高考复数知识点精华总结

高考复数知识点精华总结高考复数知识点精华总结高考复数知识点精华总结xxx公司高考复数知识点精华总结文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度复数1．复数的概念：（1）虚数单位i；（2）复数的代数形式z=a+bi，(a,b∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2．复数集3．复数a+bi(a,b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；（4）除法：；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（6）特殊复数的运算：①(n为整数)的周期性运算；②(1±i)2=±2i；③若ω=-+i，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi，则，为实数，为纯虚数(b≠0).（2）复数z=a+bi的模|Z|=,且=a2+b2.6.根据两个复数相等的定义，设a,b,c,d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di.由这个定义得到a+bi=0.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。4．复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=－1结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(a－bi)=a2+b26．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即.7．复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。（二）典型例题讲解1．复数的概念例1．实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）对应的点Z在第三象限解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，∴（1）m=1时，z是实数；（2）m≠1时，z是虚数；（3）当时，即m=－1时，z是纯虚数；（4）当时，即m<－1时，z对应的点Z在第三象限。例2．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,y∈R，求x,y.解：根据复数相等的意义，得方程组，得x=,y=4.例4．当m为何实数时，复数z＝+(m2+3m－10)i；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．（1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即，解得m=2，∴m=2时，z为实数。（2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即，解得m≠2且m≠±5.当m≠2且m≠±5时，z为虚数．，解得m=－,∴当m=－时，z为纯虚数．诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．例5．计算：i＋i2＋i3+……+i2005.解：此题主要考查in的周期性．i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+(i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i＝0＋0＋……＋0+i＝i.或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：本题应抓住in的周期及合理分组．例8．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝.解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10,且虚数不能比较大小，∴，解得，∴m=3.当m＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。例9．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且，求z．解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．∵，∴，∴，解得或,∴z＝2＋i或z＝1＋2i．诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）例10．已知x为纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，求x、y的值．解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法．设x＝ti(t∈R，且t≠0），则2x－1＋i＝y－(3－y)i可化为2ti－1＋i＝y－(3－y)i，即(2t＋1)i－1=y－(3－y)i，∴,∴y=－1,t=－,∴x=－i.2．复数的四则运算例1．计算：（1），n∈N+；（2）若ω=－+i，ω3=1，计算；（3）；（4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99.解：（1）==.（2）==－2.（3）由于,,∴==8.（4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99)=(1+2i－3－4i)+(5+6i－7－8i)+……+(97+98i－99－100i)=25(－2－2i)=－50－50i.例2．已知复数z满足|z－2|=2，z+∈R，求z.解：设z=x+yi,x,y∈R，则z+=z+，∵z+∈R，∴=0，又|z－2|=2,∴(x－2)2+y2=4,联立解得，当y=0时,x=4或x=0(舍去x=0,因此时z=0)，当y≠0时,,z=1±,∴综上所得z1=4，z2=1+i，z3=1－i.例3．设z为虚数，求证：z+为实数的充要条件是|z|=1.证明：设z=a+bi(a,b∈R，b≠0)，于是z+=(a+bi)+,所以b≠0,(z+)∈Rb－=0a2+b2=1|z|=1.例4．复数z满足(z+1)(+1)=||2，且为纯虚数，求z.解：设z=x+yi(x,y∈R)，则(z+1)(+1)=||2+z++1=||2，∴z++1=0，z+=－1，x=－.==为纯虚数，∴x2+y2－1=0,y=±,∴z=－+i或z=－－i.例5．复数z满足(1+2i)z+(3－10i)=4－34i，求z.解：设z=x+yi(x,y∈R)，则(1+2i)(x+yi)+(3－10i)(x－yi)=4－34i，整理得(4x－12y)－(8x+2y)i=4－34i.∴,解得,∴z=4+i.例6．设z是虚数，ω=z+是实数，且－1<ω<2，（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=，求证u为纯虚数；（3）求ω－u2的最小值。解：（1）设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，则ω=，由于ω是实数且b≠0，∴a2+b2=1，即|z|=1，由ω=2a,－1<ω<2,∴z的实部a的的取值范围是(－,1).（2）u==，由于a∈(－,1),b≠0，∴u是纯