二项式定理讲义-高三数学一轮复习专题

高三数学第一轮复习专题二项式定理一、二项式定理：例。分析：是2个相乘，每个在相乘时有两种选择：选或选，且每个中的都选定后，才能得到展开式的一项。由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，的展开式共有项。对于，可以这样分析：（按的个数分类）①每个括号都不选，有个，即只有1个；②两个括号恰有1个选，有个，即系数为；③两个括号恰有2个选，有个，即系数为。即同理：这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，它共有项，其中各项的系数叫做二项式系数。叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：理解三点：①共项；②各项系数叫二项式系数；③通项为第项。在二项式定理中，如果设，则得到公式：例1。求的展开式。解：。例2。（1）求的展开式的第4项的系数；（2）求的展开式的的系数。解：（1）展开式的第4项是：展开式第4项的系数是280。（2）的展开式的通项是：令的系数是：。注意：二项式系数与项的系数的区别。例3。（1）求展开式中的常数项；（2）展开式中的有理项（正整数次幂的项）。解：（1）展开式的通项为：令得：即为展开式中的常数项。（2）展开式中的通项为：令，用代入验证得：时符合。当时，；当时，。例4。求展开式中的系数。解：出现在三处：展开式中的系数为135。例5。求展开式的常数项。解：常数项出现在两处：。例6。在的展开式中，含项的系数是多少？解：。例7。求展开式中按的升幂排列的第3项（即项）。（答案：）二、二项式系数的性质：展开式的二项式系数，当时，如表所示：11121133114641151010511615201561上面的表叫做二项式系数表，它有这样的规律：①在同一行中，每行两端都是1，且与这两个1等距离的项的系数相等；用公式表示为：；②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。用公式表示为：。二项式系数的性质：（1）对称性。与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。即：。（2）增减性与最大值：（先增而后减）由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，则在中间取得最大值。即对于共个二项式系数：。（3）各二项式系数的和：已知令，则：即各二项式系数的和为。例。证明：在的展开式中，奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和。证明：在展开式中，令，则得：即即在的展开式中，奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和。二者均为。三、赋值法的应用：求展开式的系数和。例1。设求：（1）；（2）。解：设令时，（1）令时，（2）令，。例2。若，且，求。解：令，则。例3。求（1）；（2）。解：（1）令，得：；（2）设，则令，得：。例4。已知（1）求；（2）求；（3）求。解：（1）令得：；（2）令得：均为正，均为负（3），。总结：一般地，对于多项式，有以下结论：①二项式系数和为；②各项系数和为；③奇数项系数和为：；④偶数项系数和为：。练习：1。若展开式的系数和等于的展开式的二项式系数和，求。（答案：）2。展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，用表示出。（答案：）3。已知求：（1）；（2）。（答案：（1）128（2））4。若，则的值为（）A。2B。0C。D。5。已知若，求。（答案：）四、求二项式系数最大项和求系数最大项：例1。展开式中第6、7项系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。解：由已知得：二项式系数最大项为：。设第项系数最大，则系数最大的项为：。例2。在的展开式中，求：（1）系数的绝对值最大的项是第几项？（2）二项式系数最大的项？（3）系数最大的项？（4）系数最小的项？解：（1）设第项系数绝对值最大，则系数绝对值最大的项是第6项和第7项。（2）二项式系数最大的项为：。（3）由（1）知展开式中第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项系数为负，第7项系数为正，则系数最大的项为：。（4）系数最小的项为：。例3。在的展开式中，求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项；（3