江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题（解析版）

第17页/共17页淮安市高中校协作体2022～2023学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷考试时间：120分钟总分：150分命题人：刘兵一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解集合，根据交集的运算直接求解即可.【详解】解：，，所以.故选：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】直接举特例判断即可.【详解】当时，，但，充分性不满足又当时，，但，必要性不满足，故“”是“”的既不充分也不必要条件故选：D.3.已知向量，，则=（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】运用坐标运算先算坐标再求模即可解决.【详解】由题知向量，，所以，所以，故选：D4.甲、乙、丙三位同学被问是否去过A,B,C三个城市，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过A城市；乙说：我没去过B城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此请判断乙去过的城市为（）A.A B.B C.C D.不确定【答案】C【解析】【分析】通过逻辑推理可知甲去了B,C两城市，而三人去过同一座城市，则乙去了C城市.【详解】若乙去过两座城市，则甲去过三座城市，不合题意舍去，则乙只能去一座城市，则甲去了两座城市，又没去过A城市，所以甲去了B,C两城市，又因为三人去过同一个城市，则乙只能去B,C两城市中一座，而乙没去过B城市，则乙去了C城市，故选：C.5.已知，，则（）A.25 B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】将转化为指数式，然后代入目标式，利用指数的运算性质计算即可.【详解】由得，即，故选：D.6.已知函数,则使得的的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解分段函数不等式，需要对分类讨论，分别求解各段上的范围，最后并起来即可.【详解】当时，由可得，，，解得.当时，由可得，，即恒成立，所以.综上可得，使得的的取值范围为.故选：D.7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图象，知函数存在奇偶性，先判断函数的奇偶性，然后根据结合函数值的正负，可得出答案.【详解】函数，定义域为，，所以函数为奇函数，则排除AD项；当时，，，所以有，所以，B项符合条件.故选：B.8.当不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求出，将恒成立问题转化为，然后解不等式即可.【详解】恒成立，即，又，上述两个不等式中，等号均在时取到，，，解得且，又，实数的取值范围是.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列选项中哪些是正确的（）A.命题的否定是.B.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度.C.函数为奇函数.D.已知向量.若，则.【答案】ACD【解析】【分析】A通过特称命题的否定是全称命题来判断；B利用三角函数平移规律来判断；C利用奇函数的定义来判断；D利用垂直的坐标运算来计算.【详解】命题否定是，A正确；把函数图象上所有的点向右平移个单位长度得，B错误；定义域为，又，函数为奇函数，C正确；若，则，得，D正确.故选：ACD.10.下列四个选项中哪些是正确的（）A.若，则B.C.在任意斜三角形中D.在三角形中【答案】ACD【解析】【分析】对于A，，利用诱导公式变形可得答案；对于B，，比较大小去绝对值可得答案；对于C，利用展开变形可得答案；对于D，利用余弦定理变形等式右边可得答案.【详解】对于A，，A正确；对于B，，，，B错误；对于C，在任意斜三角形中，，整理得，即，C正确；对于D，在三角形中，，D正确.故选：ACD.11.已知函数，则（）A.有一个极值点 B.有一个零点C.点不是曲线的对称中心 D.直线是曲线的一条切线【答案】BD【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A错误；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B正确；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C错误；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D正确.故选：BD.12.在中，角A,B,C所对的边分别为，若，则下列四个选项中哪些值可以作为三角形的面积（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由条件和余弦定理可得，然后结合面积公式可得，然后利用基本不等式可得，然后求出的范围即可.【详解】因为，，所以，即，因为，两式平方相加可得，由基本不等式可得，所以，所以，所以，即，当且仅当时等号成立.故选：AB三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.函数的定义域是______.【答案】【解析】【分析】根据分母不零，被开方数不小于零列不等式求解.详解】由已知得，解得且，即函数的定义域是故答案为：14.若向量，，函数一个零点为，______.【答案】【解析】【分析】先通过求出，得到，再将代入计算即可.【详解】由已知，，解得，，则故答案为：15.若曲线只有一条过坐标原点的切线，则=______.【答案】或##或【解析】【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可.【详解】解：∵，∴，设切点为,则,切线斜率,∴切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵曲线只有一条过坐标原点的切线切，∴,解得或,∴或,故答案为：或16.用表示非空集合A中的元素个数，定义，若，，且，若B中元素取最少个数时m=______.若B中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合B=______.【答案】①.0②.或【解析】【分析】由题意，分情况求得，可得方程根的情况，可得答案．【详解】由题意，可知，当时，，则；当时，，则；故B中元素最少个数为，此时，方程存在唯一根，由知该方程必有一个根为0，故，即；同时，也可知B中元素最多个数为，则方程存在三个根，则，此时，必定存在两个不等实根和，则方程存在唯一实根或存在两个不相等的实根但其中一个根为，①当存在唯一实根时，由得，当m＝2时，方程为，其根，同时，故此时；当m＝－2时，方程为，其根，同时，故此时；②当存在两个不相等的实根但其中一个为时，，不成立；综上，B中元素最多个数为时，或．故答案为：；或．【点睛】根据题目中的新定义，直接应用，求得结论，根据集合中元素的个数，可得方程根的情况，结合二次方程的解法，可得答案．四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，，函数.（1）求的最小正周期（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）π；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量的数量积公式及三角恒等变换化简，再由正弦型函数的性质求周期即可；（2）根据自变量的范围，利用正弦型函数的值域求解即可.【小问1详解】所以的最小正周期为.【小问2详解】，∴∴，，即的值域为.18.在中，点D在线段AB上，且AD=5，BD=3，若CB=2CD,（1）求面积（2）证明为钝角三角形【答案】（1）8（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求得，再由三角形面积公式求得，从而由线段比得到；（2）先利用余弦定理求得，再由余弦定理的推论证得，由此证得为钝角三角形.【小问1详解】设线段,则，在中，由余弦定理得，即，解得（负值舍去），则，，又，则，所以，又因为AD=5，BD=3，所以【小问2详解】因为，所以在中，，所以，故在中，，所以为钝角，则为钝角三角形..19.已知p：A=，q：B={x|x2+x-m（m-1）≤0，m＞}，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【答案】【解析】【分析】先求出集合AB，然后根据充分性和必要性得BA，根据包含关系列不等式求解即可.【详解】解：A=，A＝∴∵p是q的必要不充分条件∴BA或又20.（1）构造一个图形并解释这个公式（、均为非零向量）的几何意义；（2）中为中点,证明：【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设，，以、为邻边构造平行四边形，可得出，即可得出原等式的几何意义；（2）由，，利用平面向量数量积运算性质可证得结论成立.【详解】解：（1）设，，以、为邻边构造平行四边形，如下图所示：则，，由，可得，故的几何意义为“平行四边形对角线平方和等于四边平方和”；（2）.故原等式得证.21.已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）已知，求证：存在实数使得在处取得最大值，且（3）求证：有唯一零点【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数可求得函数在某一点处的切线；（2）整理函数解析式，求导，构造函数，利用其单调性以及零点存在性定理，可得导数的性质，结合导数求得最值，可得答案；（3）函数求导，明确其单调性，结合零点存在性定理，可得答案.【小问1详解】由，则，将代入，可得，切线斜率，则，整理可得.【小问2详解】由，，，设，，在递增，，，知有，且在小于0，在大于0，在递增，在递减，在处取最大值，.【小问3详解】，，在上单调递减，，又，所以，，，故，且唯一，故函数有唯一零点.【点睛】解决函数存在唯一零点，利用函数的导数研究其单调性，结合零点存在性定理，可得零点的唯一性，推广也可求得函数的零点的个数；当函数的导数时分式函数时，往往利用其分子构造成新函数，通过研究新函数的单调性和最值，可得导数与零的大小关系，可得原函数的单调性.22.（1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值；（2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比