垂径定理练习题汇总

垂径定理练习题汇总垂径定理练习题汇总垂径定理练习题汇总垂径定理练习题汇总一．选择题（共

7小题）1．（2014?凉山州）已知⊙O的直径的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为A．cmB．cmC．

CD=10cm，AB是⊙OM，则AC的长为（cm或D．cm或cmcm

）2．（2014?舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2B．4C．6D．83．（2014?毕节地区）如图，已知⊙长为24，则点O到AB的距离是（

O的半径为）

13，弦

ABA．6B．5C．4D．34．（2014?三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则以下结论正确的选项是（）A．OE=BEB．=C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形5．（2014?南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油今后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cmB．60cmC．80cmD．100cm6．（2014?安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B．1C．2D．27．（2014?沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（4，5）C．（5，3）D．（3，5）二．解答题（共7小题）8．（2014?佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．9．（2014?盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，1）求AB的长；2）求⊙O的半径．10．（2009?长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．1）求证：OC=OF；2）求证：AB=DE．11．（2009?浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少许的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．1）求此时的水深（即暗影部分的弓形高）；2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．12．（2008?长宁区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．1）求证：四边形AEOF为菱形；2）若BO均分∠ABC，求证：BE=BC．13．（2007?佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．14．（2007?青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．参照答案与试题分析一．选择题（共7小题）1．（2014?凉山州）已知⊙O的直径的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为A．cmB．cmC．

CD=10cm，AB是⊙OM，则AC的长为（cm或D．cm或

）cm

cm考垂径定理；勾股定理．点：专分类谈论．题：分先依据题意画出图形，因为点C的地址不可以确立，故应析：分两种状况进行谈论．解解：连接AC，AO，答：∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点地址如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点地址如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．应选：C．点此题观察的是垂径定理，依据题意作出辅助线，构造出评：直角三角形是解答此题的要点．2．（2014?舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2B．4C．6D．8考垂径定理；勾股定理．点：专计算题．题：分依据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE析：中，由勾股定理得BE，依据垂径定理得出AB的长．解解：∵CE=2，DE=8，答：∴OB=5，OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，AB=2BE=8．应选：D．点此题观察了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练评：掌握．3．（2014?毕节地区）如图，已知⊙长为24，则点O到AB的距离是（

O的半径为）

13，弦

ABA．6B．5C．4D．3考垂径定理；勾股定理．点：分过O作OC⊥AB于C，依据垂径定理求出析：股定理求出OC即可．解解：过O作OC⊥AB于C，答：∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC=应选：B．

AC，依据勾=5．点此题观察了垂径定理和勾股定理的应用，要点是求出评：OC的长．4．（2014?三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则以下结论正确的选项是（）A．OE=BEC．△BOC

是等边三角形

B．=D．四边形

ODBC

是菱形考垂径定理．点：分依据垂径定理判断即可．析：解解：∵AB⊥CD，AB过O，答：∴DE=CE，=，依据已知不可以推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．应选：B．点此题观察了垂径定理的应用，主要观察学生的推理能力评：和辨析能力．5．（2014?南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油今后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cmB．60cmC．80cmD．100cm考垂径定理的应用；勾股定理．点：分连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径析：定理求出AM的长，再依据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．解解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，答：∵直径为200cm，AB=160cm，OA=OE=100cm，AM=80cm，∴OM===60cm，∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．应选：A．点此题观察的是垂径定理的应用，依据题意作出辅助线，评：构造出直角三角形是解答此题的要点．6．（2014?安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．．C．2D．2B1考轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．点：分作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、析：AB′，依据轴对称确立最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，依据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出AON=60°，而后求出∠BON=30°，再依据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，而后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再依据等腰直角三角形的性质可得AB′=OA，即为PA+PB的最小值．解解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、答：OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=∠AON=×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=OA=×1=，即PA+PB的最小值=．应选：A．点此题观察了轴对称确立最短路线问题，在同圆或等圆中，评：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并获取△AOB′是等腰直角三角形是解题的要点．7．（2014?沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（4，5）C．（5，3）D．（3，5）考坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．点：专压轴题．题：分因为点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，析：0）两点，与y轴相切于点D，因此OB=2，OC=8，BC=6，连接AD，则AD⊥OD，过点A作AE⊥OC于E，则ODAE是矩形，由垂径定理可知BE=EC=3，因此OE=AD=5，再连接AB，则AB=AD=5，利用勾股定理可求出AE=4，从而就求出了A的坐标．解解：连接AD，AB，AC，再过点A作AE⊥OC于E，答：则ODAE是矩形，∵点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，OB=2，OC=8，BC=6，∵⊙A与y轴相切于点D，AD⊥OD，∵由垂径定理可知：BE=EC=3，OE=AD=5，AB=AD=5，利用勾股定理知AE=4，∴A（5，4）．应选A．点此题需综合利用垂径定理、勾股定理来解决问题．评：二．解答题（共7小题）8．（2014?佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．考垂径定理；勾股定理．点：专几何图形问题．题：分过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知析：AE=BE=AB，再依据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．解解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，答：∵AB=8cm，∴AE=BE=AB=×8=4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB=×10=5cm，∴OE===3cm，∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．点此题观察的是垂径定理，依据题意作出辅助线，构造出评：直角三角形是解答此题的要点．9．（2014?盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，1）求AB的长；2）求⊙O的半径．考垂径定理；等边三角形的判断与性质．点：分（1）先依据CD为⊙O的直径，CD⊥AB得出=，故析：可得出∠C=∠AOD，由对顶角相等得出∠AOD=∠COE，故可得出∠C=∠COE，再依据AO⊥BC可知∠AEC=90°，故∠C=30°，再由直角三角形的性质可得出BF的长，从而得出结论；（2）在Rt△OCE中依据∠C=30°即可得出OC的长．解解：（1）∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，答：∴=，AF=BF，∴∠C=∠AOD，∵∠AOD=∠COE，∴∠C=∠COE，∵AO⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠C=30°，BC=2，∴BF=BC=，∴AB=2BF=2；2）∵AO⊥BC，BC=2，∴CE=BE=BC=，∵∠C=30°，∴OC===2，即⊙O的半径是2．点此题观察的是垂径定理，熟知“均分弦的直径均分这条评：弦，而且均分弦所对的两条弧”是解答此题的要点．10．（2009?长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．1）求证：OC=OF；2）求证：AB=DE．考垂径定理；全等三角形的判断．点：专证明题．题：分（1）、由同角的余角相等可得，∠DFO=∠OCA，由AAS析：证得△ACO≌△DFO，故有OF=OC；2）、证得∠DOE=∠AOB，再由SAS获取△OAB≌△ODE?AB=DE．解证明：（1）∵∠D+∠DCA=∠D+∠DFO=90°，答：∴∠DFO=∠OAC．又∵OD=OA，∠DOF=∠AOC=90°，∴△ACO≌△DFO．∴OF=OC．2）连接OB、OE，∵OE=OD，OA=OB，∴∠D=∠E，∠A=∠B．∴∠DOE=180°﹣2∠D，∠AOB=180°﹣2∠A．由1知，△ACO≌△DFO，有∠A=∠D．∴∠DOE=∠AOB．又∵OE=OD=OA=OB，∴△OAB≌△ODE．∴AB=DE．点此题利用了同角的余角相等，全等三角形的判断和性质，评：等边同等角求解．11．（2009?浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少许的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．1）求此时的水深（即暗影部分的弓形高）；2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．考垂径定理的应用．点：分作半径OC⊥AB，连接OA，则CD即为弓形高．依据析：垂径定理的AD=AB，而后依据已知条件求出CD的长；当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN订交于点P，由此可得OP=0.3，而后依据MN与AB在圆心同侧或异侧时两种状况解答．解解：（1）作半径OC⊥AB，垂足为点D，连接OA，则答：CD即为弓形高∵OC⊥AB，∴AO=0.5，AB=0.6，∴AD=AB=×0.6=0.3，∴OD===0.4，∴CD=OC﹣OD=0.5﹣0.4=0.1米，即此时的水深为0.1米（2）当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN订交于点P同理可得OP=0.3，当MN与AB在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；当MN与AB在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7米．点此题观察垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．评：12．（2008?长宁区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．1）求证：四边形AEOF为菱形；2）若BO均分∠ABC，求证：BE=BC．考菱形的判断；平行线的判断与性质；角均分线的性质；点：等腰三角形的性质；勾股定理；圆的认识；垂径定理．专证明题．题：分（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQ⊥AB析：于Q，连接OC，依据等腰三角形的性质证出∠BAC=∠ABO=∠ACO，推出∠BAC=∠OEB=∠OFC，得出AE∥OF，AF∥OE，再OE=OF，即可推出答案；2）依据角均分线定理求出OQ=OM，依据勾股定理求出BQ=BM，依据垂径定理即可推出结论．解证明：（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作答：OQ⊥AB于Q，OR⊥AC于R，连接OC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABO=∠ACO，∵∠BAC=∠ABO，∴∠BAC=∠ABO=∠ACO，∵OE=OB，OC=OF，∴∠ABO=∠OEB，∠ACO=∠OFC，∴∠BAC=∠OEB=∠OFC，∴AE∥OF，AF∥OE，∴四边形AEOF是平行四边形，∵OE=OF，∴平行四边形AEOF为菱形．（2）∵圆O过B、C，∴O在BC的垂直均分线上，∵AB=AC，∴AM⊥BC，∵BO均分∠ABC，OQ⊥AB，∴OQ=OM，∴由勾股定理得：BM=BQ，由垂径定理得：BE=BC．点此题主要观察对勾股定理，等腰三角形的判断，菱形的评：判断，垂径定理，圆的认识，角均分线的性质，平行线的性质和判断等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的