首都师范2011年数学分析真题解析

首都师范大学2011年数学分析解（本题15分求极1lim(cosx)x2【解答，limcosx，

1lim(cos

cosx12lim[1cosx12

cosx1limecosx1lim

12

e

【解答 lim1!2!n!lim1

1 n n(n （本题15分判断下列函数在给定区间上是否一致连续，并给出证明1在区间(0,1)上的函数x x在区间[0,上的函xsinx【解答xsin1在(0,1)上连续，且 xsin10， xsin1sin1，故xsin1x

xsinx在[0,xsinx在任何一个长度固定的区间上振幅有界，

2 xsinx在[0,（本题15分设函数f(x)是[0,1区间上的递减连续函数。证明：对于任意的a(0,1)，1f(x)dx1af a

f(x,y)dxdyr0

2【解答

xyf(x是[0,1]xf(t)dtf(xxf(t)dt 凸函

0f(t)dtx

f(t)dt0f(t)dt在(0,1上单调递减，故对于任意a(0,1)xaf有

1f0

，即

1f(x)dx1

1

f

a fr0

r2xy（本题15分 x2x4设二元函数f在xy0时为f(x,y)x4

f(0,0)0。试讨论函数f(x,y)在原点(0,0)处的连续性，偏导数存在性和可微性【解答x2y20f(x,y)

1(x4y2x4x2x412x4x4x2x412x4故(x,y

f(xy0f(0,0)f(xy在原点(0,0)

故f(x,y在原点(0,0)处两个偏导数x2y20x2yx4y2x2f(x,y)f(0,0)x2yx4y2x2x2x2

x4x4 x2xy0x2x2x4 x2yxxyxx y2

xx4xx4 x2y4(x4x2)y2x62x2(xx2(xxx

x

2x32x3x4xx4 x2 0xx4 x2x

x2 0(x,y x4 x2f(xy在原点(0,0)（本题10分设函数f(x)在[a,)上连续，在(a,)可微，且

f(x)f(a。证明：存在af'(0【解答F(x)

f(tan arctanat

F(x

arctan

上连续f

t2

2arctana,内可导，且F(arctana) F )，故存在t0(arctan 2 F'(t0f'(tant0sec2t00f'(tant00。取tant0就有af'(0（本题15分 证明函数项级数ln(1nln2n)在[1,1]证明级数

(0x的和函数S(x)在区间(0,上有连续的导数【解答

)

nln2

nln2

11 2nln2

1nln2n

nln2

，级

nln2

收敛，故ln(1nln2n在[1,1]n2

nln2

(2)

ln(1x)，1x1；0x0

1S(x)in(1ex)，它显然在区间(0,)上有连续的（本题15分a2x2求积分Iyzdzdxzxdxdy，其中Sa2x2S【解答记S1:x2y2z2a2，取下侧；:S和S1围成 ，则yzdzdxzxdxdy(x,y,(x,y,作广义球坐标变换yrsinsin，J r2由Gauss公式

zr zdxdydzI )(yzdzdxzxdxdy) ( zdxdydzS

(zx)dxdydz

1 d2 r3dr （本题10分yxexsiny0(01)在(0,0)y【解答

f(x)的存在性，并求该F(xyyxexsinyF(0,0)0Fx(xy(x1)exFy(x,y)1cosy10，Fx(x,y)，Fy(x,y)都是连续的，故隐函数y f(x)在

dy

Fx(x,

(x

(x ，

1

(x,

1cos

1cos

（本题15分设函数f(x)在(0,)上二次可微，并且已M0sup{f(x)x(0,)}，M2sup{f"(x)x(0,)}M1sup{fM0M0M

x(0,)}，证明M1 xh(0,f(xhf(xf'(x)hf"(h2，于是2f'(x)f(xh)f(x)h

f"()h，因此2f'(x)

f"()hf(xf(xh)fh

f(xh)h

f(x)

h2M0M2f fM0M2M0M2 上式对任意h都成立，2M0M2hM0M2M0M2 M0MM0Mx(0,)，有f'(x) M0MM0M（本题15分3f(xaijxixjAaij是3 i, ffI f(

dxdx【解答

A的特征值为,,。存在正交矩阵Q，使得QTAQ xQyf(xy2y2y21 2 3

22 3ff I f(

dxdx1y2y21y2y2y1223z11y1z22y2z33y3z12z2z ey2y2y2

dydy

z2z2z2

dzdz11223 detdet 1err2drsind2d4(edetdet （本题15分f(tex2cos(xt)dxf(t【解答ex2cos(xt)ex2

ex2dx收敛，故

x2cos(xt)dx ex2cos(xt)dxxex2sin( xex2sin(xt)

x

，

x

f'(t)ex2cos(xt)dxxex