高中数学最新-高二数学最小二乘法精品

1.9最小二乘法一、教学目标：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。二、教学重难点：重点：了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解教学实施过程中的难点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。三、教学方法：动手操作，合作交流。四、教学过程：（一）、利用最小二乘法推导回归系数公式。回顾上节课：师：我们现在来求距离和。怎么求？生：利用点到直线的距离公式师生共同：只要求出使距离和最小的a、匕即可。但是，我们知道点到直线的距离公式计算复杂。怎么办呢？以样本数据点A为例，可以看出：在RTAABC中，（教师动画演示）按照一对一的关系，直角边AC越小，斜边48越小,当AC无限小时，AB跟AC可近似看作相等。求|AC|麻烦，不妨求|AB性：|AB|师：它表示自变量X取值一定时，纵坐标的偏差。假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：（x1,y1）（x2,y2） （、咒）。当自变量X取Xi（i=1，2，，n）时，可以得到丫bxa（i=1，2，，

in），它与实际收集到的\之间的偏差是,,n)yyy (bxa)(i=1,2,,n)iiii这样用9个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为n(yyin(yyii1）,偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值n|y.y」，由于带绝对值计算不方便所以换成平方，Qn2(yy)(ybxa)方便所以换成平方，Qn2(yy)(ybxa)2(ybxa)2(ybxa)2(ybxa)2现在的问题就归结为：当a,b取什么值时Q最小。将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值时(ybx)n(x.i1x)2b(x.n2x)(y.(ybx)n(x.i1x)2b(x.n2x)(y.y)n 2(x.x)(y.y)TT (x.x)2(x.x)2n(y.y)2i1(x.nx)(y._i1

ybxnx.y.nxy n 2x2nx2i1一1(其中x-nx♦，ii11ny）推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”nii1最小的方法叫“最小二乘法”。设计意图：培养学生的动手操作能力，最小二乘法的思想是本节课的教学难点，先让学生动手操作画回归直线，教师动画演示，进一步演绎推理来分解难点、突破难点（二）、直线回归方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量乂）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。

（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中no2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。应用直线回归的注意事项：（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前,最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延。（四）、实例分析：解：设线性回归模型直线方程为：Y某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（X1与公司所获得利润（丫1解：设线性回归模型直线方程为：Y年份科研费用支出利润1998531199911402000430200153420023252003220合计30180科研费用支出01与利润（丫1统计表单位：万元要求估计利润（丫1对科研费用支出（1）的线性回归模型。305i0 1%因为：n6 5年份XiYiXY.X,XiXy.y(XiX)2(XiX)YiY)根据资料列表计算如下表:YYi18030n6

1998531155250100199911404401216103660200043012016-101020015341702504002002325759-2-54102003220404-3-10930合计3018010002000050100现利用公式（I）、（II)、(III)求解参数0、1的估计值：nXYXY1nX2 (X)2TOC\o"1-5"\h\zi i61000301806200302600054001200900 _600 0Y1300 30252 20YX013025YX01302520YX013025200 1XY nXY kj X2n(X)2i10006530200652100而YX0 1(XX)YY) i i 1(XX)2i100502所以：利润（YJ对科研费用支出（X1的线性回归模型直线方程为：Y202X.求直线回归方程，相关系数和作图,这些EXCEL可以方便地做到。仍以上题的数据为例。于EXCEL表中的空白区，选用〃插入〃菜单命令中的〃图表〃，选中XY散点图类型，在弹出的图表向导中按向导的要求一步一步地操作，如有错误可以返回去重来或在以后修改。适当修饰图的大小、纵横比例、字体大小、和图符的大小等，使图美观，最后得到图1，图中有直线称为趋势线，还有直线方程和相关系数。图中的每一个部份如坐标、标题、图例等都可以分别修饰，这里主要介绍趋势线和直线方程。图1散点图鼠标右键点击图中的数据点，出现一个对话框，选〃添加趋势线〃，图中自动画上一条直线，再以鼠标右击此线，出现趋势线格式对话框，选择线条的粗细和颜色，在选项中选取显示公式和显示区平方值，确定后即在图中显示回归方程和相