材料力学讲义1128T36

Additionalremarksforbending第十二章弯曲的几个补充问题§12–1非对称弯曲

(Unsymmetricalbending）

§12–2

开口薄壁杆件的切应力弯曲中心

(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexural

center)第十二章弯曲的几个补充问题

(Additionalremarksforbending）BA§12-1非对称弯曲(Unsymmetricalbending)一、非对称弯曲(Unsymmetricalbending)

横向力虽然通过截面的弯曲中心，但与形心主惯性平面存在一定夹角。在这种情况下，梁弯曲后的轴线不在力的作用平面内，这种弯曲变形称为斜弯曲.yzxFyFzF二、斜弯曲的分析方法

(Analysismethodforunsymmetricalbending)2.叠加(Superposition)对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来FzFyyzFjBAyzxFyFzF1.分解(Resolution)

将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲梁在垂直纵向对称面xy面内发生平面弯曲。z轴为中性轴yxz挠曲线梁的轴线对称轴垂直纵向对称面xyz梁的轴线对称轴水平纵向对称面梁在水平纵向对称面xz平面内弯曲，y轴为中性轴。挠曲线

三、梁内任意横截面上的内力分析

(Analysisofinternalforceonanycrosssection)BAFyFzyzxxMy

=Fz

x=Fxsin(使梁在xz平面内弯曲，y为中性轴)Mz

=Fy

x=Fxcos(使梁在xy平面内弯曲，z为中性轴)mmmmzyMyxMz

四、横截面上的应力分析（Stressanalysisofcrosssections)

mmzyMyxMz1.与My

相应的正应力为(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMy)2.与Mz

相应的正应力为(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMz)C点处的正应力(ThenormalstressatpointC)C(y,z)五、横截面上中性轴的位置(Locationofneutralaxisoncrosssection)中性轴上的正应力为零假设点e(z0

,y0

)为中性轴上任意一点zyxMzOe(z0,y0)中性轴方程为中性轴是一条通过横截面形心的直线(theneutralaxisisalinewhichcrossthecentroidofanarea)

中性轴My中性轴的位置由它与y轴的夹角确定

zyx中性轴

公式中角度

是横截面上合成弯矩

M的矢量与y轴的夹角。

横截面上合成弯矩M为y0yzO公式中角度度y是横截面上合合成弯矩M的矢量与y轴的夹角.M中性轴MzMyyxyM中性轴

z

yO讨论：（1）一一般情情况下，，截面的的IzIy,故中性轴轴与合成成弯矩M所在平面不垂垂直，此此为斜弯弯曲的受受力特征征。所以以挠曲线线与外力力（合成成弯矩）所所在面不不共面,此为斜弯弯曲的变变形特征征。z（2）对对于圆圆形、正正方形等等Iy=Iz的截面，，有=y，梁发生生平面弯曲曲(planebending)，正应力可可用合成成弯矩M按正应力力计算公式计计算。梁梁的挠曲曲线一般般仍是一一条空间间曲线，，故梁的的挠曲线方程仍仍应分别别按两垂垂直面内内的弯曲曲来计算算，不能能直接用用合成弯矩进行行计算。。中性轴

z

yOMyzy中性轴六、最大大正应力力分析（Analysisofmaximumnormalstress)作平行于于中性轴轴的两直直线分别别与横截面周周边相切切于D1、D2两点，D1、D2两点分别别为横截截面上最大拉应应力点和和最大压压应力点点。D2D1OD1D2zyzyO中性轴中性轴对于矩形形、工字字形等有有两个相相互垂直直的对称称轴的截截面，梁横截面面的最大大正应力力发生在在截面的的棱角处处。可根据梁梁的变形形情况，直直接确定定截面上上最大拉拉、压应应力点的的位置，，无需定定出中性轴。D2D1O七、强度度条件(Strengthcondition)斜弯曲的危险险点处于单向向应力状态，，所以强度条条件为强度条件的应用设计截面强度校核确定许可载荷八、斜弯曲的的挠度(Deflectionofunsymmetricalbending)分别求出Fy引起的挠度wy和Fz引起的挠度wz方法：叠加原原理wzwywy总挠度为w总挠度与轴的的夹角为yxABCzyF2=2kNF1=1kN0.5m0.5m4080zyOadbc例题1矩形截面的悬悬臂梁承受荷荷载如图所示示.试确定危险截截面上危险点点所在的位置置，计算梁内内最大正应力力的值.解:（1）外力力分析梁在F2的作用下将在在xOz平面内发生平平面弯曲(y为中性轴）故此梁的变形形为两个相互互垂直平面弯弯曲的组合----斜弯曲梁在F1的作用下将在在xOy平面内发生平平面弯曲（z为中性轴）xABCzyF2=2kNF1=1kN0.5m0.5m（2）绘制弯矩矩图绘出Mz(x)图绘出My(x)图A截面为梁的危危险截面Mz=1kN·mMy=1kN·mxABCzyF2=2kNF1=1kN0.5m0.5m1kN·mxMz(x)图1kN·mxMy(x)图Mz使A截面上部受拉拉，下部受压压My使A截面前部受拉拉，后部受压压zyxMyzyxMzzyx（3）应力分析析D1是最大拉应力力点D2是最大压应力力点两点正应力的的绝对值相等等拉压拉压D2D18040zyzyxMyzyxMz拉压拉压（4）中性轴的位位置8040zy中性轴（5）绘制总应力力分布图8040zy中性轴D1D2+-D1=7.02D2=-7.02拉压例题220a号工字形悬臂臂梁受集度为为q的均布荷载和和集中力F=qa/2作用,力F作用在yOz平面内.已知钢的许用用应力[]=160MPa，a=1m。试求此梁的许许可荷载集度度[q].40°FqaaACByz解：将力F向y轴和z轴分解Fy与均布荷载q使梁在xy平面内产生弯弯曲(z为中性轴)Fz使梁在xz平面内产生弯弯曲(y为中性轴)z40°FqaaACByFyFzFzACBxz面qFyACBxy面DD0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz图adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My图（1）画弯矩图图A、D两截面可能是是危险截面MzA=0.266qa2MzD=0.456qa2MyA=0.642qa2MyD=0.444qa2A截面D截面（2）计算算应力力查工字字钢表表20a号A截面D截面梁的危危险点点在A截面棱棱角处处§12––2开口薄薄壁杆杆件的的切应应力弯弯曲曲中心心(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexuralcenter)一、非非对称称截面面梁平平面弯弯曲的的条件件(Conditionsofplanebendingforunsymmetricalbeams)前面讨讨论的的平面面弯曲曲,仅限于于梁至至少有有一个个纵向向对称称面,外力均均作用用在该该对称称面内内且垂垂直于于轴线线.对于非非对称称截面面梁.横截面面上有有一对对形心心主惯惯性轴轴y,z,形心心主主惯惯性性轴轴y,z与轴轴线线x组成成两两个个形形心心主主惯惯性性平平面面xOy,xOz形心主惯性平面y,z轴为形心主惯性轴zxy1.实体体梁梁（Bodybeams)当横横向向外外力力作作用用在在形形心心主主惯惯性性平平面面的的平平面面内内,梁发发生生平平面面弯弯曲曲.否则则将将会会伴伴随随着着扭扭转转变变形形.但由由于于实实体体构构件件抗抗扭扭刚刚度度很很大大.扭转转变变形形很很小小,其带带来来的的影影响响可可以以忽忽略略不不计计.2.开口口薄薄壁壁截截面面梁梁(Openthin-wallsections)对于于开开口口薄薄壁壁截截面面梁梁,即使使横横向向力力作作用用于于形形心心主主惯惯性性平平面面内内(非对对称称平平面面),则梁梁除除发发生生弯弯曲曲变变形形外外,还将将发发生生扭扭转转变变形形.只有有当当横横向向力力的的作作用用线线平平行行于于形形心心主主惯惯性性平平面面并并通通过过某某个个特特定定点点时时,梁才只发发生平面面弯曲,而无扭转转变形.这个特定定点称为为横截面面的弯曲中心心(Shearcenterorflexuralcenter),用A表示.3.弯曲中心的的确定（Determinationoftheshearcenter)（1）弯曲中心(Shearcenterorflexuralcenter)切应力合力力的作用点点就是截面面弯曲中心心(使杆不发生生扭转的横横向向力作用点点).（2）弯曲中心的的位置(Locationoftheshearcenter)（b）具有一个个对称轴的的截面,其弯曲中心心一定在这这个对称称轴上.（c）若截面的的中线是由由若干相交交于一点的的直线段所所组成，则则此交点点就是截面面的弯曲中中心.AAA（a）具有两个个对称轴或或反对称轴轴的截面,其弯曲中心心与形心重重合.例3试画出下列列各薄壁截截面弯曲中中心的大致致位置;若剪力FS的方向垂直直向下,试画出切应应力流的方方向.AAAAAAAAAA例题4一槽钢制成的的梁受方向平平行于其腹板板的横向荷载载作用.钢槽截面简化化后的尺寸见见图.（2）确定横截面面上剪力作用用线的位置（1）分析横截面面上腹板,翼缘两部分切应力t和t1的变化规律q(x)F1F2tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ解：（1）分析腹板上切应力的变化规律腹板上切应力力沿高度按二二次抛物线规规律变化.tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ（2）横横截截面面翼翼缘缘上上的的切切应应力力q(x)F1F2mmnnxdxFSMFSM+dMnmmndxxs1nmnmdxs11沿翼翼缘缘厚厚度度用用纵纵向向截截面面AC截出出一一体体积积元元素素C-m在C-m的两两个个截截面面D-m,C-n上分分别别有有由由法法向向内内力力元元素素在C-m的两两个个截截面面D-m,C-n上分分别别有有由由法法向向内内力力元元素素组组成成的的拉拉力力FN1*,FN11*.mnOzydxmDCAξdAAξDmCdxδB由于翼缘缘很薄,故可认为为1,11,沿翼缘厚厚度保持持不变,且其值与与翼缘中中线上的的正应力力相同.δ为翼缘厚度ξ为从翼缘外端到所取纵截面AC间的长度mnOzydxmDCAξAξDmCdxδBdAA*所以在AC截面上一一定存在在着切向向内力元元素dFS’，因为翼缘缘横截面面也是狭狭长矩形形,故可采用用切应力力沿壁厚厚不变及及其方向向平行于于翼缘长长度的假假设.由于根据剪应应力互等等定理,横截面上上的切应力和和AC上的切应应力如图图所示.AξDmCdxδB平衡方程程Fx=0经过整理,即得AξDmCdxδB由切应力互等定理可知得横截面上的切应力mnOzydxmDCAξ式中FS—为横截面面上的剪剪力Iz—为整个横横截面对对其中性性轴的惯惯性矩h’—为截面两两翼缘中中线间的的距离ξ—为从翼缘缘外端到到要求切切应力点点之间的长度1沿翼