5.6-正弦定理、余弦定理和解斜三角形

5.6-正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6-正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6-正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6-正弦定理、余弦定理和解斜三角形编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:5．6正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理：（2R为三角形外接圆直径），（为三角形面积），其他形式：a：b：c=sinA：sinB：sinCCACABacb余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,(可按a,b,c,轮换得另二式)余弦定理变式：,(轮换得另二式)余弦定理向量式：如图a=b+c,c=a–bc2=|c|2=|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2﹒a﹒b=a2+b2-2abcosC(其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c)【例1】在△ABC中，求证：eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(a2＋c2－b2,b2＋c2－a2).►变式训练1在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边．求证：eq\f(cosB,cosC)＝eq\f(c－bcosA,b－ccosA).【例2】在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．►变式训练2在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．【当堂训练】1、在三角形中,如果,那么这个三角形是 （）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．直角三角形或钝角三角形2、在△ABC中，“”是“”的 （）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3、在△ABC中，已知B=30°,,c=150，那么这个三角形是 （）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形4、设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是 （） A．a≥3 B．a＞－1 C．－1＜a≤3 D．a＞05、在△ABC中，a,b,c,分别是三内角A、B、C所对的边，若B=2A，则b:a的取值范围是（） A． B． C． D．6、在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A<B<C，则的取值范围是（）A． B． C． D．7、在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值．8、已知的三边、、成等比数列，且，．（1）求； （2）求的面积．【家庭作业】一、填空题1．在中，已知，则___________2．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为，则它的顶角的正切值是__________3．在中，若，那么三角形的形状为_______________4．在中，，则_______________5．在中，，则6．在锐角中，若，则的取值范围是__________7．在中，若，则________________8．在中，已知，若此三角形有两解，则的取值范围是__________________9．(A)在中，，则三角形的形状为________________(B)已知，且，则在及中必为常数的有_________10．(A)在中，，则的取值范围是__________________(B)已知三角形的三边长分别是，则三角形的最大角等于______________二、选择题11．在中，是（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12．在中，若则此三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形13．在中，若，那么其三边关系式为（）A.B.C.D.14．(A)在中，为三角形三条边，且方程有两个相等的实数根，则该三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形(B)已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形三、解答题15．在中，若，试判断三角形的形状16．在中，若，求。17．在中，若。（1）求；（2）若，求的值。18．(A)已知A码头在B码头的南偏西处，两码头相距200千米，甲、乙两船同时分别由A码头和B码头出发，乙船朝着西北方向航行，乙船的航行速度为40海里/小时，如果两船出发后5小时相遇，求甲船的速度。（1海里=千米）（精确到海里）(B)甲船在点发现乙船在北偏东的点处，测的乙船以每小时海里的速度向正北行使。已知甲船速度是每小时海里，问：甲船如何行驶才能最快与乙船相遇19、(A)在中，若，（1）判断三角形的形状；（2）如果三角形面积为，求三角形周长的最小值。(B)三条线段长分别为和，其中，是否能以此三条线段构成三角形并说明理由。参考答案例1、证明方法一左边＝eq\f(\f(sinA,cosA),\f(sinB,cosB))＝eq\f(sinAcosB,sinBcosA)＝eq\f(a,b)·eq\f(\f(a2＋c2－b2,2ac),\f(b2＋c2－a2,2bc))＝eq\f(a2＋c2－b2,b2＋c2－a2)＝右边，所以eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(a2＋c2－b2,b2＋c2－a2).方法二右边＝eq\f(\f(a2＋c2－b2,2ac)·2ac,\f(b2＋c2－a2,2bc)·2bc)＝eq\f(\f(a2＋c2－b2,2ac)·a,\f(b2＋c2－a2,2bc)·b)＝eq\f(cosB,cosA)·eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(sinA,cosA)·eq\f(cosB,sinB)＝eq\f(tanA,tanB)＝左边，所以eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(a2＋c2－b2,b2＋c2－a2).变式1证明方法一左边＝eq\f(\f(a2＋c2－b2,2ac),\f(a2＋b2－c2,2ab))＝eq\f(b(a2＋c2－b2),c(a2＋b2－c2))右边＝eq\f(c－b·\f(b2＋c2－a2,2bc),b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc))＝eq\f(b(a2＋c2－b2),c(a2＋b2－c2))∴等式成立．方法二右边＝eq\f(2RsinC－2RsinB·cosA,2RsinB－2RsinC·cosA)＝eq\f(sin(A＋B)－sinBcosA,sin(A＋C)－sinCcosA)＝eq\f(sinAcosB,sinAcosC)＝左边∴等式成立．例2、解方法一根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2＝a2＋c2－2accos60°，整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.∴△ABC是正三角形．方法二根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为2sinB＝sinA＋sinC.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴C＝120°－A，∴2sin60°＝sinA＋sin(120°－A)，整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°.∴△ABC是正三角形．变式2解由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，∴A＝eq\f(π,3).又sinA＝2sinBcosC．∴a＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,a)，∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．【当堂训练】1、答案：D解析：利用正、余弦定理将角变为边求解2、答案：B解析：利用三角形内角和与三角函数的性质来解决3、答案：D解析：利用正弦定理4、答案：A解析：因为A是最小的角，根据A的范围来求。5、答案：B6、答案：C解析：∵2B=A+C，∴．设，（d>0）．则，又∴．∴7、答案：,解析：解法一：由余弦定理，因此，在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B. 由已知条件，应用正弦定理：解得从而解析：（1）由，…由、、成等比数列，知，且不是最大边（2）由余弦定理得，【家庭作业】一、填空题1.2或12.3.等腰直角三角形4.5.6.()7.8.9.（A）等边三角形，(B)10.（A）,(B)二、选择题11.C12.B13.B14.（A）A(B)A三、解答题15.由，得，化简得，，，即是等腰三角形。16.，，，17.（1）由题设得，即，解得，故；（2），即，将代入，得，解得或。18.(A)如右图，设两船在处相遇，由题意，（单位：千米）。