课程导学-第二章第九节

第九 函数模型及其应要点梳理·要点梳理·考纲点了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．知识扫一、三种增长型函数模型的函性在上的增减增函增函增函增长速越来越越来越相对平图象的变随x增大渐表现为平随x增大渐表现为平化而不二、三种增长型函数之间增长速度的比指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0

对数函数＝logxa＞1与幂函数＝xn＞0．对数函数y＝logaa＞)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域总存在一个实数x0，使x＞x0时有 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0上，总会存在x0xx0时有 [辨析函数y＝2x的函数值比y＝x2提示不正确．在同一坐标系内作出函数y＝2x与x2的图象如图所示，当x<x1或2<x<4时，都有小题热某种动物繁殖量(只)与时间(年)的关系为y＝log3x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到0B．300C．400D．500解析据题意有100＝alog3(2＋1)，解得a＝100，则下列函数x的增大而增大速度最快是A．y＝

B．y＝100ln 解析因指数函数型增长快，又e＞2.则应选用长度为24隔墙，要使矩形的面积最大 若一根蜡烛长20，点燃后每小时燃烧5，则燃烧剩下的高度h)与燃烧时间t(小时的函数关系用图象表示为解析根据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)图象为据，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4辆次，其中变速车存车费是每辆一次3元，普通车存车费是每辆一次2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是y＝0.1x＋800，0≤x≤4y＝0.1x＋1200，0≤x≤4y＝－0.1x＋800，0≤x≤4y＝－0.1x＋1200，0≤x≤4解析据题意可知y＝0.2x＋(4＋1200(0≤x≤4考点突破·考点突破·考点一用函数图象刻画实际问题中两例 如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于ED两点．设弧FG的长为x(0<x<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则3【解析】由题图知正三角形的高为1则边长为 3＝3显然当x＝0时 y＝f(x)是递增函＝31－cos排除B；由平行线分线段成比例定理可知 即

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，而BE＝CD，所以22 232

π)，排除A、C，故选【答案[规律方法]判断函数图象与实际问题变化过程相吻构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情◎变式训骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是解析开始时匀速行驶，此时对应的图象为直线，函数的图象递减．途中因交通堵塞停留了一段时间，此时到学校的距离为常数，综上选考点二应用所给的函数模型解决实际问例 )加工爆米花时，爆开且不糊的数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间t(单位：分钟满足函数关系p＝a2＋bt＋a，b，c是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A．3.50分 B．3.75分C．4.00分 D．4.25分【解析】由题意得0.8＝16a＋4b＋c解之得∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125当t＝3.75时，p有最大值．【答案 根据已知条件利用待定系数求出函数模型中的待 ◎变式训部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为00600y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为

＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？设该单位每月获利为112则 2

－200x＋801 ＝－2x＋300x－80

－35因为所以当x＝400时，S有最大值－40故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40考点三(探究)构建函数模型解决根据已知条件构建函数模型解决实际问题是高考热点，往往也是高考试题中的难点，综合性较强，考查的内容常为应用函数知识解决实际生产生活中的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等问题，涉及函数类型一般为二次函数、指数函数、幂函数以及它们的组合．考向一构建二次函数模型解决问1．4·鄂州模拟)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNM，使点在边E上．设MP＝x米，N＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；求矩形BNPM面积的最大值解析(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝(8－y)米又△EPQ∽△EDF，所以

FD，即

1＋10，定义域为设矩形BNPM的面积为S

S(x)x称轴为x＝10，所以当x∈[4，8]时，S(x)单调递增．所以当x＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．考向二构建分段函数模型解决问某商品在近30天内每件的p(元)与时 天 的函数关系

该商品的日销售量Q(与时间t(天)的函数关系是＝－t＋40(0<≤30t∈求这种商品的日销售金额的最大值并日销售金额最大的一天是30天中的第几天？y＝pQ＝ 所以0<t<25时，ymax＝f(10)＝900；当25≤t≤30时，ymax＝f(25)＝1125.综上所述，ymax＝f(25)＝1125，即日销售金额的最大值为112530天中25天x考向三构建对勾函数x模型解如图，围建一个面积为3602的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)宽度为2m的一扇门已知旧墙的为45元m新墙的造价为180元/m00利用的旧墙的长度为xm，总造价为y元．将y表示为x的函数试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解析(1)如题图，设矩形的另一边长a则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＋600＝225x＋x＋xa＝360a＝360xx＋129x∴225x＋129

225×3602＝10 ∴y＝225x＋129

当且仅

时，即x＝24时等号成立所以当x＝24m时，修建围墙的总费用最小总费用是11040元[规律方法 函数模型的类型及解决方重点类解决方二次