人教版高中数学选修2-3全套课件

1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字（0~9）给教室的座位编号，总共编出多少种不同的号码？分类加法计数原理:完成一件事有两类方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法。P2例1P3练习3注：两类不同方案中的方法独立

N=m+n分类加法计数原理问题1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:从甲地到乙地有3类方法,

第一类方法,乘火车，有4种方法;

第二类方法,乘汽车，有2种方法;

第三类方法,乘轮船,有3种方法;

所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。分类加法计数原理:做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。N=m1+m2+…+mn分步乘法计数原理思考：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南分歩加法计数原理:完成一件事有两个步骤,在第一歩有m种不同的方法,做第二歩有n种不同的方法，那么完成这件事共有

N=m×n种不同的方法。课本P4例2

分步乘法计数原理

:做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法。分步乘法计数原理课本P6练习1，2N=m1×m2×…×mn例1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？例2、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例3、一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,（1）可以设置多少种三位数的密码？

(各位上的数字允许重复)（2）首位数字不为0的密码数是多少？（3）首位数字是0的密码数又是多少？例4、现高一4个班学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人，8人，9人，10人，他们自愿组成数学课外活动小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？练习、如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地

解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,

第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以m1=2×3=6种不同的走法;

第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以m2=4×2=8种不同的走法;

所以从甲地到丙地共有N=6+8=14种不同的走法。1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理习题课ＡＵＣＣＵＵＡＡＡＧＧ例1：用0,1,2,3,4,5这六个数字,

(1)可以组成多少个数字无重复的四位数?(2)可以组成多少个数字无重复的四位偶数?排数字问题例题补充例2、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？例题补充染色问题①

⑤②③④变式练习2、

用红、黄、蓝3种颜色给下图中①②③④⑤五个区域涂色，要求相邻两个区域的颜色不同，有多少种不同的涂法？12变式练习1、某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D每一部分只写一种颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有________种．180例3、4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，共有多少种报法？练习、3各班分别从5个景点中选择一处浏览，共有多少种选法？练习、四名研究生各从A、B、C三位教授中选一位作自己的导师，共有______种选法；三名教授各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有_____种选法。43

34

………...ABABm1m1m2m2mnmn点评:我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法原理看成“串联电路”。如图:

变式练习2、将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的5个区域内，要求相邻的颜色都不相同，则有多少种不同的涂法？1.1.1排列的概念及排列数问题1、要从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？一、排列的概念

上午下午甲乙丙丙乙甲乙甲丙相应的排法参加上午的活动的同学选定后，参加下午的活动的同学有2种选法。根据分步计数原理，所求的不同的选法数是N=3×2=6故有6种不同的选法。不同排法如下图所示甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙问题2

从a,b,c,d

这4个字母中,每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？根据分步计数原理，所求的不同的排法数是

4×3×2=24(种）1、排列的概念一般地，从n个不同中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。说明：1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。(m≤n)例1、下列问题中哪些是排列问题？（1）10名学生中抽2名学生开会（2）10名学生中选2名做正、副组长（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除（5）20位同学互通一次电话（6）20位同学互通一封信2、排列数的概念：

从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号表示。问题1可看作甲、乙、丙3取2的排列问题：共3×2=6种方法问题2可看作a,b,c,d中4取3的排列问题：共4×3×2=24种方法探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？呢？呢？······第1位第2位第3位第m位nn-1n-2n-m+13、排列数公式选排列数•···•3•2•1全排列数！简写为选排列数（读作：n的阶乘法）2、解方程：考点一、排列数的计算例1、1、计算练习1.2.2排列的应用例1、

1、某年全国足球甲A联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？课堂练习1、从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有

种不同的种植方法？3、信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有（）2、从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有

种不同的方法？例2、（数字问题）用0-9这10个数字（1）可以组成多少个三位数？（3）可以组成多少个无重复数字的三位奇数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？点评方法：对于特殊元素或特殊位置，通常优先安排.题型一、排数字问题练习、用0，1，2，3，4，5这6个数字（1）能组成多少个无重复数字的六位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（3）能组成多少个比1325大的四位数.题型二、排队问题例3、3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排法种数（1）选5名同学站成一排（2）前排2人，后排3人题型二、排队问题例3、3名男生，4名女生，按照不同的要求排队（5）全体站成一排，若甲、乙必须在两端（3）若甲男生不站排头，也不站排尾（4）甲只能站在排头或排尾，有多少种方法？（6）甲不站在排头，乙不站在排尾，有多少种排法？题型二、排队问题例3、3名男生，4名女生，按照不同的要求排队（7）全体站成一排，男生不相邻（8）全体站成一排，男，女生各不相邻插空法：对于不相邻问题，先将允许相邻的元素排列，然后再进行插入.题型二、排队问题例3、3名男生，4名女生，按照不同的要求排队（9）全体站成一排，男生站在一起（10）全体站成一排，男、女生各站在一起（11）全体站成一排，甲、乙之间必须有2人.捆绑法：对于相邻问题，可以把相邻元素看成一个整体，当成一个元素和其他元素进行排列练习、某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌，3个舞蹈，3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法：

（1）一个唱歌节目开头，另一个末尾；（2）两个唱歌节目不相邻；（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈不相邻.1.2.2第一课时组合的概念及组合数复习问题1：什么叫做排列？排列的特征是什么？问题2：什么叫做排列数？它的计算公式是怎样的？

引例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？问题1、从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙

3从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题2从已知的3

个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题1排列组合有顺序无顺序

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

排列与组合的概念有什么共同点与不同点？

一、组合的相关概念1、组合定义:组合定义:

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”

不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.★组合与排列的区别:1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc

2.已知4个元素a,b,c,d

,写出每次取出两个元素的所有组合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3个)(6个)★理解组合的概念2、组合数的定义

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.

组合数公式:3、组合数公式例1计算：4、组合数公式的计算例2、课本P25练习51.2.2第二课时组合数的应用题型一、简单的组合问题练习、现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.（1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？（2）现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？练习：平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解.题型二、有条件限制的组合问题例4、按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；练习、课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男生、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有一名女生当选;（2）至多两名女生当选；（3）两名队长当选；（4）至少有一名队长当选；1.2.2第二课时排列与组合的综合问题题型三、组合排列混合问题例5、有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数：（1）某女生甲一定担任语文科代表；（2）某男生乙必须包括在内，但不担任数学科代表（3）某女生甲一定要担任语文科代表，某男生乙必须担任科代表，但不担任数学科代表.（4）有女生但人数必须少于男生；有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数：方法：对于排列组合的混合问题：采用分步计数原理先组合，后排列1、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?练习、题型四、分组与分配问题例六、有6本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？（1）分成1本，2本，3本三堆；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）平均分成三堆；（4）平均分给甲、乙、丙三人.高考链接1、四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不为空的放法种数为2、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法____种.解：采用先组后排方法:3.(重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有A.３０种B.９０种C.１８０种D.２７０种补充方法：分类组合,隔板处理例、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?解:采用“隔板法”得:练习、某中学从高中7个班种选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有一人参加的选法有多少种？1、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为

。9随堂练习2、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（）C3、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（）D1.3.1二项式定理（1）二项式定理研究的是的展开式.…(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)探究1、(a+b)4展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？展开后的每一项形式有何提点？（1）形如：（2）x+y需满足：a4a3ba2b2ab3b4都不取b取一个

b

取两个

b

取三个b

取四个b

项系数C40C41C42C43C44(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)探究1、(a+b)4展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？猜想①项：②系数：探究2：请分析的展开过程LL④二项展开式的通项:③第k+1项的二项式系数:①项数：②次数：共有n＋1项各项的次数都等于n

字母a按降幂排列，次数由n递减到0,

字母b按升幂排列，次数由0递增到n

.一、二项式定理题型一、二项式的展开式例1.

用二项式定理展开下列各式：题型二、求某项的二项式系数，系数P31练习2，3，4某项的二项式系数与系数是不同的概念题型三：常数项（即变量的指数为0的项）练习：题型四、二项展开式的逆用1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的

，其中（r=0,1,2,……,n）叫做

，

叫做二项展开式的通项，用Tr+1

表示，该项是指展开式的第

项，展开式共有_____个项.展开式二项式系数r+1n+1二项式定理

前课复习2.系数规律：2.指数规律：（1）各项的次数均为n；（2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0，第二项b的次数由0逐次升到n.1.项数规律：展开式共有n+1个项二项式定理

前课复习1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)61112113311464115101051(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn……表中的每一个数等于它肩上的两数的和一、杨辉三角的规律1.观察二项式系数表（杨辉三角），你发现杨辉三角中的每一行都具有那些特征？性质1：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.2.在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数

相同的项是A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项练习2.在(a＋b)n展开式中，与第k项二项式系数

相同的项是

A.第n-k项B.第n-k-1项

C.第n-k+1项C.第n-k+2项观察杨辉三角11121133114641151010511.增减性？左增右减2.在何处取得最大值？性质2：当n是偶数时，展开式有n+1项（n+1是奇数），中间项二项式系数最大.当n是奇数时，展开式有n+1项（n+1是偶数），中间两项二项式系数最大.2）的展开式中，二项式系数的最大值是

；是第_______项.3）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=

；练习考点一、系数或二项式系数的最值问题练习、在的展开式中，1）求二项式系数最大的项；2）系数的绝对值最大的项是第几项？3）求系数最大的项；4）求系数最小的项。问题1：此展开式二项式系数之和_______________________________.问题2：此展开式系数之和_______________________________.二：求某二项式系数或系数之和（a+x)n的二项式展开各项的系数和求法：只要令自变量为1即可。赋值法求系数和考点二：求二项式展开式二项式系数或系数和.2、（1+2x)3的展开式各项系数之和为多少？1、（1+2x)3的展开式的各项二项式系数之和分别为多少？令x=1,得所求展开式各项系数之和为33=27赋值法求系数和(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数的和的关系。考点二：求二项式展开式二项式系数或系数和2.1归纳推理、类比推理一、推理

根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理.从结构上分前提：结论：已知的事实（或者假设）.由已知判断出的新的判断.推理的一般形式：观察下列数据：

歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋176＝8＝10＝12＝14＝16＝18=…，

一.归纳推理6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5,12＝5+714＝7+7，16＝5+11,18=7+11,…，

例1、观察下列各组数：由上述具体的事实能得出怎样的结论呢？归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出一般结论的推理.即是“由部分到整体，由特殊到一般”的推理例2、（04上海春季高考）观察下列各图中点的个数情况：1234………①②③练习２：如图，用火柴摆成金鱼的图样，是根据前三个推断下第n个金鱼图样需多少根火柴？1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯．2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.二.类比推理类比的角度实数的加法实数的乘法运算结果运算律逆运算单位元加法的逆运算是减法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a乘法的逆运算是除法,使得ax=1(a≠0)有唯一解x=1/a三、类比推理

概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.即是“由特殊到特殊”的推理步骤:(1)找两类对象之间的相似性;(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,得到猜想;(3)检验这个猜想.相似性越多,猜想越可靠.例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．ＡＢＣabcoABCs1s2s3c2=a2+b2S2△ABC=S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC猜想:圆的性质

球的性质球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2球的体积球的表面积在形状上和概念上，都有类似的地方，即具有完美的对称性都是到定点的距离等于定长的点的集合。与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦圆的面积圆的周长（09年中山市高二期末考选择题2）下面几种推理是合情推理的是（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，归纳出所有三角形的内角和都是；（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是

A．（1）（2） B．（1）（3）

C．（1）（2）（4） D．（2）（4）2.1.2演绎推理一、知识回顾:归纳推理是由特殊到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理1.所有的金属都能导电,3.三角函数都是周期函数,所以铜能够导电.因为铜是金属,因为tan三角函数,大前提小前提结论大前提小前提结论情景创设1：观察下列推理有什么特点？所以是tan周期函数从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，称为演绎推理．注：演绎推理是由一般到特殊的推理1.所有的金属都能导电,所以铜能够导电.因为铜是金属,2.三角函数都是周期函数,所以tan是周期函数因为tan是三角函数,大前提小前提结论大前提小前提结论⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断.一、演绎推理的定义:“三段论”是演绎推理的一般模式:M……P（M是P)S……M(S是M)S……P(S是P)大前提---已知的一般原理；小前提---所研究的特殊对象；

结论---据一般原理，对特殊对象做出的判断．从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，称为演绎推理．二、演绎推理的模式MSP若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。所有的金属(M)都能够导电(P)铜(S)是金属(M)铜(S)能够导电(P)M……PS……MS……P用集合的观点来理解:三段论推理的依据题型一、把演绎推理写成三段论（1）平行四边形的对角线互相平分，菱形使平行四边形，所以菱形的对角线相互平分.练习1.把下列推理恢复成完全的三段论:(1)函数y=2x+5的图象是一条直线.例1.证明函数f(x)=－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．

分析：证明本例所依据的大前提是增函数的定义，即函数y＝f(x)满足在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1＜x2，则有f(x1)＜f(x2)．

小前提是f(x)=－x2＋2x，x∈(－∞，1]满足增函数的定义，这是证明本例的关键．(1)指数函数是增函数,是指数函数,是增函数练习2.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因;例2.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.ADECMB

(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900所以△ABD是直角三角形同理△ABE是直角三角形(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线所以DM=1/2AB同理EM=1/2AB所以DM=EM大前提小前提结论大前提小前提结论证明:合情推理与演绎推理的区别1、合情推理归纳推理是由特殊到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理2、演绎推理是由一般到特殊的推理从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，称为演绎推理．2.1.1离散型随机变量问题1：某人射击一次，可能的结果有：命中0环；命中1环；命中2环；……命中10环。0，1，2，……10，问题2：在可能含有次品的100件中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是：含有0个次品；含有1个次品；含有2个次品；含有3个次品；含有4个次品。0，1，2，3，4，

如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.一、随机变量的概念例、若设射击命中的环数为ξ，ξ＝０，表示命中０环；ξ＝2，表示命中１环；

……ξ＝10，表示命中10环；ξ可取０，1，2，…，10.

则ξ是一个随机变量.

ξ的值可一一列举出来

随机变量常用字母Ｘ，Ｙ，ξ、η等表示。二、离散型随机变量离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．例1、指出下列变量中，哪些是随机变量，如果是离散型随机变量，列出所有可能的取值.（1）投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的次数；（2）一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；（3）一袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋中随机取出3只球，被取出的球的最大号码；（4）抛掷两个骰子，所得点数之和.（5）某一自动装置无故障运转的时间．（6）某林场树木最高达30米，此林场树木的高度.2.1.2离散型随机变量的分布列一、离散型随机变量的分布列ξx1x2…xi…pp1p2…pi…称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。则表ξ取每一个值的概率设离散型随机变量ξ可能取的值为1、概率分布（分布列）随机抛掷一枚骰子，用X表示正面向上点数,

列出X的分布列则X126543解：X的取值有1、2、3、4、5、6∴X的分布列为：二、离散型随机变量的分布列的性质

一般地，离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。某一射手射击所得环数的分布列如下：ξ45678910p0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率例1、随机变量X的分布列为解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有X-10123P0.16a/10a2a/50.3（1）求常数a;（2）P(X=1或X=2)

（3）求P(1<X<4)(2)P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=0.12+0.3=0.42解得：（舍）或题型一、分布列性质的运用课堂练习：1、下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量的分布列的是（）A01P0.60.3B012P0.90250.0950.0025C012…nP…D012…nP…B2、设随机变量的分布列如下：4321则的值为

．3、设随机变量的分布列为则的值为

．4、设随机变量的分布列为则（）A、1B、C、D、D对于古典概型，任何事件A的概率为：某厂生产地10件产品中，有8件正品，2件次品，正品与次品在外观上没有区别.从这10件产品中任意抽检2件，计算（1）2件都是正品的概率；（2）一件正品，一件次品的概率；（3）如果抽检的2件产品都是次品；（4）至少有一件次品的概率古典概型的求法解：∴随机变量的分布列为：6543的所有取值为：3、4、5、6．

一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以表示取出球的最大号码，求的分布列．例2：题型二、求离散型随机变量的分布列例3、在掷一枚图钉的随机试验中,令如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1—p)，于是，随机变量X的分布列是：X01P1—pp1、两点分布列如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。两点分布列练习、篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中得概率为0.7，求他一次发球的得分的分布列题型二、求离散型随机变量的分布列例4、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求：（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率.2、超几何分布从含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中含有的次品数记为X，则随机变量X服从超几何分布：例5、设10件产品中，有3件次品，7件正品，先从中抽取5件，求：（1）至少有二件次品的概率；（2）求抽得次品件数X的分布列；（3）抽中次品个数超过2个，记为0分，否则记为

1分，求所得分数的分布列.题型二、求离散型随机变量的分布列例6、从某医院的3名医生，2名护士中随机选派2人参加抗震救灾，设其中的一生人数为X,写出随机变量X的分布列.例7、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和个20白球，这些球除颜色外完全相同。一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖。求中奖的概率。练习、袋中有个5红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分，现从袋中随机摸4个球，求所得分数X的概率分布列。例6：在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生及格的概率。例7：袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取到的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数。（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布；（3）求甲取到白球的概率。例6、从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件的抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出取到合格品为止时所需抽取次数的分布列。（1）每次取出的产品都不放回该产品中；（2）每次取出的产品都立即放回该批产品中，然后再取另一产品。2.2.1条件概率探究：

三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.思考1？

如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？

已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？(1)第三个人去扛水的概率为

;(2)已知第一个人抽签结果不用扛水,则第三个人去扛水的概率为

.1/31/2记:B={第三个人去扛水};A={第一个不用扛水}P(B)=1/3P(B|A)=1/2条件概率的理解P(B|A)表示事件A发生条件下,B发生的概率寓言故事新编：“一个和尚挑水吃，两个和尚抬水吃，三个和尚没水吃”，现在他们学会了团结与合作，为提高效率，三人决定依次抽签选一人去扛水。一、条件概率的概念及公式1、条件概率：一般地，设A,B为两个事件，在事件A发生的条件下，求事件B发生的概率。记作：P(B|A)读作：A发生的条件下B发生的概率2、条件概率P(B|A)的公式？二、条件概率的性质(1)0≤P(B|A)≤1

(2)B、C是互斥事件

P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)例1、在6道题中有4道理科题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题（1）第一次抽到理科题的概率（2）第一次与第二次都抽到理科题的概率（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.考点一、条件概率的计算★概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系练习1、从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次取1张.已知第1次抽到A，求第2次也抽到A的概率.练习2、100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，求第2次抽出正品的概率.厂别甲厂乙厂合计数量等级合格品次品合计练习3、一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：（1）从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是_________；（2）在已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是_________；例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。变式（3）、如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过3次就按对的概率。变式：抛掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，求至少有一个是6点的概率？练习4、抛掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问：掷出点数之和大于等于10的概率。2.2.2事件的相互独立性探究：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回的抽取，事件A:“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B：”最后一名同学抽到中奖奖券”，求（1）P(B);(2)P(B|A).1、事件的相互独立性一、相互独立事件的概念设A，B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。即事件A是否发生,对事件B发生的(即事件B是否发生,对事件A发生的)概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。注：如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是相互独立的互斥事件相互独立事件

概念

符号

计算公式不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.P(A∪B)=P(A)+P(B)P（AB）=P（A)P（B）

互斥事件A、B中有一个发生，记作

A+B或(A∪B))相互独立事件A、B同时发生记作

AB区分互斥事件与相互独立事件判断事件下列事件是否为互斥,互独事件?（1）袋中有4个白球,3个黑球,从袋中依次取2球.事件A:“第一次取出的是白球”.把取出的球放回盒中，事件B:“第二次取出的是白球”

（3）袋中有4个白球,3个黑球,从袋中取出1球.

事件A为“取出的是白球”；事件B为“取出的是黑球”.

题型一、事件相互独立性的判断（2）袋中有4个白球,3个黑球,从袋中依次取2球.事件A:“第一次取出的是白球”.取出的球不放回盒中，事件B:“第二次取出的是白球”

练习、课本P55T1题型二、相互独立事件同时发生的概率例1、某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码；（2）恰好第二次抽到指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码。练习、课本P55T2，3事件A、B相互独立P（AB）=P（A）P（B）(1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有1个人译出密码的概率；(4)至多1个人译出密码的概率；(5)至少1个人译出密码的概率.例2.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为,,求事件意义例3

某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为事件A、B、C相互独立P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

（1）求恰有一名同学当选的概率；（2）求至多有一名同学当选的概率。题型三、已知独立事件同时发生的概率，求各事件发生的概率例5

甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为。（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率。练习：设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.（1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少？（2）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率。2.2.3独立重复试验与二项分布复习引入分析下面的试验，它们有什么共同特点？（1）投掷一个骰子（或硬币）次;（2）某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次;（3）一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球），有放回地依次从中抽取5个球;（4）生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件.一、n次独立重复试验的基本概念2、独立重复试验的特点：1）每次试验只有两种结果，要么事件A发生，要么A不发生；2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。1、n次独立重复试验的定义：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复实验二、探究独立重复试验的概率投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？出现k（0≤k≤3）次正面向上的概率又该如何求呢？1、二项分布：

一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p为成功概率。注:

展开式中的第项.

三、二项分布的概念题型一、求n次试验中恰有k次发生的概率例1、已知一个射手每次击中目标的概率为0.6，求他在4次射击中下列事件发生的概率.（1）恰好在第三次命中目标.（2）刚好在第二、第三次击中目标；（3）命中一次；（4）命中两次；例2、某气象站天气预报的准确率为80%，计算:（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率。对于至多、至少的问题，通常涉及到求互斥事件的概率题型二、二项分布、独立事件、互斥事件的综合运用至多、至少问题时涉及到求对立事件的概率练习1、某射手在10次射击中射中次数X～(10,0.8)（1）求P(X=8)（2）求P(X≥8)练习2、二项分布的逆用（1）在4次独立重复试验中，事件出现的概率相同，事件A至少出现一次的概率为65/81，则事件A在一次试验中中出现的概率为_________.（2）如果每门炮的命中率都是0.6,1)10门炮同时向目标各发射一发炮弹，求目标被击中的概率；

2)要保证击中目标的概率大于0.99,至少需多少门炮同时发射?例3、（05，北京）甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：（1）甲恰好击中目标2次的概率；（2）乙至少击中目标2次的概率；（3）乙恰好比甲多击中目标2次的概率；（4）甲、乙两人共击中5次的概率。例4、某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行，比赛采用五局三胜制，即哪个球队先胜三场即可获得总冠军，已知每一场比赛中甲队获胜的概率是0.6，乙对获胜的概率是0.4。（1）甲队以3:0获胜的概率；（2）甲队以3:1获胜的概率；（3）甲队以3:2获胜的概率；（4）甲队获得总冠军的概率.题型三、独立重复试验的分布列例4、一名学生骑自行车上学，从他家道学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1/3，设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列.练习3、在100件产品中有4件次品.②从中一次取出4件产品,则恰有2件是次品概率为

;

若记出现次品的件数为X，则X服从的分布是_______③从中有放回的抽4次,每次1件,则恰有2件是次品概率为

;

若记出现次品的件数为X，则X服从的分布是_____2.2.1直接法证明（一）：综合法演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2

≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:变式1：

从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)

用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…特点:“由因导果”一、直接证明法：综合法例2、在ΔABC中，三个内角A,B,C对应的边分别是a,b,c，且A,B,C成等差数列，

a,b,c成等比数列。求证：ΔABC是等边三角形。【分析】条件是什么？A,B,C成等差数列2B=A+Ca,b,c成等比数列b2=ac练习、课本P89：第1题练习、课本P91：B组第2题2.2.1直接法证明（二）：分析法例1.求证：.所以为了证明只需证即证即证即证即证

从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立格式例:证明：二、直接证明法（二）：分析法练习1：P89：T2得到一个明显成立的结论…也可以是经过证明的结论练习3：P89：T32.2.2间接法证明：反证法复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论已知条件引例、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.证明:假设____________那么_________因为已知_________这与“_____________”矛盾.所以假设不成立、即求证的命题正确l1l2l3Pl3与l2不相交.l3∥l2l1∥l2

相交于点P.所以l3∥l1假设结论不成立推出矛盾假设不成立，原命题成立证明：假设李子是甜的因为李子长在路边，所以李子早就没了（与李子有很多矛盾）所以李子是苦的（1）否定结论（2）推出矛盾（3）假设不成立（原结论成立）用反证法证明命题的过程用框图表示为：条件不变否定结论导致逻辑矛盾反设不成立结论成立

把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法.一、间接法证明的概念例1.求证：是无理数.P91练习1,2练习、不可能成等差数列例2.

已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。证：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,

是唯一性问题,常用反证法

```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2

（x1≠x2)是方程的两个根.例3：已知x>0,y>0，x+y>2，求证：中至少有一个小于2。分析：所谓至少有一个,就是有1个或多个,要证“至少有一个”成立的反面“所有都”不成立.注:“至少”、“至多”型命题常用反证法（1）直接证明有困难正难则反!归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”

（3）唯一性命题（2）否定性命题（4）至多，至少型命题“非”命题对常见的几个正面词语的否定.正面=>是都是至多有一个至少有一个任意的所有的否定≠≤不是不都是至少有两个没有一个某个某些练习、A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？分析:假设C没有撒谎,则A、B都撒谎.由A撒谎,知B没有撒谎.那么假设C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.这与B撒谎矛盾.思考？2.3数学归纳法引例一、多米诺骨牌游戏思考，所有多米诺牌全部倒下的条件？（1）第一块骨牌倒下（2）第k张骨牌倒时保证第k+1张骨牌也倒引例二、多米诺骨牌游戏原理

数学归纳法证明步骤（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时猜想成立。（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下。根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立。——利用类比,规范步骤(2)假设n=k,时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立一、数学归纳法的概念及步骤证明某些与正整数有关的命题,可用下列方法来证明:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立(2)假设当n=k(kN*

，kn0)时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立。【归纳奠基】【归纳递推】例1:用数学归纳法证明注意1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明考点一、用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明

1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

练习1

证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝则当n=k+1时，

+＝=∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。

=1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立这就是说当时等式成立，所以时等式成立.思考1：下列推证是否正确，并指出原因.用数学归纳法证明：证明：假设时，等式成立，就是那么思考2：下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?(1)当n=1时,左边=,右边=(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立，那么n=k+1时,

即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.

=右边,左边思考3：下列证法对吗？用数学归纳法证（n∈N+):1+2+3+…+2n=n(2n+1)证明：1)左边=1=…