2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题练习05 等腰三角形的判定和性质(含详解)

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题05等腰三角形的判定和性质考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：班级：考号：题号一二三总分得分评卷人得分一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）（2分）（2021八上•海曙期末）如图，CD是等腰三角形AABC底边上的中线，BE平分NABC,交CD于点E,AC=8,DE=2,则ABCE的面积是（ ）B.6B.6 C.8D.12（2分）（2021八上•高县期末）等腰三角形的一个内角是70。，则它底角的度数是（ ）A.70° B.70°或40°C.70°或55° D.55°（2分）（2021八上源山期末）如图，&MNP中，ZP=60°,MN=NP,MQ工PN,垂足为Q,延长MN至G,取NG=NQ，若^MNP的周长为12,MQ=m，则aMGQ周长是（ ）8+2m B.8+m C.6+2mD.6+m（2分）（2020八上•东海期末）如图，ZiABC中，AB=AC,作ZSBCE,点A在aBCE内，点D在BEEIA.90°--2C.30°+-2m,EIA.90°--2C.30°+-2m,m°B.D.180°-2m°1—m'2上，AD垂直平分BE,且NBAC=m。，则NBEC=（5.（2分）（2021八上,如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD,点8关于AC的对称点W恰好落在CD±,若NB40=a,则NACB的度数为（ CD±,若NB40=a,则NACB的度数为（ ）DA.45°BB.a-45°1C.-a2D.90°--a26.（2分）（2021八上•盐湖期中）有一题目：“如图，NABG40。，8。平分NA8C,过点。作。E〃A8交BC于点、E,若点尸在AB上，且满足求NOFB的度数.”小贤的解答：以。为圆心，OE长为半径画圆交A8于点凡连接。F,则。E=OF,由图形的对称性可得NOFB=/OE8.结合平行线的性质可求得N£>FB=140。.而小军说:“小贤考虑的不周全，NOFB还应有另一个不同的值”.下列判断正确的是（ ）BA.小军说的对，且BA.小军说的对，且NOFB的另一个值是40。B.小军说的不对，NDFB只有140。一个值C.小贤求的结果不对，/OFB应该是20。D.两人都不对，NOFB应有3个不同值（2分）（2021八上•江津期中）如图，D为NBAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD,ZDBC=ZDCB,过D作DEJ_AC于E,DF±AB交BA的延长线于F,则下列结论:①△CDEgZXBDF；②CE=AB+AE；六J/ \ A.1B.2 C.3D.4TOC\o"1-5"\h\zR C（2分）（2021八上•江阴期中）如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=46°,NBAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O,点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将NC沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则NOEC的度数（ ）（2分）（2021八上•崇阳期中）如图，已知NMON=30°，点A、&、A3、…在射线ON上，点、B2yB3、…在射线OM上，MBH、 、AA383A4…均为等边三角形，若。4,=1，则的边长为（）（2分）（2018八上•北京月考）若（a-2）2+收-3|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）A.6 B.7 C.8 D.7或8评卷人得分二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）（2分）（2021八上•长沙期末）如图，ZABC、ZACB的平分线相交于点F,过F作DE//BC,交AB于点D,交AC于点E,BD=3cm,EC=2cm,则DE=cm.（2分）（2021八上•句容期末）如图，^MON=35°，点P在ZMON的边ON上，以点P为圆心，PO为半径画弧，交OM于点A,连接AP,则NAPN=（2分）（2021八上•句容期末）如图，N4OB是一角度为a的锐角木架,要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件EF、FG、GH且OE=EF=FG=GH 在Q4、 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为60根，则锐角a的范围为.0（2分）（2021八上•淳安期末）如图，在AABC中，ZABC=ZACB,D为最小值是.BC的中点，连接AD,E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP,AC=10,BC=12,贝ijEP+BP的最小值是.（2分）（2021八上•宁波期末）如图，在RSABC中，AC=BC=1,D是斜边AB上一点（与点A,B不重合），将ABCD绕着点C旋转90。到ZkACE,连结DE交AC于点F,若C△AFD是等腰三角形，则AF的长为.C（2分）（2021八上•中山期末）如图，AB=AC=5,NB4c=110°,

AD是NBAC内的一条射线，且NBAZ）=25°,P为AD上一动点，则归8—的最大值是（2分）（2021八上•建华期末）小聪在研究题目“如图,在等腰三角形ABC中，AB=AC,NB4c=50°,NBAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O,点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①NO砂=5（）。；A②图中没有60。的角；③D、0、C三点共线.请你直接写出其中正确的结论序号：A（2分）（2021八上•铁西月考）如图，矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点M形时，线段BN的长为在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN,DN,且NDNM=NDBC,当aDMN形时，线段BN的长为（2分）（2021八上•沈阳期中）已知长方形ABCD,AB=6,BC=10,M为线段AD上一点且AM=8,点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC-CD的方向运动，至点D停止，设运动时间为t秒，当aAMP为等腰三角形时，t的值为.（2分）（2021八上•武昌期中）如图，已知aABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，ZOBC,NOCB的平分线相交于点I,有如下结论：①AO=CI；②NABC+NACO=90。；③ZBOI=ZCOI；④OILBC.其中正确的结论是.评卷人得分三.解答题（共8小题，满分60分）（5分）（2021八上•顺义期末）“三等分角''是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一.如图1所示的“三等分角仪'’是利用阿基米德原理做出的.这个仪器由两根有槽的棒PA,PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A,O可在棒PA,PB内的槽中滑动，且始终保持OA=OC=PC.NAOB为要三等分的任意角.则利用“三等分角仪“可以得到NAPB=-ZAOB.3我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明.已知：如图2,点O,C分别在NAPB的边PB,PA±,且OA=OC=PC.（5分）（2021八上•营口期末）如图，在等腰AABC和等腰AADE中，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE且C、E、D三点共线，作AMJ_CD于M.若BD=5,DE=4,求CM.的垂直平分线分别交AB于点E,交AC于点F,点D在EF上，且BD=CD,G是AC的中点，连接

DG.DG.（3分）求证：DG1AC；（4分）判断aBCD是否是等边三角形，并说明理由.24.（9分）（2021八上•平凉期中）探究与发现：如图①，在RSABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D在底边BC上，AE=AD,连结DE.图① 图② （1）（3分）当NBAD=60。时，求NCDE的度数；（3分）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究NBAD与NCDE的数量关系；（3分）深入探究：若NBAC，90。，试就图②探究NBAD与NCDE的数量关系.（7分）（2020八上•松北期末）已知在AABC中，AB=AC,射线BM、BN在NABC内部，分别交（4分）如图1,若NABC=60。，ZMBN=30°,作AE_LBN于点D,分别交BC、BM于点E、F.①求证：Z1=Z2：②如图2,若BF=2AF,连接CF,求证：BF±CF；（3分）如图3,点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接CF,若NBFE=NBAC=2NCFE,求

sU^ACFsU^ACF的值.（5分）如图①，在AABC中，D为AABC外一点，若AC平分/BAD,CEJ_AB于点E,ZB+ZADC=180°,求证：BC=CD；琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F,使得AD=AF,连结CF,先证明AADC丝4AFC得到DC=FC,再证明CB=CF,从而得出结论；宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG,由角平分线的性质得出CG=CE,再证明AGDCg△EBC,从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.（5分）如图②，D、E、F分别是等边aABC的边BC、AB、AC上的点，AD平分NFDE,且NFDE=120。.求证：BE=CF.（10分）（2021八上•包河期末）在等腰^ABC中，AB=AC,点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE,AF平分NCAE交DE于点F,连接（3分）如图1,求证：ZABE=ZACF：（3分）如图2,当NABC=60。时，在BE上取点M,使BM=EF,连接AM.求证：AAFM是等边三角形；（4分）如图3,当NABC=45。，且AE||BC时，求证：BD=2EF.（7分）（2021八上•虎林期末）在等腰ZiABC中，AB=BC,点D,E在射线BA上，BD=DE,过点

（1）（3分）当点E在线段AB上，CD是AACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC=CF；（提示：延长CD,FE交于点M.）（2）（4分）当点E在线段BA的延长线上，CD是AACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是4ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE,BC,CF之间的数量关系，不需要证明；2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题05等腰三角形的判定和性质考试时间：120分钟试卷满分：100分一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）（2分）（2021八上•海曙期末）如图，CD是等腰三角形AABC底边上的中线，BE平分NABC,交CD于点E,AC=8,DE=2,则△BCE的面积是（ ）B.6 C.8D.12【答案】C【完整解答】解：过点E作EFLBC于F,•；AC=BC=8,CD是等腰三角形AABC底边上的中线,.\CD1AB,：BE平分NABC,EDJ.AB,EF1BC,，EF=DE=2,ABCE的面积=-xBCxEF=-x8x2=8.2 2故答案为：C.【思路引导】过点E作EF_LBC于F,利用等腰三角形的性质可证得CDJ_AB,利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出ABCE的面积.（2分）（2021八上♦嵩县期末）等腰三角形的一个内角是70。，则它底角的度数是（ ）A.70° B.70°或40℃.70°或55°D.55°【答案】C【完整解答】解：当70。角为顶角时，它的底角为；（180。-70。）=55。，

当70。角为底角时，它底角的度数是70。故答案为：C.【思路引导】分情况讨论：当70。角为底角时；当70。角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的度数，即可求解.（2分）（2021八上源山期末）如图，aMNP中，ZP=60°,MN=NP,MQ-LPN,垂足MQ=m，则aMGQ周长是（ ）为Q，延长MN至G,取MQ=m，则aMGQ周长是（ ）A.8+2m8+m6+2mD.6+mA.8+2m8+m6+2mD.6+m【答案】C【完整解答】解：NP=60°, MN=NP,/.△PMN是等边三角形,MQ±PN,.*.ZGQN=ZG=30°,QN=NG=-MN,:.ZQMN=ZG=30°,，QM=QG,,:&MNP的周长为MQ±PN,.*.ZGQN=ZG=30°,QN=NG=-MN,:.ZQMN=ZG=30°,，QM=QG,,:&MNP的周长为12,MQ=m,；.MN=4,QN=NC=2,QM=QG=m,：.aMGQ周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案为：C.【思路引导】易得APMN是等边三角形，得QN=PQ=-2MN,ZQMN=30°,ZQNM=60°,根据等腰三角形的性质可得NGQN=NG=30o,QN=NG=LmN,推出QM=QG,根据aMNP的周长可得MN=4,QN=NC=2,

2QM=QG=m,据此求解.（2分）（2020八上•东海期末）如图，AABC中，AB=AC,作ABCE,点A在ZiBCE内，点D在BE上,AD垂直平分BE,且NBAC=m。，则NBEC=（1一m'2B.180°-2m°1一m'2B.180°-2m°C.30°+-m°2D.—m°2【答案】D【完整解答】解：・・・AD垂直平分BE,・・・AB=AE,・・・AB=AE,AZABE=ZAEB,VAB=AC,AAE=AC,AZAEC=ZACE,AZBEC=ZBEA+ZACE,VZBAC=m°,・•・ZABC+ZACB=180°-m°,AZBEC= -AZBEC= -2-m°)1= -2(180°-ZABC-ZACB)=m0,11-[180°-(ZABC+ZACB)|= -[180°-(180°故答案为：D.【思路引导】由【思路引导】由AD垂直平分BE可得AB=AE,从而得出AB=AE=AC,利用等边对等角可得NABE=ZAEB,ZAEC=ZACE,即得NBEC=NBEA+NACE,由三角形内角和可得NABC+NACB=180。-m。,由NBEC=-(180。-NABC-NACB)即可求解.2（2分）（2021八上•如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD,点8关于AC的对称点B，恰好落在CD±,若NBAD=a,则NAC8的度数为（DB.a-45°1C.一DB.a-45°1C.一（XD.90°--a2【答案】D【完整解答】解：如图，连接ABIBB\过A作AELCD于E,•••点•••点B关于AC的对称点B，恰好落在CD匕，AC垂直平分BB',.•.AB=AB',/.ZBAC=ZB,AC,；AB=AD,.\AD=AB,,又；AE_LCD,.*.ZDAE=ZB'AE,TOC\o"1-5"\h\z1 1ZCAE=—ZBAD=—a,2 2又；NAEB'=NAOB'=90。，二四边形AOB，E中，ZEB,O=180°--a,2，/ACB'=NEB'O-NCOB'=1800--a-900=90°--a,2 21NACB=NACB'=90°-—a,2故答案为：D.【思路引导】连接AB，，BB\过A作AELCD于E,利用轴对称的性质可证得AC垂直平分BB，，ZBAC=NB，AC,利用垂直平分线的性质可推出AB=AB，，由此可推出AD=AB，；利用等腰三角形的性质可得到NDAE=NBAE,由此可表示出NCAE及NEB。：然后根据NACB，=NEBO-NCOB，，代入计算可表示出ZACB的度数.6.（2分）（2021八上•盐湖期中）有一题目：“如图，NA8O40。，8。平分N4BC,过点D作OE〃4B交BC于点E,若点尸在AB上，且满足OF=OE,求NOFB的度数.”小贤的解答：以。为圆心，OE长为半径画圆交A8于点F,连接。凡则O£=OF,由图形的对称性可得结合平行线的性质可求得NOFB=140。.而小军说：“小贤考虑的不周全，NOFB还应有另一个不同的值”.下列判断正确的是（）// A.小军说的对，且NOFB的另一个值是40° CB.小军说的不对，NQFB只有140。一个值C.小贤求的结果不对，NOFB应该是20°D.两人都不对，NOFB应有3个不同值【答案】A如图，以点D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，F,连接£）尸，。尸，则DE=DF=DF'.ZDFF'=ZDF'F，•.BD平分ZABC,由图形的对称性可知：ZDFB=ZDEB,DE||AB,zS4BC=40°,..ZDEB=180°-40°=140°,：.ZDFB=\4Q0,当点F位于点F,处时，:DF=DF'.:"DF'B=ZDFFf=180°-140°=40°.故答案为：A.【思路引导】以点D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F,F,,连接DF，DF',则DE=DF=DF'，由图形的对称性可知= ，结合平行线的性质求/DFB=140。，当点F位于点F'处时，由DF=DF可求出/DFB的度数.7.（2分）（2021八上.江津期中）如图，D为NBAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD,ZDBC=ZDCB,过D作DE_LAC于E,DF±AB交BA的延长线于F,则下列结论:@ACDE^ABDF；®CE=AB+AE；③/BDC=/BAC；④NDAF=/CBD.其中正确的结论有（ ）个【答案】D【完整解答】解：：AD平分NCAF,DE1AC,DF1AB,:•DE=DF,在Rt^CDE和Rt^BDF中，BD=CDDE=DF'ARt^CDE=Rt^BDF,故①正确；二C£=AF,在RUADE和Rt^ADF中，AD=ADDE-DF'Rt^ADE=RtaADF,AAE=AF,CE-AB+AF—AB+AE,故②iE确；VRt^CDE=Rt^BDF,\ 又,：ZAOB=NDOC，B C.,.ZBDC=ZBAC,故③正确；：AD平分ZC4F,/.ZDAF=/DAE，•:BD=CD，/.ZDBC=ZDCB，■：ABAC+ZDAF+ZDAE=180°,ZBDC+ZDBC+ZDCB=180°,NBDC=NBAC,ZDAF+ZDAE=^DBC+^DCB,，NDAF=NCBD,故④正确；综上所述，正确的有①②③④；故答案为：D.【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF,根据HL证明RUDE三RSBDF,可得CE=AF,ZDBF=ZDCE,根据HL证明R/AADEvRfAADb,可得AE=AF,从而得出CE=AB+AF=AB+AE,据此判断①②；在aAOB和aDOC中，ZDBF=ZDCE.ZAOB-ZDOC,可得NBDC=/BAC,据此判断③；利用三角形的内角和可求NDAF+NDAE=/DBC+NDCB,从而得出NDAF=NCBD,据此判断④.（2分）（2021八上•江阴期中）如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=46°,NBAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O,点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将NC沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则/OEC的度数（ ）AAA.90° B.92° C.95°D.98°° Ec【答案】B【完整解答】解：连接BO,CO,X\VZBAC=46°,NBAC的平分线与AB的中垂线交于点O,B Ec：.ZOAB=ZOAC=23°,TOD是AB的垂直平分线，AOA=OB,VOA=OB,ZOAB=23°,AZOAB=ZABO=23°,VAB=AC,AZABC=ZACB=67°,JZOBC=ZABC-ZABO=67°-23°=44°,VAB=AC,ZOAB=ZOAC,AO=AO,AAABO^AACO（SAS）,ABO=CO,AZOBC=ZOCB=44O,・・•点C沿EF折叠后与点O重合，AEO=EC,:.ZEOC=ZOCE=44°,:.ZOEC=180°-ZEOC-ZOCE=180°-2x44°=92°.故答案为：B.【思路引导】连接BO,CO,由角平分线的概念可得NOAB=NOAC=23。,根据垂直平分线的性质可得OA=OB,结合等腰三角形的性质可得NOAB=NABO=23。，ZABC=ZACB=67°,然后求出NOBC的度数，证明AABO♦△ACO,得至l]BO=CO,则NOBC=NOCB=44。，根据折叠的性质可得EO=EC,则NEOC=NOCE=44。，然后在AOEC中，应用内角和定理进行求解.（2分）（2021八上•崇阳期中）如图，已知/MON=30。，点A、4、&、…在射线ON上，点、B?、B3、…在射线OM上，&4,旦人、A4282A3、0383Al…均为等边三角形，若4=1，则A444的边长为（）

C.128D.C.128D.256,••△AiBiA?是等边三角形，.*.AiBi=A2Bi,Z3=Z4=Z12=60°,AZ2=120°,VZMON=30°,/.Zl=180°-120o-30o=30°,XVZ3=60°,.*.Z5=180o-60°-30o=90°,VZMON=Z1=30°,/.OAi=AiBi=1,•■A?B।=1,•••△AzB2A3、aAsB3A4是等边三角形,/.Zll=Z10=60°,Z13=60°,VZ4=Z12=60°,AiB।//A2B2//A3B3>B|A2〃B2A3,.\ZI=Z6=Z7=30°,Z5=Z8=90°,:.AzB2=2BiAz，B3A3=2B2A3，/.A3B3MB1A2M,A4B4=8BiA2=8,A5B5=16BiA2=16,以此类推：AsB8=27BiA2=27=128.故答案为：C.【思路引导】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得AIB产A2B1,N3=N4=N12=60。，根据邻补角的性质可得N2=120。，由内角和定理可得N1的度数，然后由平角的概念求出N5的度数，推出OA1=AiBi=A2Bi=1,根据等边三角形的性质以及角之间的关系可得AiBi〃A?B2〃A3B3,BiA2〃B2A3,由平行线的性质可得Nl=N6=N7=30。，Z5=Z8=90°,然后根据含30。角的直角三角形的性质可得A?B2=2BiA2,B3A3=2B2A3,进而求出A3B3,A4B4,A5B5的值，据此解答.（2分）（2018八上•北京月考）若（a-2）2+步-3|=0,则以。、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）A.6 B.7 C.8 D.7或8【答案】D【完整解答】解：（a-2）2+|b-3|=0.,*.a-2=0,b-3=0,解得a=2,b=3.①当腰是2,底边是3时，三边长是2,2,3,此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是2+2+3=7；②当腰是3,底边是2时，三边长是3,3,2,此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是3+3+2=8.故答案为：D.【思路引导】首先根据非负数的性质可以得到a,b的长度，再分类讨论:腰为2,底为3；和腰为3,底为2,分别求出即可填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）（2分）（2021八上•长沙期末）如图，ZABC、ZACB的平分线相交于点F,过F作DE//BC,交AB于点D,交AC于点E,BD=3cm,EC=2cm，则DE=cm.【完整解答】解：.BF是ZABC的平分线,:"DBF=NCBF，

:DE//BC;"DFB=NCBF,；.NDBF=QFB，:.DF=BD=3cm,同理可得：EF=EC=2cm,DE-DF+EF=5cm.故答案为：5.【思路引导】由角平分线的定义得/DBF=NCBF,由平行线性质得/DFB=NCBF,即得/DBF=NDFB,根据等角对等边得出DF=DB=3cm,同里得出EF=EC=2cm,利用DE=DF+EF计算即可.（2分）（2021八上♦句容期末）如图，AMON=35°,点P在AMON的边ON上，以点P为圆心，PO为半径画弧，交OM于点A,连接AP，则ZAPN=°.【答案】70【完整解答】解：由作图可知，PO=PA,.\ZPAO=ZO=35°,,ZAPN=ZO+ZPAO=70°.故答案为：70.【思路引导】由作图可知：PO=PA,根据等边对等角得NPAO=NO=35。，由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得NAPN=NO+NPAO,据此计算.（2分）（2021八上•句容期末）如图，ZA0B是一角度为«的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角«的范围【答案】0°<a<ZEOF=ZEFO=a,【答案】0°<a<ZEOF=ZEFO=a,...NGEF=NEOF+NEFO=2a,同理可得/GFH=3a,ZHGB=4a,•.•最多能添加这样的钢管6根,.*.7a<90o,/.0°<a<.*.7a<90o,/.0°<a<故答案为：0°<a<【思路引导】根据等腰三角形的性质得NEOF=NEFO=a,由外角的性质可得NGEF=NE0F+NEF0=2a,同理可得NGFH=3a,NHGB=4a,由题意可得7a<90。，求解即可.（2分）（2021八上.淳安期末）如图，在AABC中，ZABC=ZACB,D为BC的中点，连接AD,E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP,AC=10,BC=12,则EP+BP的最小值是.“DC【答案】“DC【答案】9.6【完整解答】解：连接PC,VZABC=ZACB,VZABC=ZACB,・・・D为BC的中点，；.AD垂宜平分BC,BD--BC=62BP=CP,AD=《AB?-BEP=V102-62=8/.EP+BP=EP+CP要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E,P,C在同一直线上时，且CE_LAB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长：SARr=-ABCE=-CBAD,△ 2 2A10CE=12x8解之:CE=9.6.故答案为：9.6.【思路引导】连接PC,利用已知易证AABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，利用垂直平分线的性质可证得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP,要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E,P,C在同一直线上时，且CE±AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；然后三角形的面积公式可求出CE的长.（2分）（2021八上♦宁波期末）如图，在RSABC中，AC=BC=1,D是斜边AB上一点（与点A,B不重合），将4BCD绕着点C旋转90。到AACE,连结DE交AC于点F,若AAFD是等腰三角形，则AF的长为■（完整解答］解：：RSABC中，AC=BC=1,.,.ZCAB=ZB=45°,VABCD绕着点C旋转90。到ZiACE,.,.ZECD=90°,ZCDE=ZCED=45°,①AF=FD时，ZFDA=ZFAD=45°,二ZAFD=90°,ZCDA=45°+45°=90°=ZECD=ZDAE.VEC=CD,四边形ADCE是正方形，TOC\o"1-5"\h\z1 1 1；.AD=DC,/.AF= -AC= -xl= -；2 2 2②AF=AD时，ZADF=ZAFD=67.5°,/.NCDB=180°-ZADE-ZEDC=180o-67.5°-45o=67.5°,NDCB=180°-67.5°45°=67.5°,/.ZDCB=ZCDB,

，BD=CB=1,/.AD=AB-BD=丘—I,；.AF=AD=72-1«故答案为：一或5/2—1-2【思路引导】RSABC中，AC=BC=1,可得NCAB=NB=45。，由旋转的性质可得/ECD=90。，ZCDE=ZCED=45°,分两种情况①AF=FD时，②AF=AD时，根据等腰三角形的性质分别解答即可.（2分）（2021八上•中山期末）如图，AB=AC=5,Zfi4C=U0°,AD是NBAC内的一条射线,且N84D=25°,P为AD上一动点，贝的最大值是,【完整解答】解：如图,【答案】5AB【完整解答】解：如图,【答案】5AB=AC=5,AB'-AC-5.ffC=5,在aPB'C中，|PB'-PC|K8'C,当P、B'、C在同一直线上时，归行一^。取最大值B'C，即为5.—PC|的最大值是5.故答案为：5.【思路引导】作点B关于射线AD的对•称点8'，连接AB'、CB'.BP.易证aAHC是等边三角形，可得8'C=5,在aPB'C中，由于|P8'—PC|WB'C,所以当P、8'、C在同一直线上时，|尸8'-尸。|取最大值，即为8'C的长.（2分）（2021八上•建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,N84C=50°,NBAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O,点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①NOEF=50°；②图中没有60。的角；③D、O、C三点共线.请你直接写出其中正确的结论序号：Ayk 【答案】①【完整解答】解：；NBAC=50。，AO为NBAC的平分线,IAZBAO=-ZBAC=-x5O°=25°.2又,；AB=AC,NABC=NACB=65。.：DO是AB的垂直平分线，AOA=OB,ZABO=ZBAO=25°,ZOBC=ZABC-ZABO=65°-25°=40°.VAO为/BAC的平分线，AB=AC,二直线AO垂直平分BC,.♦.OB=OC,.*.ZOCB=ZOBC=40°,•.•将NC沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，/.OE=CE./.ZCOE=ZOCB=40°；在AOCE中，ZOEC=1800-ZCOE-ZOCB=180°-40°-40°=100°,ZOEF=-ZCEO=50°,①符合题意：2'：ZOCB=ZOBC=ZCOE=40°,，ZBOE=180°-ZOBC-ZCOE-ZOCB=1800-40o-40°-40o=60o,②不符合题意；,/ZABO=ZBAO=25°,DO是AB的垂直平分线，:.ZDOB=90°-ZABO=75°,VZOCB=ZOBC=40o,/.ZBOC=180°-ZOBC-ZOCB=180°-40°-40°=100°,/.ZDOC=ZDOB+ZBOC=750+IOO0=175°,即D、0、C三点不共线，③不符合题意.故答案为：①.【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。18.（2分）（2021八上•铁西月考）如图，矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN,DN,且NDNM=NDBC,当aDMN是等腰三角形时，线段BN的长图1当NM=ND时,.".ZNDM=ZNMD,,.,ZMND=ZCBD,/.ZBDN=ZBND,二BD=BN=y/BC2+CDr=>/122+92T5；②如图2中,D当DM=DN时,此时M与B重合，；.BC=CN=12,/.BN=24；③如图3中,VZMND=ZCBD,NNDM=NMND=NCBD,，BN=DN,设BN=DN=x,在RtADNC中，•:DN2=CN2+CD2,.*.x2=（12-x）2+92,.75••x=—，875综上，当aDMN是等腰三角形时，线段BN的长为15或24或5.75故答案为：15或24或【思路引导】分三种情况：①当NM=ND时，②当DM=DN时，③当MN=MD时，根据等腰三角形的性质及勾股定理分别求解即可.（2分）（2021八上♦沈阳期中）已知长方形ABCD,AB=6,BC=10,M为线段AD上一点且AM=8,点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC-CD的方向运动，至点D停止，设运动时间为t秒，当△AMP为等腰三角形时，t的值为.【答案】4-77或2或S【完整解答】解：•••四边形ABCD是矩形,：.AB=CD=6，fiC=AD=10,ZBAD=ZB=ZC=ZD=90°,'"IMMP为等腰：.角形时，分:.种情况:①当=时，点尸在A"的垂直平分线上，取AM的中点N,过点、N作NPVAM交8C于尸，如图1所示:图1图1则四边形ABPN是矩形，：.BP=AN=-AM=4,2.二，=4+2=2；②当AM=AP=8时，如图2所示:RtAABP中，由勾股定理得：BP=^AP2-AB2=782-62=277图2t=2V74-2=5/7；③当MA=MP=S时，过点M作MH1.BC于H，如图3所示:则四边形则四边形ABHM为矩形,；.MH=AB=6,BH=AM=8,ZMHP=90°,在RtAMHP中，由勾股定理得：HP=yjMP2-MH2=782-62=25/7：.BP=BH-HP=S-2y/7.=（8-2疗）+2=4-6：综上所述，t的值为：4-V7或2或,故答案为：4-币或2或币.【思路引导】由四边形ABCD是矩形，.•.A8=C£>=6,BC=AD=\Q,ZBAD=ZB=ZC=ZD=90°,当\AMP为等腰三角形时，分三种情况：①当PA=PM时，点尸在40的垂直平分线上，②当AM=AP=8时，③当MA=MP=8时，过点M作MH1BC于H.分类讨论即可。（2分）（2021八上•武昌期中）如图，已知AABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，ZOBC,NOCB的平分线相交于点I,有如下结论：①AO=CI；②NABC+NACO=90。；®ZBOI=ZCOI；®OI_LBC.其中正确的结论是.【答案】【答案】②③④【完整解答】解：•••OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，:.AO=BO,4O=8.•./。=C。设①AO=CI成立,则CO=CI,即点C在01的垂直平分线上,这与CI是/OCB的角平分线互相矛盾，

故①错误，•«,AO=BO-OC，:.ZABO=ZBAO,ZOAC=ZOCA,/OBC=/OCB,ZABC+ZBAC+ZACB=\80°,.,.2ZABO+2ZOBC+2ZOCA=180o,:.ZABO+ZOBC+ZOCA=90°,ZABC+ZACO=90°,故②正确；A过点I作IPA.BO,1Q±OC,IRLBC,A•;BI,CI分别是NOBC,ZOCB的角平分线,1•.Pl=RI，QI=RI；.PI=QI•/BO=CO：.O1是NBOC的角平分线ZBOI=ZCOI,OILBC故③®正确.故答案为：②③@.【思路引导】由垂直平分线的性质可得AO=BO,AO=CO,贝l]BO=CO,若AO=C1成立，则CO=CL即点C在OI的垂直平分线上，这与CI是NOCB的角平分线互相矛盾，据此判断①；由等腰三角形的性质可得NABO=/BAO,ZOAC=ZOCA,ZOBC=ZOCB,结合内角和定理可得/ABC+/ACO=90。，据此判断②：过点1作IPLBO,1QJ_OC,1R_LBC,由角平分线的性质可得PI=RI,QI=RI,则P1=QI,由BO=CO可知OI是C1BOC的角平分线，据此判断③④.三.解答题（共8小题，满分60分）21.（5分）（2021八上•顺义期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一.如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的.这个仪器由两根有槽的棒PA,PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A,O可在棒PA,PB内的槽中滑动，且始终保持OA=OC=PC.ZAOB为要三等分的任意角.则利用“三等分角仪"可以得到/APB=3ZAOB.我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明.

己知：如图2,点O,C分别在NAPB的边PB,PA上，且OA=OC=PC.：^POC,^AOC为等腰三角形,=己知：如图2,点O,C分别在NAPB的边PB,PA上，且OA=OC=PC.：^POC,^AOC为等腰三角形,=OC=PC，：.ZAPB=Z.COP,ZACO=ZC4O.由外角的性质得：ZACO=ZAPB+NCOP=2ZAPB，ZCAO=2ZAPB,再由外角的性质得：ZAOB=ZAPB+ZCAO.ZAOB=3ZAPB，ZAPB=-ZAOB.3【思路引导】直接利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出答案。22.（5分）（2021八上•营口期末）如图，在等腰AABC和等腰AADE中，AB=AC,=AE,ZBAC=ZDAE且C、E、D三点共线，作AM_LCD于M.若BD=5,DE=4,求CM.【答案】解：；NBAC=NDAE,二ZBAC-NBAE=ZDAE-ZBAE,...NBAD=NCAE,[AE^AD在aAEC和aADB中，=\ac=ab.,.△AEC^AADB(SAS),又；BD=5,

/.CE=BD=5,；AD=AE,AM±CD,DE=4,：.ME=-DE=-x4=2,2 2，CM=CE+EM=5+2=7.【思路引导】根据SAS证出aAECg/XADB,再根据BD=5,AD=AE,AM1CD,DE=4,代入计算即可。（7分）（2021八上•松桃期末）如图，在aABC中， ABAC=30P,AB边的垂直平分线分别交AB于点E,交AC于点F,点D在EF上，且BD=CD,G是AC的中点，连接DG.(1)(3(1)(3分)求证：DGJ.AC:（2）（4分）判断aBCZ）是否是等边三角形，并说明理由./.AD=BD又BD=CD，AD=CD，：・aACD是等腰三角形.•；G是AC的中点，：.DG1AC.(2)解：aBCD是等边三角形，理由如下：VBD=CD=AD,AZABD=ZBAD， ZACD=ZCAD，'：ZBAC=^BAD+ZCAD=ZABD+ZACD=30°NZ）8C+NDCB=180°—N8AC-（ZABZ）+ZACD）=120°,NZ）8C=ZDCB=60。，:.aBCD是等边三角形.【思路引导】（1）连接AD,由线段垂直平分线的性质可得AD=BD,即得AD=CD=BD,根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求解；（2）是；理由：由AD=CD=BD可得Z48£）=N84£），ZACD=ZCAD.ZDBC=ZDCB,从而得出ZBAC=ZBAD+ZCAD=ZABD+ZACD=30°,根据三角形内角和求出NDBC+NDCB=120°,即得NDBC=/DCB=60。，根据等边三角形的判定方法即证.（9分）（2021八上•平凉期中）探究与发现：如图①，在RSABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D在底边BC上，AE=AD,连结DE.图① 图② （1）（3分）当NBAD=60。时，求NCDE的度数；（3分）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究NBAD与NCDE的数量关系；（3分）深入探究：若NBAC再。。，试就图②探究/BAD与NCDE的数量关系.【答案】（1）解：：AB=AC,NBAC=90。，.*.ZB=ZC=45°,VZBAD=60°,，ZDAE=30°,VAD=AE,:.ZAED=75°,:.ZCDE=ZAED-ZC=30°；(2)设NBAD=x,・・・ZCAD=90°-x,VAE=AD,ZAED=45°+-x,2ZCDE=-x：21・•・ZCDE=一ZBAD2(3)设NBAD=x,ZC=y,VAB=AC,ZC=y,.♦・ZBAC=180°-2y,VZBAD=x,ZDAE=y+—x,/.Z.CDE=Z.AED—Z.C=x.2 21/.ZCDE=-/BAD2【思路引导】(1)根据等腰直角三角形的性质得ZB=ZC=45°,根据角的和差得ZDAE=30°,根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得NAED=75。，最后根据三角形外角的性质，由NCDE=NAED-NC即可求解；(2)设NBAD=x,于是得到/CAD=9(r-x,根据等腰三角形的性质得ZAED=45°+-X,进而根据2三角形外角的性质由ZCDE=ZAED-ZC即可求解；(3)设NBAD=x,ZC=y,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解.25.(7分)(2020八上松北期末)已知在AABC中，AB=AC,射线BM、BN在NABC内部，分别交线段AC于点G、H.【答案】（1）【答案】（1）解：①证明：如图1中,（4分）如图1,若NABC=60°,ZMBN=30°,作AE_LBN于点D,分别交BC、BM于点E、F.①求证：Z1=Z2；②如图2,若BF=2AF,连接CF,求证：BF±CF；（3分）如图3,点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接CF,若NBFE=NBAC=2NCFE,求△AC户VAB=AC,ZABC=60°•二△ABC是等边三角形,.\ZBAC=60°,VAD1BN,・・・NADB=90。,VZMBN=30°,ZBFD=60°=N1+NBAF=N2+/BAF,AZ1=Z2②证明：如图2中,BABF=2DF,VBF=2AF,ABF=AD,VZBAE=ZFBC,AB=BC,AABFC^AADB,:.ZBFC=ZADB=90°,・・・BABF=2DF,VBF=2AF,ABF=AD,VZBAE=ZFBC,AB=BC,AABFC^AADB,:.ZBFC=ZADB=90°,・・・BF_LCF(2)解：在BF上截取BK=AF,连接AK.H在RtABFD中，VZFBD=30°,।***NVZBFE=Z2+ZBAF,ZCFE=Z4+Z1,・・・ZCFB=Z2+Z4+ZBAC,VNBFE=ZBAC=2ZEFC,AZ1+Z4=Z2+Z4AZ1=Z2,VAB=AC,AAABK^CAF,••N3=N4,Saabk=Saafc，VZ1+Z3=Z2+Z3=ZCFE=ZAKB,ZBAC=2ZCEF,JZKAF=Zl+Z3=ZAKF,，AF=FK=BK,••«Saabk=Saafk»与必斯_2SgFC【思路引导】（1）①只要证明N2+/BAF=N1+NBAF=6O。即可解决问题；②只要证明ABFC丝ZXADB,即可推出NBFC=NADB=90。；（2）在BF上截取BK=AF,连接AK.只要证明aABK^CAF,可得Saabk=Saafc,再证明AF=FK=BK,可得Saabk=Saafk,即可解决问题；26.（10分）（2021八上♦淳安期末）如图为AABC外一点，若AC平分NBAD,CEJ_AB于点E,ZB+ZADC=180°,求证：BC=CD；琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F,使得AD=AF,连结CF,先证明AADC丝AAFC得到DC=FC,再证明CB=CF,从而得出结论；宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG,由角平分线的性质得出CG=CE,再证明AGDCg△EBC,从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.（2）（5分）如图②，D、E、F分别是等边AABC的边BC、AB、AC上的点，AD平分NFDE,且NFDE=120°.求证：BE=CF.【答案】⑴解：在AB上取点F,使AF=AD./.ZDAC=ZFAC,VAD=AF,ZDAC=ZFAC,AC=AC(公共边)/.△ADC^AAFC(SAS),；.DC=FC,

NCDA=NCFA,又；NB+NADC=180°,ZCFE+ZAFC=180°,/.ZB=ZCFE,.,.CB=CF,又；DC=FC,/.BC=CD.(2)证明：如图(2),在DE上取点G,使得DG=DF,：AD平分NFDE,且NFDE=120°ZADE=ZADF=60°,AD=AD/.△ADG^AADF(SAS)二AG=AF,ZAGD=ZAFDVZAGD+ZADG+ZGAD=ZAFD+ZADF+ZDAF=180°/.ZAFD+ZAED=180offDZAGD+ZAGE=l80°ZAED=ZAGE/.AG=AE=AF,AAB-AE=AC-AFBE=CF【思路引导】(1)在AB上取点F,使AF=AD,利用角平分线的定义可证得NDAC=/FAC；再利用SAS证明^ADC丝△AFC,利用全等三角形的性质可推出DC=FC；ZCDA=ZCFA,利用补角的性质可知NB=ZCFE,利用等角对等边可证得CB=CF,由此可推出结论.(2)在DE上取点G,使得DG=DF,利用SAS证明aADG^AADF,利用全等三角形的性质可推出AG=AF,NAGD=NAFD；再