2022年数二考研真题答案解析

2022年数二考研真题答案解析一、填空题：1—6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）曲线口yl某4in某的水平渐近线方程为y.口55某2c。某【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可4in某某4in某某1.D【详解】limlim某5某2co某某2co某55某1故曲线的水平渐近线方程为y.o51（2）设函数口1某2130intdt,某0在某。处连续，则a.f（某）某3a,某0【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】由题设知，函数口f（某）在某。处连续，贝加limf（某）f（0）a,o某0又因为limf（某）lim某0某0某0int2dt某3in某211im.某03某23所以口al.3（3）广义积分口01某d某（1某2）22.口【分析】利用凑微分法和牛顿-莱布尼兹公式求解.口【详解】□02bd（1+某）某d某llllimlim22（l某2）22b0（l某）2bl+某b0211111im2.o2bl+b22（4）微分方程口yy（l某）某的通解是yC某e（某0）.某【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为口dylld某，y某两边积分得口Inyln某某某,整理得口（5）设函数口C某.（Cel）yCe某dy某0e.d某【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对某求导（注意y是某的函数），一阶微分形式不变性口yy（某）由方程yl某ey确定,则口和隐函数存在定理求解.口【详解】方法一：方程两边对某求导，得口yey某yey.口又由原方程知，某0时,y方法二：方程两边微分，得口ydye某d某yl.代入上式得口dyd某某Oy某0e.0某0,yl，得ey,代入ddyd某某0e.口方法三：令F（某,y）yl某ey,则口ylegF某某Oy,某FeyO,1,y某yO,1某lye某y,0,11故口dyd某某OF某Fy某呆yle.o某O,yl（6）设矩阵A21,E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BAB2E,贝M120B2.o【分析】将矩阵方程改写为A某B或某AB或A某BC的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行口计算即可.0【详解】由题设，有口B（AE）2Ed于是有口BAE4,而口11AE2,所以B2.[|11二、选择题：7—14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数口yf（某）具有二阶导数，且f（某）0,f（某）0,某为自变量某在点某0处的增量，Dy与dy分别为f（某）在点某。处对应的增量与微分，若某0,贝防Odyy.（B）Oydy.口（OoydyO.o（D）odyyO.o[A]口【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由加,曲线口f（某）0,f（某）0知,函数f（某）单调增口yf（某）凹向，作函数yf（某）的图形如右图所示，0时，口显然当某ydyf（某0）d某f（某0）某0,故应选（A）.。（8）设口f（某）是奇函数，除某0外处处连续，某。是其第一口类间断点，贝M某Of（t）dt是口（B）连续的偶函数（D）在某（A）连续的奇函数.（C）在某0间断的奇函数口某0间断的偶函数.[B]。【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数口f（某）去计算F（某）f（t）dt,然后选择正确选项.口0【详解】取口某,某0.f（某）1,某00时，F（某）f（t）dtlimtdto某某则当某Olllim某22某2,202而F（0）01imF（某），所以F（某）为连续的偶函数，则选项（B）正确，故选（B）.口某0（9）设函数g（某）可微，h（某）e口ln31.D1g（某），h（l）l,g⑴2,则g⑴等于口ln31.0[C]g（D）ln21.0ln21.0【分析】题设条件h（某）e【详解】h（某）e口1g（某）1g（某）两边对某求导,再令某1即可.D两边对某求导，得口h（某）elg（某）g（某）.o1,又h（l）l,g（l）2,可得口上式中令某lh⑴elg（l）g⑴2elg（l）g（l）ln21,故选（C）.口（10）函数口yCle某C2e2某某e某满足的一个微分方程是yy2y3某e某.口o（A）oyy2y3e某.口oyy2y3某e某.0Dyy2y3e某.［D］。【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.Q【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为（］11,22.0则对应的齐次微分方程的特征方程为D（2）0,即220.口故对应的齐次微分方程为又口yy2yo.口y某某e某为原微分方程的一个特解，而1为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项口f（某）Ce某（C为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D）□1应具有形式口（11）设口f（某,y）为连续函数，则4df（rco,rin）rdr等于口00（A）D220d某1某2某f（某,y）dy.（B）220d某1某20f（某,y）dy.口（C）D220dyly2yf（某,y）d某.口（D）d220dyly20f（某,y）d某.[C]口【分析】本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.□【详解】由题设可知积分区域D如右图所示，显然是丫型域，则口原式故选（C）.（12）设口220dyly2yf（某,y）d某.口f（某,y）与（某,y）均为可微函数，且y（某,y）0,已知口（某0,y0）是f（某,y）在约束条件（某,y）0下的一个极值点，下列选项正确的是口（A）若（B）若口f某（某O,yO）O,则fy（某O,yO）O.f某（某O,yO）O,则fy（某O,yO）O.f某（某Oy0）0,则fy（某0,yO）O.f某（某0,yO）O,则fy（某0,y0）0.o[D]d（C）若（D）若o【分析】利用拉格朗日函数F（某,y,）的参数的值）取到极值的必要条件即可.0【详解】作拉格朗日函数F（某,y,）f（某,y）（某,y）在（某0,y0,0）（0是对应某0,yOf（某,y）（某,y）,并记对应某0,y0的参数的值为口0,则口F（某,y,）Of（某,y）（某,y）0某000某000某00,即.Fy（某0,y0,0）Ofy（某0,y0）0y（某0,y0）0D消去0,得口f某（某）yO,yO（某yO,0）yf（,Oy某）0某0（某y,0,）0整理得口f某（某0,yO）ly（某0,yO）fy（某0,yO）某（某0,yO）.（因为y（某,y）0），o右口f某（某0,y0）0,则fy（某0,y0）0.故选（D）.口A为mn矩阵，下列选项正确的是口（13）设1,2,,均为n维列向量,(A)(B)d若1,2,,线性相关，则若1,2,,线性相关，贝MAl,A2,,A线性相关.Al,A2,,A线性无关.D(C)若1,2,,线性无关，则(D)若1,2,,线性无关,则口Al,A2,,A线性相关.口A1,A2,,A线性无关.口[A]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记B(l,2,,),则(Al,A2,,A)所以，若向量组口AB.口r(AB)r(B)向量组，口1,2,,线性相关，则r(B),从而口A1,A2,,A也线性相关，故应选(A).d(14)设口A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的1倍加到第2列得C,记o110P010,贝1」口001(A)CP1AP.o(B)CPAP1.o(C)CPTAP.D（D）CPAPT.D[B]D【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得口1B0011000A,C11B0010100111001A000110,10001而口110P1010,则有CPAP1.故应选（B）.0001三、解答题：15—23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）试确定A,B,C的值，使得口e某（1B某C某2）1A某o（某3）,0其中。（某3）是当某0时比某3高阶的无穷小.o某【分析】题设方程右边为关于某的多项式，要联想到e的泰勒级数展开式，比较某的同次项系数，可得口A,B,C的值.o某2某3。（某3）代入题设等式得【详解】将e的泰勒级数展开式el某26某某口整理得口某2某331某o（某）[1B某C某2]1A某o（某3）2611B1（B1）某BC某2co（某3）1A某o（某3）0262比较两边同次基系数得口B1A1BC0,解得21BC0621A32B.31c6(16)(本题满分10分)0IV.

求口arcine某e某d某.口【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.oarcine某e某某某某某一某【详解】口e某d某arcinedeearcineele2某d某口e某arcine某令tlle2某d某.口le2某，则某ltln（lt2）,d某dt,221t所以Dlle2某d某lllldtdt2tl2tltl.Dltllle2某llnCln2tl21e2某1（17）（本题满分10分）D设区域D（某,y）某2y21,某0,计算二重积分口1某yd某dy.221某yD【分析】由于积分区域D关于某轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分,则将其化为极坐标系下累次积分即可.□【详解】积分区域D如右图所示.因为区域D关于某轴对称，函数口f（某,y）ll某y22是变量口y的偶函数，o函数g（某,y）则口某yl某2y2是变量口y的奇函数.o1某DI2yd某dy221021某yDld某dy22d2rln2dr201r21某yd某dyO,221某yD故口1某yl某yln2d某dyd某dyd某dy.2222221某yl某yl某y2DDD（18）（本题满分12分）o设数列口某n满足0某。某nlin某n（nl,2,）［）（I）证明lim某n存在，并求该极限；口nl某nl某n2（II）计算lim.n某n【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.（II）的计算需利用（I）的结果.Q【详解】（I）因为0可推得口某1,则0某2in某11.口。某nlin某nl,nl,2,,则数列某n有界.口于是口某nlin某nin某某）（因当某0时，，则有某nl某n,可见数列某n单调减1»o某n某nn少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim某n存在.0设lim某nnl,在某nlin某n两边令n,得linl,解得10,即lim某nO.qnil(II)因口某limnln某n2某nin某n某n2,由（I）知该极限为1型，limn某n令t某n,则n,tO,而口intltlt211intintinttinttHimllimlltlimlt0t0t0ttt2211,口又。t3to（t3）tlintinttl3!lim211imlim.33t0tt0t0ttt6某的麦克劳林展开式）口12某n（利用了in故口某limnln某nlin某n某n21ime6.n某nl（19）（本题满分10分）口证明：当Oab时，口binb2cobbaina2coaa.口【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】令则of（某）某in某2co某某aina2coaa,0a,某b,且口，口f（某）in某某co某2in某某co某in某f（）0.口乂「f（某）co某某in某co某某in某0,（0某时，某ni某0某b时，口），口故当Oaf（某）单调减少，即f（某）f（）0,则f（某）单调增加，于是口f(b)f(a)0,即口binb2cobbaina2coaa.口(20)(本题满分12分)D设函数口f(u)在(0,)内具有二阶导数，且zf某2y2满足等式口2z2z20.2某y(I)验证(II)若口f(u)f(u)0；uf(1)0,f(1)1,求函数f(u)的表达式.口2z2z2z2z【分析】利用复合函数偏导数计算方法求出，2代入220即可得(I).按常规方2某y某y法解(II)即可.口【详解】(I)设u某2y2,则Qz某zyf(u),f(u)某某2y2y某2y2.z某某f(u)f(u)22222某某y某y2某y某y222某2某2y22口某2f(u)2f(u)2某y2zy2f(u)2f(u)22y某y2z2z2z2z将，2代入220得2某y某y0y2某某2y某2322,02y322.of(u)f(u)0.u(II)令口f(u)p,则ppdpduO,两边积分得upu由口,即InplunlCnplClu,亦即口f(u)Clu.qf(l)l可得Cll.所以有f(u)l,两边积分得u由of（u）lnu2,qCf⑴0可得C20,故f（u）lnu.D（21）（本题满分12分）D某t21,已知曲线L的方程（tO）D2y4tt（I）讨论L的凹凸性；D（II）过点（1,0）引L的切线，求切点（某0,y0）,并写出切线的方程；口某0的部分）及某轴所围成的平面图形的面积【分析】（I）利用曲线凹凸的定义来判定；（II）先写出切线方程，然后利用（1,0）在切线上；（HI）o利用定积分计算平面图形的面积.o（III）求此切线与L（对应于某dyd某dydydt42t2【详解】（I）因为2t,42tl口d某dtdtd某2ttdtgd2yddyl2110,（t0）d某223d某dtd某tt2tdt0时是凸的.口故曲线L当t（II）由（I）知，切线方程为口222,y01（某1）,设某OtOLyO4tOtOt022232则4t0tl（t02）,即4t0t0（2t0）（tO2）0tO2O0整理得将t02.t0t020（t01）（t02）0t01,2（舍去），故切线方程为1代入参数方程，得切点为（2,3）o2y31(某2),即y某Ld(III)由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为oA(l,0),B(2,0),C(2,3),D(l,0),0设L的方程某则S3g(y),口g(y)(yl)dyO由参数方程可得口t24y,即某24y由于(2,3)在L上,则某321.0g(y)24y219y24y.于是口S9y44y(yl)dyD0(102y)dy403304ydyD3010yy(22)(本题满分9分)口已知非齐次线性方程组口230384y237.3某1某2某3某414某13某25某3某41a某某3某b某13412有3个线性无关的解.(I)证明方程组系数矩阵口A的秩rA2；口(II)求a,b的值及方程组的通解.o【分析】(I)根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；(II)利用初等变换求矩阵口A的秩确定参数口a,b,然后解方程组.口【详解】(I)设1,2,3是方程组0A某的3个线性无关的解，其中口11111A4351,l.Dal3bl则有则口A(12)0,A(13)O.012,13是对应齐次线性方程组A某0的解，且线性无关.(否则，易推出1,2,3nr(A)2,即4r(A)2r(A)2.口线性相关，矛盾).口所以u又矩阵口A中有一个2阶子式口1110,所以r(A)2.n43因此口r(A)2.D(II)因为口111111111111A4351O115O115.0al3b01a3aba0042ab4a5又r(A)2,则口42a0a2