数学知识点中考数学专题复习五图形折叠问题含解析9394

数学知识点中考数学专题复习五图形折叠问题含剖析9394数学知识点中考数学专题复习五图形折叠问题含剖析93941/24数学知识点中考数学专题复习五图形折叠问题含剖析9394图形的折叠问题【专题思路剖析】图形的折叠实质就是反射变换也许说是对称变换，也许说是翻折。这类问题多半联系实际，内容丰富，解法灵便，拥有开放性，有利于观察解题者的着手能力，空间见解和几何变换的思想。折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的要点利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识成立相关线段、角之间的联系．图形折叠问题既观察学生的着手能力,又观察了想象能力,涉及到画图、归纳等问题,它与代数、几何均有联系。折叠问题将图形的变换与学生的实质操作能力亲近联系起来。在折叠过程中,经过观察图形中的变与不变,灵便应用平面图形的基本性质及定理解决问题。近来几年来,折叠问题（对称问题）是中考出现频率较高的一类题型,学生常常由于对折叠的实质理解不够透彻,以致对这类中档问题失分严重。本文试图经过对在初中数学中经常涉及到的几类典型的折叠问题的剖析,从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的老例方法。【典型例题赏析】种类：三角形中的折叠问题折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．若是题目中有直角，则平时将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．例题：2015?乌鲁木齐,第7题4分）如图，△ABC的面积等于6，边AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的′处，点P在直线AD上，则线段BP的长不可以能是（）．3B．4C．5D．61考点：翻折变换（折叠问题）．剖析：过B作BN⊥AC于，BM⊥AD于，依照折叠得出∠′AB=∠CAB，依照角均分线性质得出BN=BM，依照三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是4，得出选项即可．解答：解：如图：过B作BN⊥AC于，BM⊥AD于，∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的′处，∴∠′AB=∠CAB，∴BN=BM，∵△ABC的面积等于，边AC=3，1∴×AC×BN=6，2∴BN=4，∴BM=4，即点B到AD的最短距离是，∴BP的长不小于4，即只有选项A的3不正确，应选．议论：此题观察了折叠的性质，三角形的面积，角均分线性质的应用，解此题的要点是求出B到的最短距离，注意：角均分线上的点到角的两边的距离相等．【变式练习】(2014?黑龙江牡丹江,第7题3分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠＜∠，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点DCD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是（）2第1题图．°．°．°．°考点：翻折变换（折叠问题）．剖析：依照折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠D=∠，∠MCD=MCA，从而求得答案．解答：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠＜∠，CM是斜边AB上的中线，∴AM=MC=BM∴∠A=∠MCA，∵将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，∴CM均分∠ACD，∠A=∠，∴∠ACM=MCD，∵∠A+∠B=∠B+∠0∴∠A=∠BCD∴∠BCD=∠DCM=MCA=30∴∠A=30°．应选：．议论：此题观察图形的折叠变化及三角形的内角和定理．要点是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，依照轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，可是地址变化．种类：四边形及其他图形中的折叠问题矩形中的一次折叠平时利用折叠性质和平行线性质求角的度数，也许利用折叠性质以及勾股3定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠平时出现“一线三直角”的模型(如图)，进而构造相似三角形，利用相似三角形求边也许角的度数．例题：（2015?山东泰安,第20题3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后获得△GBE，延长交CD于点．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）．2．4．．2考点：翻折变换（折叠问题）．.剖析：依照点E是AD的中点以及翻折的性质能够求出G尔后利用“HL”证明△和△EGF全等，依照全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．解答：解：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折叠后获得△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，∵在Rt△和Rt△中，，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL∴DF=FG，设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，4在Rt△4）2（﹣x）=（），解得x=4．应选：．议论：此题观察了矩形的性质，全等三角形的判断与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的要点．【变式练习】（2015?铜仁市）（第8题）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，11点C落在点C处，BC交于点，则线段DE的长为（）．3B．C．5D．考点：翻折变换（折叠问题）．剖析：第一依照题意获得BE=DE，尔后依照勾股定理获得对于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．ED=x，则AE=8﹣x；∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC；5由题意得：∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED=x由勾股定理得：2=AB2+AE2，BE即x2+（﹣）2+（﹣）2，解得：，∴ED=5．应选：．议论：此题主要观察了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的要点是依照翻折变换的性质，结合全等三角形的判断及其性质、勾股定理等几何知识，灵便进行判断、剖析、推理或解答．【拓展演练】1.（2015?江苏泰州，第16题3分）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD订交于点，且OE=OD则AP的长为．2015?宁夏第15题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在边上的点F处，则CE的长为．63.（2015?青海西宁第20题2分）如图，△是边长为1的等边三角形，为AC边上的高，将△ABC折叠，使点B与点D重合，折痕EF交BD于点，再将△BEF折叠，使点B于点1重合，折痕GH交BD1于点2，依次折叠，则BD=．4.（2015?滨州,第17题4分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AEE在边DCD恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，E的坐标为．75.（2014?上海，第18题4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点D分别落在边BC下方的点′处，且点′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点，′F与BE交于点．设AB=t，那么△EFG的周长为（用含t的代数式表示）．6.（2014?山西，第23题11分）课程学习：正方形折纸中的数学．着手操作：如图，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF尔后沿直线折叠，使B点落在EF上，对应点为′．CB′F221的基础上，连接AB′，试判断∠′AE与∠GCB′的大小关系，并说明原由；解决问题：（3）如图，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，尔后继续对折，使AB与重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN订交于点；8第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为′；第三步：设CG、分别与MN订交于点、，连接′、PD′、′、QB′，试判断四边形′PD′Q的形状，并证明你的结论．【拓展演练】参照答案1.（2015?江苏泰州，第16题3分）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD订交于点，且OE=OD则AP的长为．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．.剖析：由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由证明△ODP≌△OEG，得出OP=OGPD=GE，设AP=EP=x，则6x，DG=x，求出CG、BG，依照勾股定理得出方程，解方程即可．解答：解：以下列图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，68依照题意得：△ABP≌△EBP，9∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则6x，DG=x，∴CG=8﹣，BG=8﹣（6﹣x）=2+x，依照勾股定理得：BC2+CG=BG2，2即6（8﹣x）22=（x+2），解得：，∴；故答案为：．议论：此题观察了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判断与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的要点2015?宁夏第15题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在边上的点F处，则CE的长为．考点：翻折变换（折叠问题）．.10剖析：设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；尔后在Rt△DEF依照勾股定理列出对于x的方程即可解决问题．解答：解：设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=53∠A=∠D=90°．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF﹣32=52=16，∴AF=4，DF=5﹣．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2（3﹣x）2（3﹣x）2，解得：x=，故答案为．议论：此题观察了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，地址变化，对应边和对应角相等．也观察了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，要点是熟练掌握勾股定理，找准对应边．3.（2015?青海西宁第20题2分）如图，△是边长为1的等边三角形，为AC边上的高，将△ABC折叠，使点B与点D重合，折痕EF交BD于点，再将△BEF折叠，使点B于点1重合，折痕GH交BD1于点2，依次折叠，则BD=．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．.11专题：规律型．剖析：依照等边三角形的性质依次求出边上的高，找出规律即可获得结果．解答：解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，∴BD=，∵△BEF是边长为等边三角形，∴BD=，∴BD=，⋯∴BD=，故答案为：．议论：此题观察了翻折变换﹣折叠问题，等边三角形的性质，依照已知条件找出规律是解题的要点．4.（2015?滨州,第17题4分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AEE在边DCD恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，E的坐标为．考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．剖析：依照折叠的性质获得AF=AD，所以在直角△中，利用勾股定理来求OF=6，尔后设EC=x，则EF=DE=8﹣x，CF=10﹣6=4，依照勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．12解答：解：∵四边形为矩形，D的坐标为（10，∴AD=BC=10，8∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中，OF=，∴FC=10﹣，设EC=x，则DE=EF=8﹣x，=EC2+FC=x+422在Rt△中，EF，即（8﹣x），解得，即EC的长为．∴点E的坐标为（，故答案为：（10，3议论：此题观察折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直均分．也观察了矩形的性质以及勾股定理．5.（2014?上海，第18题4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点D分别落在边BC下方的点′处，且点′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点，′F与BE交于点．设AB=t，那么△EFG的周长为（用含t的代数式表示）．13考点：翻折变换（折叠问题）剖析：依照翻折的性质可得CE=C′，再依照直角三角形°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠EBC′=30°，而后求出∠BGD′=60°，依据对顶角相等可得∠FGE=∠∠BGD′=60°，依照两直线平行，内错角相等可得∠AFG=∠FGE，再求出∠EFG=60°，尔后判断出△EFG是等边三角形，依照等边三角形的性质表示出EF，即可得解．解答：由翻折的性质得，CE=C′，∵BE=2CE，∴BE=2C′，又∵∠′∠C=90°，∴∠EBC′=30°，∵∠FD′′∠D=90°，∴∠BGD′=60°，∴∠FGE=∠∠BGD′=60°，∵AD∥BC，∴∠AFG=∠FGE=60°，∴∠EFG=（°﹣∠AFG）=（°﹣°）=60°，∴△EFG是等边三角形，∴，∴EF=t÷=t，∴△EFG的周长=3×t=2t．故答案为：2t．议论：此题观察了翻折变换的性质，直角三角形°角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判断与性质，熟记性质并判断出△EFG是等边三角形是解题的要点．146.（2014?山西，第23题11分）课程学习：正方形折纸中的数学．着手操作：如图，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF尔后沿直线折叠，使B点落在EF上，对应点为′．CB′F221的基础上，连接AB′，试判断∠′AE与∠GCB′的大小关系，并说明原由；解决问题：（3）如图，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，尔后继续对折，使AB与重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN订交于点；第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为′；第三步：设CG、分别与MN订交于点、，连接′、PD′、′、QB′，试判断四边形′PD′Q的形状，并证明你的结论．考点：四边形综合题．1B，在RT△′FC中，sin∠CB′F==CB′F=30°，（2）连接BB′交CG于点，由对折可知，∠′AE=∠′BE，由∠′BE+∠KBC=90°，∠KBC+∠GCB=90，获得∠′BE=∠GCB，又由折叠知∠=GCB′得∠′AE=∠GCB′，（3）连接AB′利用三角形全等