的n次多项式，称为矩阵A的特征多项式.记作它的根为A的特征值即
首页上页下页返回结束其左端是λ的n次多项式，首页上页下页返回结束（1）求出A的特征方程的全部根，（2）对于A的每一个特征值，它们即是A的对应于的一组线性无关的特征向量，
A的对应于的全部特征向量为◆特征值、特征向量的求法即是A的所有特征值；的一个基础解系程组
（为不全为0的任意常数）.
求出齐次线性方首页上页下页返回结束（1）求出A的特征方程首页上页下页返回结束例5.5
求矩阵
的特征值和特征向量.∴A的特征值为解
A
的特征多项式为当
时，解方程组由基础解系首页上页下页返回结束例5.5求矩阵首页上页下页返回结束∴对应于
的一特征向量可取为
当
时，解方程组由基础解系∴对应于
的一特征向量可取为.首页上页下页返回结束∴对应于首页上页下页返回结束例5.6
求矩阵
特征值和特征向量.∴A的特征值为解
A
的特征多项式为当
时，解方程组由首页上页下页返回结束例5.6求矩阵首页上页下页返回结束当
时，解方程组由基础解系∴
k1
p1（k1≠0）是对应于λ1=2
的全部特征向量.首页上页下页返回结束当首页上页下页返回结束基础解系∴
k2
p2（k2≠0）是对应于λ2=λ3=1
的全部特征向量.例5.7
求矩阵
特征值和特征向量.解∴A的特征值为首页上页下页返回结束基础解系∴k2p2（首页上页下页返回结束当
时，由基础解系∴对应于λ1=-1
的全部特征向量是
k1
p1（k1≠0）.当
时，由解方程解方程首页上页下页返回结束当首页上页下页返回结束基础解系∴
对应于
的全部特征向量
（不全为0）.首页上页下页返回结束基础解系∴对应于例5.8
设λ是方阵A的特征值，证明首页上页下页返回结束.证
∵λ是方阵A的特征值（1）
是
的特征值；（2）当A可逆时，
是
的特征值.有p≠0,
使Ap=λp.于是（1）
是
的特征值；（2）当A可逆时，由
Ap=λp因
p≠0，知故的特征值.是例5.8设λ是方阵A的特征值，证明首页上页下页不难证明：若λ是方阵A的特征值，则首页上页下页返回结束.（其中（1）是
的特征值；是λ的多项式）（2）是
的特征值；（3）是
的特征值（4）是
的特征值；（5）当A可逆时，是
的特征值.不难证明：若λ是方阵A的特征值，则首页上页下页返回首页上页下页返回
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