名校试卷12高三数学一模试卷理含详解

高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．设会合A={x|x2≤7}，Z为整数集，则会合A∩Z中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．62．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设x∈R，向量，且，则=（）A．B．C．10D．4．高三学生在新的学期里，刚才搬入新教室，跟着楼层的高升，上下楼耗资的精力增加，所以不满意度高升，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清爽，喧闹音较小，环境较为寂静，所以随教室所在楼层高升，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们以为最适合的教室应在（）A．2楼B．3楼C．4楼D．8楼5．函数的值域为（）A．B．C．[﹣2，2]D．[﹣1，1]6．以下图的程序框图，若f（x）=logπx，g（x）=lnx，输入x=2016，则输出的h（x）=（）A．2016B．2017C．logπ2016D．ln20167．在△ABC中，A，B，C所的分是a，b，c，A=，且bcosC=3ccosB，的（）A．B．C．D．8fxf′xxf′xfxf22，不）成立，若）．函数（）的函数（），?∈R，都有（）＞（（等式f（x）＞ex的解是（）A．（2，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，ln2）9．某几何体的三如所示，几何体的表面（）A．50B．50.5C．51.5D．6010．用半径R的皮剪一个内接矩形，再之内接矩形的两分作柱的高与底面半径，柱的体最大，皮面与其内接矩形的面比（）A．B．C．D．11．双曲=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，点F作与x垂直的直l交两近于A，B两点，且与双曲在第一象限的交点P，O坐原点，若=λ+μλμλμ=，双曲的离心率（）（，∈R），A．B．C．3D．212．于函数f（x）=，f2（x）=f[f（x）]，f3（x）=f[f2（x）]，⋯，fn+1（x）=n*，且n≥2），令会合M={x|f（x）=x，x∈R}，会合M（）f[f（x）]（n∈N2036A．空集B．数集C．元素集D．二元素集二、填空：本大共4小，每小5分，分20分13．抛物y2=2x的焦点坐是，准方程是．14．某几何体的三如所示（位：cm），几何体的表面是cm2，体是cm3．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=2，C=，tanA=，则sinA=，b=．16．已知等差数列{a}的公差为d，等比数列{b}的公比为q，设{a}，{b}的前n项和分别nnnn为Snn，若*，则d=，q=．，T，n∈N三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=2b﹣c）cosA．1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．18．（12分）数列{an}知足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设bn=3n?，求数列{bn}的前n项和Sn．19．（12分）某中学举行了一次“环保知识比赛”活动．为了认识本次比赛学生成绩状况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．依据[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频次散布直方图，并作出样安分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频次散布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选用的样本中，从比赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的散布列及其数学希望．20．（12分）设椭圆E的方程为+y2=1（a＞1），O为坐标原点，直线l与椭圆E交于点A，B，M为线段AB的中点．（1）若A，B分别为E的左极点和上极点，且OM的斜率为﹣，求E的标准方程；（2）若a=2，且|OM|=1，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知函数2x﹣lnx﹣ax．f（x）=xe1）当a=0时，求函数f（x）在[，1]上的最小值；2）若?x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；（3）若?x＞0，不等式f（）﹣1≥e+恒成立，求a的取值范围．请考生在

22，23

两题中任选一题作答．假如都做，则按第一题记分．[选修

4-4：坐标系与参数方程

]22．（10分）在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，

x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C订交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的一般方程；（2）若|AB|=2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|+5x．1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．参照答案一、选择题1．C【分析】∵会合A={x|x2≤7}={x|﹣}，Z为整数集，∴会合A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴会合A∩Z中元素的个数是5个．应选：C．2．B【分析】==，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．应选：B．3．A【分析】向量，且，∴x﹣2=0，解得x=2，∴==，应选：A．4．B【分析】由题意知同学们总的不满意度y=n+≥2=4，当且仅当n=，即2≈3时，不满意度最小，∴同学们以为最适合的教室应在3楼．应选：B．5．D【分析】∵f（x）=sinx﹣cos（x﹣）=sinx﹣cosx﹣sinx=sinx﹣cosx=sin（x﹣）．∴函数f（x）=sinx﹣cos（x﹣）的值域为[﹣1，1]．应选：D．6．C【分析】x=2016时，f（x）=logπ2016＜g（x）=ln2016，故h（x）=f（x），应选：C．7．B【分析】△ABC中，A=，且bcosC=3ccosB，∴b×=3c×，即a2=2b2﹣2c2；又cosA==﹣，b2+c2﹣a2+bc=0，3c2﹣b2+bc=0，即﹣（）2++3=0，解得=或（不合题意，舍去），即的值为．应选：B．8．A【分析】∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，则有g（x）在R上单一递加，∵不等式f（x）＞ex，g（x）＞1，∵f（2）=e2，∴g（2）==1，x＞2，应选：A．9．D【分析】由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+（5+2）×4+（5+2）×5+3×5=60．应选：D．10．C【分析】设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2，∴圆柱的体积V（X）=πy2x==π（﹣x3+4R2x），（0＜x＜2R），∴V′（x）=π（﹣3x2+4R2），列表以下：x（0，）（，2R）V′（x）+0﹣∴当x=时，此圆柱体积最大．∴圆柱体体积最大时，该圆内接矩形的两条边长分别为和2=，∴圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为：．应选：C．11．D【分析】双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），由于=λ+μ，所以（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），所以λ+μ=1，λ﹣μ=，解得：λ=，μ=，又由λμ=，得：，解得=，所以，e=2．应选：D12．B【分析】∵f（x）==1﹣，∴f2（x）=1﹣=﹣，f3（x）=，f4（x）=x，f5（x）=f（x）=，fn（x）是以4为周期，∴f2036（x）=f4（x）=x，∴会合M={x|f2036（x）=x，x∈R}=R．应选：B．二、填空题13．（，0）x=﹣【分析】抛物线y2=2x的焦点坐标是（，0）；准线方程是：x=﹣．故答案为：（，0）；x=﹣．14．20+48【分析】由三视图作出原图形以下图，原几何体为底面是边长为2cm、4cm的直角三角形，高为2cm的直三棱柱；其表面积为S=2××2×4+4×2+2×2+2×=20+4cm2；体积为V=×4×2×2=8cm3．故答案为：，8．15．4+【分析】∵tanA=，可得：cos2A==，又∵A∈（0，π），∴sinA==，a=2，C=，∴c==5，∴由余弦定理222﹣2abcosC，可得：c=a+b整理可得：b2﹣2b﹣13=0，∴解得：b=4+，或4（舍去），

5222﹣2×，=（2）+b故答案为：，4+．16．22【分析】由，得b1+1=2a1，b1+b1q+1=2a1+d，，．联立以上各式解得：d=q=2．故答案为：2，2．三、解答题17．解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，从而可得，，即sinB=2sinBcosA，又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是，又A亦为三角形内角，所以，．（Ⅱ）∵，=，=，由可知，，所以，从而，所以，，故的取值范围为．18．证明:（Ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1），∴，∴，∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，bn=3n?=n?3n，∴?3n﹣1+n?3n①nn+1?3+n?3②①﹣②得nn+13﹣n?3==∴19．解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则，，．所以，ξ的散布列为ξ123P所以，．20．解：（1）设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，得，即，又，代入化简，解得a=2，故E的标准方程为；2）设直线l：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），∴，整理得：（4+m2）y2+3mny+n2﹣4=0①y1+y2=﹣，y1?y2=，x1+x2=，由中点坐标公式可知：M（，），即M（，﹣）|OM|=1，∴n2=②，设直线l与x轴的交点为D（n，0），则，令，设t=m2+4（t≥4），则

，当t=12时，即

时，△

AOB

的面积获得最大值

121．解：（

1）a=0

时，f（x）=xe2x﹣lnx，∴

，

，∴函数

f′（x）在（

0，+∞）上是增函数，又函数f′（x）的值域为R，故?x0，使得f′x0）=2x﹣=0，0＞（（0+1）e又∵，∴，∴当x∈[]时，f′（x）＞0，即函数f（x）在区间[，1]上递加，∴．（2），由（1）知函数f′（x）在（0，+∞）上是增函数，且?x0＞0，使得f′（x0）=0，从而函数f（x）在区间（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递加，lnx0﹣ax0，由f′（x0）=0，得：（2x0+1）e﹣﹣a=0，∴，∴f（x0）=1﹣lnx0﹣2x02，∵?x0fx1恒成立，＞，不等式（）≥∴12e2≤0，﹣lnx0﹣2x0≥1，∴lnx0+2x0设h（x0）=lnx0+2xe，则h（x0）为增函数，且有独一零点，设为t，则h（t）=lnt+2t2e2t=0，则﹣lnt=2t2e2t，即，令g（x）=xex，则g（x）单一递加，且g（2t）=g（），则2t=ln，即，∵a=（2x0+1）﹣在（0，t]为增函数，则当x0=t时，a有最大值，=，∴a≤2，∴a的取值范围是（﹣∞，2]．（3）由f（）﹣1≥，得，∴xlnx﹣x﹣a≥，∴a对随意x＞0成立，令函数g（x）=xlnx﹣x﹣，∴，当x＞1时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，∴当x=1时，函数g（x）获得最小值g（1）=﹣1﹣=﹣1﹣，∴a≤﹣1﹣．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1﹣）．22．解：（1）曲线C的极坐标方程为222ρsinθ=2acosθ（a＞0）可得ρsinθ=2aρcosθ．可得：曲线C的一般方程为：y2=2ax；直线l的参数方程为（t为参数），一般方程为x﹣y﹣2=0；2）直线与曲线联立可得y2﹣2ay﹣4a=0，∵|AB|=2，∴=2，解得a=﹣5或1．23．解：（1）当a=﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，故|x+1|≤3，故﹣4≤x