结构力学平面体系的几何构造分析

第二章平面体系的几何构造分析§2-1几何构造分析的基本概念§2-2几何不变体系的组成规律§2-3平面杆件体系的计算自由度§2-4体系的几何组成与其静力学特性的关系1第1页，共47页。§2-1几何构造分析的基本概念一、几何构造分析的目的1.判断某个体系是否为几何不变体系，从而决定它能否作为结构。3.弄清结构的组成次序，以便选择简便合理的计算途径。2.正确判定结构是静定结构还是超静定结构，以便选择相应的计算方法二、体系的分类1.几何不变体系几何不变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系在任意荷载作用下都能维持其几何形状和相对位置不变。Ex：2第2页，共47页。几何可变体系—在不考虑材料应变的条件下，由于缺少必要的杆件或杆件安置不当，体系体系在任意荷载作用下都不能维持其几何形状和相对位置不变。几何可变体系常变体系：位移可连续发生的体系。（缺少杆件或杆件安置不当）瞬变体系：体系由可变经过瞬时微小位移而成为不变体系的体系。（杆件安置不当）2.几何可变体系§2-1几何构造分析的基本概念常变体系B1BACo瞬变体系注：体系可变与否与体系在空间或平面的自由度有关3第3页，共47页。三、自由度

在不考虑材料应变的条件下，一根链杆、一根梁、基础以及已确定的某个几何不变部分均可视为刚片。（2）自由度：体系运动时，用来确定其在平面或空间的位置所需要的独立变化的几何坐标的数目或独立的几何参变量的数目。§2-1几何构造分析的基本概念（1）刚片的概念：刚体在平面上研究称刚片。（a）平面上点的自由度S=2（b）平面上刚片的自由度S=3yx结点自由度Ayx刚片自由度xyyxφ4第4页，共47页。凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。四、约束（联系）§2-1几何构造分析的基本概念一般来说：如果一个体系有S种独立的运动方式，此体系就有S个自由度。普通机械中的机构只有1种独立的运动方式，其自由度S=1。工程结构均为几何不变体系，其自由度S=0。结论：凡是S＞0的体系均为几何可变体系。约束非多余约束：能真正减少体系自由度的约束。多余约束：加上此约束体系的自由度并不因此而减少。1）链杆约束①单链杆约束（连接两个点的链杆）结论：一根单链杆可减少一个自由度相当于一个约束或联系。②复链杆约束（连接两个以上点的链杆）结论：连接n个点的复链杆相当于（2n-3）根单链杆的作用。5第5页，共47页。单链杆约束xyxφxyxy§2-1几何构造分析的基本概念xy复链杆约束n—结点个数6第6页，共47页。2）铰结论：一个单铰可减少两个自由度，相当于两个约束或联系，相当于两根单链杆的作用。①单铰约束：连结两个刚片的铰称为单铰。②复铰：连结两个以上刚片的铰称为复饺。§2-1几何构造分析的基本概念结论：连结n个刚片的复铰，相当于(n-1)个单铰可以减少2(n-1)个自由度。xyxIIIyxyxIIIIII2(3-1)=4y7第7页，共47页。3）刚性连结（刚结点）§2-1几何构造分析的基本概念①单刚性连结（单刚结点）：连接两个刚片的刚结点结论：一个单刚结点可减少三个自由度，相当于三个约束或联系。①复刚性连结（复刚结点）：连接两个以上刚片的刚结点结论：一个连接n个刚片的复刚结点相当于(n-1)个单刚结点，可减少3(n-1)个自由度。单刚性连结（单刚结点）复刚性连结（复刚结点）8第8页，共47页。4）有限远虚铰（瞬铰）两根链杆的轴线或其延长线的交点，相当于实单铰的作用—称虚铰（瞬铰）。关于∞点的情况需强调几点：——每一个方向有一个∞点;——不同方向有不同∞点;——各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线;——各有限点都不在∞线上。A§2-1几何构造分析的基本概念5）∞虚铰（∞瞬铰）相当于两平行链杆9第9页，共47页。6）支座约束①滑动铰支座在相当于一个链杆约束；②固定铰支座相当于两个相交链杆约束；③固定端支座相当于一个单刚结点；定向支座固定铰支座固定端支座§2-1几何构造分析的基本概念④定向支座相当于两个平行链杆约束；滑动铰支座10第10页，共47页。§2-2几何不变体系的组成规律一、几何不变体系的组成规律结论：

一个点与一个刚片用不共线的两根链杆相连接，可以组成几何不变体系且无多余约束。若两杆共线则组成瞬变体系。1.一个点与一个刚片连接时A21I几何不变体系A12I几何瞬变体系二元体的概念：在一个刚片上用两根不共线的杆搭接一个点，此二杆称为二元体。规则1：在一个体系上增加或撤除一个或若干个二元体不影响体系的几何组成。（二元体规则）11第11页，共47页。2.两个刚片之间的连接

规则2：两个刚片用一个铰和一根轴线或其延长线不通过铰的链杆相连接，则组成几何不变体系且无多余约束。（两片一铰一链杆规则）§2-2几何不变体系的组成规律

规则3：两个刚片用三根既不平行又不相交于一点的链杆相连接，则组成几何不变体系且无多余约束。（两片三链杆规则）A1III23IA1II12第12页，共47页。3.三个刚片之间的连接规则4：三个刚片用三个不共线的铰两两相连，则组成几何不变体系且无多余约束。（三片三铰规则）§2-2几何不变体系的组成规律IAⅢIIBCAIIIIIIBC注：三个刚片之间的连接铰可以是实铰亦可以是虚铰13第13页，共47页。常变体系瞬变体系§2-2几何不变体系的组成规律4.当规则中的限制条件不被满足时则体系为瞬变或常变。AⅡⅢI几何瞬变体系oⅠⅠ14第14页，共47页。二、组成分析的步骤和方法说明：⑴组成分析过程中每个刚片及链杆只能使用一次，作为刚片使用就不能再作为链杆使用，反之亦然。⑵刚片和链杆可以灵活看待，既可以把刚片作为链杆，也可以把链杆作为刚片，但只能使用一次。⑶复链杆可多次使用。1.步骤：①若体系可直接视为由两片或三片组成，可直接按规则联接。②若体系复杂可先去掉其上的二元体简化结构，然后从中找出可直接观察出的几何不变部分作为刚片（2～3片）按规则联结，再以此作为一个大刚片，寻找其它刚片设法按规则联结，如此循环反复即可分析组成。§2-2几何不变体系的组成规律15第15页，共47页。2.方法㈠计算自由度法§2-2几何不变体系的组成规律m—刚片总数；g—单刚结点总数；h—单铰总数；b—(单链杆+支座链杆)总数j—结点总数；b—单链杆+支座链杆总数。—适用于桁架和组合结构W=3m-2h-b=3*7-2*9-3=0W=3m-2h-b=3*2-2*1-4=0W=2j-b=2*7-14=0ex2-4ex2-5W=3m-3g-2h-b=3*1-3*3-2*0-4=-1016第16页，共47页。§2-2几何不变体系的组成规律㈡基本—附属法Ex1Ex2Ex3Ex417第17页，共47页。§2-2几何不变体系的组成规律㈢悬空分析法：当体系本身与基础通过一个固定铰支座和一个轴线延长线不通过固定铰支座的滑动铰支座相联时，则可只分析悬空体系本身。ex2-4㈣离散集合法：18第18页，共47页。§2-2几何不变体系的组成规律㈤链杆的灵活应用123II（基础）I三种分析方法：①三片三铰分析；②两片三链杆分析；③两片一铰一链杆分析；19第19页，共47页。§2-2几何不变体系的组成规律㈥虚铰与实铰的等效性20第20页，共47页。㈦无穷远铰的分析方法结论：当两个有限远实(虚)铰的连线与无穷远点所示方向不平行时，可组成几何不变体系且无多余约束，若平行则瞬变。特殊情况若有限远铰均为实铰且连线与另两平行链杆平行且等长，则体系几何可变。AIII1IIB2IC§2-2几何不变体系的组成规律⑴有一个无穷远虚铰时⑵有两个无穷远虚铰时结论：若两个无限远虚铰所沿方向不平行，则组成几何不变体系且无多余约束，若两对平行链杆平行则体系瞬变。若平行且等长，则体系几何可变。BIIIIICIA21第21页，共47页。§2-2几何不变体系的组成规律⑶有三个无穷远虚铰时结论：三个刚片用任意方向的三对平行链杆两两相联成无穷远虚铰，可组成几何瞬变体系。若三对平行链杆又各自等长，则体系几何可变。注：此处每对链杆都是从每个刚片同侧方向联接，若从异侧联接，均为瞬变。EX：22第22页，共47页。例2-2-1

试分析图示体系的几何构造。刚片I、II用链杆1、2相连，（瞬铰A)；刚片I、III用链杆3、4相连，（瞬铰B)；刚片II、III用链杆5、6相连，（瞬铰C)。A、B、C三铰均在无穷远处，位于同一无穷线上，故为瞬变体系。解：BACIIIIII612534§2-2几何不变体系的组成规律23第23页，共47页。例2-2-2试分析图示体系的几何构造。刚片I、II用链杆1、2相连（瞬铰A)刚片I、III用链杆3、4相连（瞬铰B)刚片II、III用链杆5、6相连（瞬铰C)因为A、B、C三铰不在同一直线上，符合规则4，故该体系几何不变且无多余约束。解：CA12IIII（基础）II4356B§2-2几何不变体系的组成规律24第24页，共47页。思考题：试分析下图示各体系的几何构造组成。b）a）§2-2几何不变体系的组成规律25第25页，共47页。c）d）e）f）§2-2几何不变体系的组成规律26第26页，共47页。小结：3）注意约束的等效替换。1）要正确选定被约束对象（刚片或结点）以及所提供的约束。2）要在被约束对象（刚片或结点）之间找约束，除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。§2-2几何不变体系的组成规律27第27页，共47页。一、体系的计算自由度§2-3平面杆件体系的计算自由度体系可变与否与体系在平面或空间的真正自由度S有关。若则体系一定几何可变。则体系一定几何不变。（体系全部刚片自由度总数）—（非多余约束总数）W（体系的计算自由度）=（体系全部刚片自由度总数）—（全部约束总数）n（多余约束）=（全部约束总数）—（非多余约束总数）=S-W由于S≥W；n≥-W由此⑴若W>0则S>0体系一定几何可变。⑵若W=0则S=n若体系无多余约束则体系几何不变；若体系有多余约束则体系几何可变。⑶若W<0则n>0体系为有多余约束的可变或不变体系。28第28页，共47页。§2-3平面杆件体系的计算自由度⑴W的公式一m—无多余约束的刚片总数g—单刚结点总数h—单铰总数b—（单链杆+支座链杆)总数⑵W的公式二（多用于桁架和组合结构）j—结点总数b—(单链杆+支座链杆)总数⑶W的公式三（混合公式）m、j、g、h、b意义同前。若体系W>0，一定是几何可变体系；若W≤0，则可能是几何不变体系，也可能是几何可变体系，取决于具体的几何组成。所以W≤0是体系几何不变的必要条件，而非充分条件。注：在求解计算自由度时，地基的自由度为零，不计入刚片数。将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中结点为被约束对象，链杆为约束。则计算自由度公式为：29第29页，共47页。闭合刚架有三个多余约束的刚片无多余约束的刚片§2-3平面杆件体系的计算自由度例2-3-1

试求图示体系的计算自由度。ABCIIIIII123解：另解：30第30页，共47页。例2-3-2求体系的计算自由度WW=3m-3g-b=3*1-3*3-4=-10§2-3平面杆件体系的计算自由度例2-3-3求体系的计算自由度WW=3m-2h-b=3*7-2*9-3=0W=2j-b=2*7-14=031第31页，共47页。例2-3-4

求图示体系的计算自由度。解：AIII12345例2-3-5

求图示体系的计算自由度。解：67D9A12345CE810B§2-3平面杆件体系的计算自由度32第32页，共47页。例2-3-6

求图示体系的计算自由度。BDACE12345678910I§2-3平面杆件体系的计算自由度解:

用公式一计算33第33页，共47页。例2-3-7

求图示体系的计算自由度。1BDA2345678910CE1112III§2-3平面杆件体系的计算自由度方法一：

用公式一计算。方法二：

用公式二计算。34第34页，共47页。二.各类体系的静力学特性⑴几何可变体系；⑵无多余约束的几何不变体系；⑶有多余约束的几何不变体系；⑷几何瞬变体系。§2-4体系的几何组成与其静力学特性的关系一.体系的分类⑴几何可变体系（W＞0）无静力学解答，此类体系不能承受荷载并维持平衡，不能作为结构。⑵无多余约束的几何不变体系（静定体系W=0）有静力学解答且解唯一。⑶有多余约束的几何不变体系(超静定体系W<0)有静力学解答但解不唯一。⑷几何瞬变体系（W=0）。一般情况下方程的解为无穷大，特殊情况下方程的解不确定，故瞬变体系不能作为结构。35第35页，共47页。3.图示体系作几何分析时，可把A点看作杆1、杆2形成的瞬铰。一、判断题

1.瞬变体系的计算自由度一定等零。2.有多余约束的体系一定是几何不变体系。╳╳╳╳4.图示体系是几何不变体系。题3图题4图广西大学自测题36第36页，共47页。2.三个刚片每两个刚片之间由一个铰相连接构成的体系是

。1.体系计算自由度W≤0是保证体系几何不变的

条件。二、选择填空

A.必要B.充分C.非必要D.必要和充分A3.图示结构为了受力需要一共设置了五个支座链杆，对于保持其几何不变来说有

个多余约束，其中第

个链杆是必要约束，不能由其他约束来代替。21A.几何可变体系B.无多余约束的几何不变体系C.瞬变体系

D.体系的组成不确定D广西大学自测题37第37页，共47页。4.多余约束”从哪个角度来看才是多余的?（）

A.从对体系的自由度是否有影响的角度看B.从对体系的计算自由度是否有影响的角度看C.从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度看D.从区分静定与超静定两类问题的角度看A5.下列个简图分别有几个多余约束：图a

个约多余束图b

个多余约束图c

个多余约束图d

个多余约束0132广西大学自测题38第38页，共47页。

图b属几何

体系。A.不变，无多余约束B.不变，有多余约束C.可变，无多余约束D.可变，有多余约束B6.图a属几何

体系。A.不变，无多余约束B.不变，有多余约束C.可变，无多余约束D.可变，有多余约束A广西大学自测题39第39页，共47页。7.图示体系与大地之间用三根链杆相连成几何

的体系。A.不变且无多余约束B.瞬变C.常变D.不变，有多余约束B8.图示体系为：————A.几何不变无多余约束B.几何不变有多余约束C.几何常变D.几何瞬变。A题7图题8图广西大学自测题40第40页，共47页。9.图示体系的计算自由度为

。A.0B.1C.-1D.-2D三、考研题选解1.三个刚片用不在同一条直线上的三个虚铰两两相连，则组成的体系是无多余约束的几何不变体系。(）√提示：规律3，其中的“铰”，可以是实铰，也可以是瞬（虚）铰。广西大学自测题41第41页，共47页。2.图示平面体系中，试增添支承链杆，使其成为几何不变且无多余约束的体系。（6分）A.几何不变，无多余联系B.几何不变，有多余联系C.瞬变D.常变3、图示体系几何组成为：

（4分）C答案如图b所示。广西大学自测题42第42页，共47页。题4图4.图示体系是

。（3分）

A.无多余约束的几何不变体系B.瞬变体系

B.有无多余约束的几何不变体系D.常变体系A题5图5.图示体系A铰可在竖直线上移动以改变等长杆AB、AC的长度，而其余结点位置不变。当图示尺寸为哪种情况时，体系为几何不变。（）A.h≠2mB.h≠4m和h≠∞C.h≠4m

D.h≠2m和h≠∞

D广西大学自测题43第43页，共47页。6.对图示结构作几何组成分析。（４分)解：将刚片ABC做等效变换，变换成三角形，并选择刚片如图b。刚片I与基础III之间由铰A相连，刚片II与基础III之间由铰B相连，刚片I、刚片II之间由链杆1、2组成的无穷远处的瞬铰相连，由于铰A与铰B的连线与链杆1、2平行，故该体系为瞬变体系。广西大学自测题44第44页，共47页。四、考国家一级注册结构师试题选解

解：先去掉二元体35、5