人教版九年级数学下册第二十七章相似教学课件

第27章：相似人教版·九年级下册27.1图形的相似（1）第27章：相似人教版·九年级下册27.1图形的相似（1）1问题1观察下列各组图片，你能说出下列各组图片的共同之处吗？

导入新课问题1观察下列各组图片，你能说出下列各组图片的共同之2在日常生活中，我们经常会看到许多形状相同，而大小不一定相同的图形（如上页图）．我们把这种形状相同的图形叫做相似图形．答：它们的大小不等，形状相同．

导入新课在日常生活中，我们经常会看到许多形状相同，而大小不一定相3问题2下图是一些相似的平面图形，你能说出两个相似的平面图形之间有什么关系吗？

新课讲解问题2下图是一些相似的平面图形，你能说出两个相似的平4分析：相似图形的大小不一定相同；两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．

新课讲解分析：相似图形的大小不一定相同；两个图形相似，其中一个图5问题3如下图，国旗上的大五角星和小五角星是相似图形吗？四颗小五角星呢？

新课讲解问题3如下图，国旗上的大五角星和小五角星是相似图形吗6答：国旗上的大小五角星都是相似图形．发现：两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．如果图形A与图形B相似，图形B与图形C相似，那么图形A与图形C也相似．

新课讲解答：国旗上的大小五角星都是相似图形．发现：两个物体形状相7问题4如图是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象，这些镜中的形象相似吗？

新课讲解问题4如图是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的8分析：平面镜是表面平整的镜子，它所成像的形状和大小与物体完全相同，哈哈镜是表面凹凸不平的镜子，它能使所成的像产生奇异变形，因此哈哈镜中看到的形象，有的被“压扁”，有的被“拉长”，这些镜中的形象不相似．

新课讲解分析：平面镜是表面平整的镜子，它所成像的形状和大小与物体9例如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？解：(d)与(1)相似；(e)与(2)相似．

新课讲解例如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似10下列各组图形中，不是相似图形的是（

）．BABCD

巩固练习下列各组图形中，不是相似图形的是（）．BA11形状相同的图形叫做相似图形．注意：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的；（2）全等的图形可以看成是特殊的相似图形，即不仅形状相同，大小也相同；（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形的形状是否相同，这是相似图形的本质，与大小无关．

课堂小结形状相同的图形叫做相似图形．注意：（1）两个图形相似，其12第27章：相似人教版·九年级下册27.1图形的相似（2）第27章：相似人教版·九年级下册27.1图形的相似（2）13问题1如果把老师手中的教鞭和铅笔分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？归纳：两条线段的比就是两条线段长度的比．那么什么样的线段是成比例线段呢？

导入新课问题1如果把老师手中的教鞭和铅笔分别看成是两条线段AB14成比例线段对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

导入新课成比例线段导入新课15注意：（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a，b，c，d成比例，记作或a︰b=c︰d；（4）若四条线段满足，则有ad=bc．

导入新课注意：（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计16问题2如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．

新课讲解问题2如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点17问题3对于上个问题中所作出的两个相似四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等？答：它们的对应角相等，对应边的比相等．结论：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．

新课讲解问题3对于上个问题中所作出的两个相似四边形，它们的对应18（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？答：相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形．

新课讲解（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．答：相似比19例如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x．解：因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应角相等，由此可得α=∠C=83°，∠A=∠E=118°．DABC1821

78°83°β24GEFHαx118°

新课讲解例如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小20因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边成比例，由此可得解得x=28.在四边形ABCD中，

β=360°-(78°+83°+118°)=81°..，即24GEFHαx118°DABC1821

78°83°β

新课讲解因为四边形ABCD和EFGH相似，解得x=28.在四边形21下列说法正确的是（

）．A．所有的平行四边形都相似

B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似

D．所有的正方形都相似D

巩固练习下列说法正确的是（）．D巩固练习22

1．线段的比的概念在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比值叫做这两条线段的比．

2．比例线段的概念对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．课堂小结1．线段的比的概念2．比例线段的概念课堂小结23

3．相似多边形的概念两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比．当两个相似多边形的相似比为1时，这两个多边形全等．

4．相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例．课堂小结3．相似多边形的概念4．相似多边形的性质课堂小结24第27章：相似人教版·九年级下册27.2.1相似三角形的判定（1）第27章：相似人教版·九年级下册27.2.1相似三角形的判25问题1根据所学相似多边形的知识，你能给出相似三角形的定义吗？答：如果两个三角形的三个角分别相等，三条边成比例，我们就说这两个三角形相似．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．例如，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，，

导入新课问题1根据所学相似多边形的知识，你能给出相似三角形的26我们就说△ABC和△A'B'C'相似，相似比为k，记作△ABC∽△A'B'C'．问题2如果相似比为1，则这两个三角形有什么关系？答：如果相似比为1，则这两个三角形全等．问题3判定三角形全等，我们并不是验证六个条件，而是利用了几个简便的判定定理，那么三角形相似的判定我们又能找到哪些简便的方法呢？

新课讲解我们就说△ABC和△A'B'C'相似，相似比为k，记作△27问题4如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5，分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度，与相等吗？任意平移l4，与还相等吗？你还能发现哪些成比例线段？

新课讲解问题4如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l128与相等；任意平移l4，与还相等；还可以发现

，，，，．l5l4l3FEDCBAl2l1

新课讲解与相等；任意平移l4，29问题5如果将平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况，如下图所示：

新课讲解问题5如果将平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形30把直线l2向左平移，两直线相交时，有两种特殊的交点，图（1）是把l4看成平行于△ACF的边CF的直线；图（2）是把l3看成平行于△FBC边CF的直线，那么我们能得出什么结论呢？结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

新课讲解把直线l2向左平移，两直线相交时，有两种特殊的交点，图（31问题6如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？解：先证明两个三角形的角分别相等．

新课讲解问题6如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交32如下图所示，在△ADE与△ABC中，∠A=∠A．∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．再证明这两个三角形的对应边的比相等．过点E作EF//AB，交BC于点F．∵DE//BC，EF//AB，∴，．EDCBAF

新课讲解如下图所示，在△ADE与△ABC中，∠A=∠A．∴33∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF．∴．∴．这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，对应边成比例，所以△ADE∽△ABC．EDCBAF

新课讲解∵四边形DBFE是平行四边形，这样，我们证明了△ADE和34因此，我们得到如下判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

新课讲解因此，我们得到如下判定三角形相似的定理：新课讲35

1．已知△ABC∽△A'B'C'，且BC︰B'C'=AC︰A'C'．若AC=3，A'C'=1.8，则△A'B'C'与△ABC的相似比为（

）．A．B．C．D．D

巩固练习1．已知△ABC∽△A'B'C'，且BC︰B'C'=AC36A．7B．7.5C．8D．8.5

2．如图，直线a//b//c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（

）．B

巩固练习A．7B．7.537

3．已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有______对．3

巩固练习3．已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的38

1．相似三角形的概念三个角分别相等，三条边成比例的三角形叫做相似三角形．

2．平行线分线段成比例的基本事实（1）平行线分线段成比例的基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．课堂小结1．相似三角形的概念课堂小结39（2）平行线分线段成比例的基本事实的推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

3．相似三角形的判定（1）三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似；（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．课堂小结（2）平行线分线段成比例的基本事实的推论课堂小结40第27章：相似人教版·九年级下册27.2.1相似三角形的判定（2）第27章：相似人教版·九年级下册27.2.1相似三角形的判41问题1相似三角形是如何定义的呢？除了定义，还有什么方法可以判定相似三角形？答：三个角分别相等，三条边成比例的三角形叫做相似三角形；除了定义，还有判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

导入新课问题1相似三角形是如何定义的呢？除了定义，还有什么方42问题2如果△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC和△A2B2C2有什么关系？答：△ABC和△A2B2C2相似．

导入新课问题2如果△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1∽43问题3全等三角形又是如何定义的呢？我们证明全等三角形有哪些方法？答：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；证明全等三角形的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL．

导入新课问题3全等三角形又是如何定义的呢？我们证明全等三角形44问题4全等三角形与相似三角形有什么关系？我们能否类似猜想，利用全等三角形的证明方法来判定三角形相似呢？答：全等三角形是相似比为1的相似三角形；可以类比利用全等三角形的证明方法来判定三角形相似．

导入新课问题4全等三角形与相似三角形有什么关系？我们能否类似45问题5首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？答：能判定这两个三角形相似．问题6怎样证明这个命题是正确的呢？如图，在△ABC和△A'B'C'中，，

新课讲解问题5首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如46求证：△ABC∽△A'B'C'．分析：要证明△ABC∽△A'B'C'，可以先作一个与△ABC全等的三角形，证明所作的三角形与△A'B'C'相似，这里所作的三角形是证明的中介，把△ABC与△A'B'C'联系起来．A′B′C′CBA

新课讲解求证：△ABC∽△A'B'C'．分析：要证明△ABC∽△47证明：在线段A'B'上截取A'D=AB，过点D作DE//B'C'，交A'C'于点E，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的结论可得△A'DE∽△A'B'C'．∴．A′B′C′CBAED

新课讲解证明：在线段A'B'上截取A'D=AB，过点D作DE/48A′B′C′CBAED∴DE=BC，A'E=AC．∴△A'DE≌△ABC．∴△ABC∽△A'B'C'．由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．又=k，A'D=AB，∴，．

新课讲解A′B′C′CBAED∴DE=BC，A'E=AC．由此我49问题7类似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？答：能．问题8怎样证明这个定理呢？如图，在△ABC和△A′B′C′中，，

∠A=∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′．

新课讲解问题7类似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两50证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D=AB，过点D作DE//B'C'，交A'C'于点E，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的结论可得△A'DE∽△A'B'C'．C′B′A′CBAED

新课讲解证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D=AB，51C′B′A′CBA∴．又，

A'D=AB，∴A'E=AC．又∠A=∠A'，∴△A'DE≌△ABC．∴△ABC∽△A'B'C'．ED

新课讲解C′B′A′CBA∴52由此我们得到利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．追问

如果，∠B=∠B'，那么△ABC和△A'B'C'一定相似吗？答：这两个三角形不一定相似．

新课讲解由此我们得到利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理：两边53例根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：（1）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A'B'=12cm，B'C'=18cm，A'C'=24cm；（2）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，∠A'=120°，A'B'=3cm，A'C'=6cm．分析：注意（2）中的角是不是两条边的夹角．

新课讲解例根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，54∴．∴△ABC∽△A'B'C'．解：（1）∵，，，

新课讲解∴55（2）∵，，

∴．又∠A=∠A'，∴△ABC∽△A'B'C'．

新课讲解（2）∵，56

1．已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm．当△DEF的另两边长为下列哪一组时，这两个三角形相似？（

）

A．2cm，3cmB．4cm，5cm

C．5cm，6cmD．6cm，7cmC

巩固练习1．已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，957

2．如图所示，点D是△ABC的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则它们还必须具备的条件是（

）A．AC︰CD=AB︰BCB．CD︰AD=BC︰ACC．CD2=AD·DBD．AC2=AD·ABD

巩固练习2．如图所示，点D是△ABC的边AB上一点，要使△ACD58相似三角形的判定定理（1）三边成比例的两个三角形相似；（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．课堂小结相似三角形的判定定理课堂小结59第27章：相似人教版·九年级下册27.2.2相似三角形的性质第27章：相似人教版·九年级下册27.2.2相似三角形的性60问题1我们知道，边、角是三角形中重要的几何要素．如果△ABC∽△A'B'C'，由相似的定义，我们可以得到它们的边、角之间存在什么样的关系？答：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．

导入新课问题1我们知道，边、角是三角形中重要的几何要素．如果61三角形中有各种各样的几何量，除边、角之外还有高、中线、角平分线的长度以及周长与面积等，那么相似三角形的这些几何量之间有什么关系呢？这就是我们这节课要探究的问题．

导入新课三角形中有各种各样的几何量，除边、角之外还有高、中线、角62问题2如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的对应高的比是多少？你能证明你的结论吗？答：对应高的比等于相似比k．证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'．A′C′B′ACBDD′

新课讲解问题2如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们63∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'．又△ABD和△A'B'D'都是直角三角形，∴△ABD∽△A'B'D'．∴．A′C′B′ACBDD′

新课讲解∵△ABC∽△A'B'C'，∴64问题3如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的对应中线，对应角平分线的比是否也等于相似比？其他对应线段呢？答：相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比，相似三角形对应线段的比等于相似比．怎样证明这些结论呢？

新课讲解问题3如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们65证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作△ABC和△A'B'C'的对应中线AD和A'D'．A′C′B′ACBDD′

新课讲解证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作66∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，．∴在△ABD与△A'B'D'中，△ABD∽△A'B'D'．∴．A′C′B′ACBDD′

新课讲解∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，67证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作△ABC和△A'B'C'的对应角平分线AD和A'D'．A′C′B′ACBDD′

新课讲解证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作68∴∠BAD=∠BAC=∠B'A'C'=∠B'A'D'．∴在△ABD与△A'B'D'中，△ABD∽△A'B'D'．∴．∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'．∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，A′C′B′ACBDD′

新课讲解∴∠BAD=∠BAC=∠B'A'C'=∠B'A'69问题4如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少？解：∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，∴AB=kA'B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'．∴．结论：相似三角形周长的比等于相似比．

新课讲解问题4如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么70问题5如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，△ABC与△A′B′C′的面积比是多少？解：．相似三角形面积的比等于相似比的平方．A′C′B′ACBDD′

新课讲解问题5如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，△71例如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积．ABCDEF

新课讲解例如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=272解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴．又∠D=∠A，∴△DEF∽△ABC，△DEF与△ABC的相似比为．ABCDEF

新课讲解解：在△ABC和△DEF中，ABCDEF新课讲解73∵△ABC的边BC上的高为6，面积为，∴△DEF的边EF上的高为，面积为．ABCDEF

新课讲解∵△ABC的边BC上的ABCDEF新课讲解74

1．已知△ABC∽△A'B'C'，且AB︰A'B'=1︰3，则△ABC与△A'B'C'的周长的比等于（

）．A．1︰3B．1︰9C．3︰1D．9︰1

2．若两个相似三角形的相似比为3︰1，其中较大的三角形的面积为18，则较小的三角形的面积是______．A2

巩固练习1．已知△ABC∽△A'B'C'，且AB︰A'B'=1︰75

1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

2．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．

3．相似三角形周长的比等于相似比．

4．相似三角形面积的比等于相似比的平方．课堂小结1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．课堂小结76第27章：相似人教版·九年级下册27.2.3相似三角形的应用举例第27章：相似人教版·九年级下册27.2.3相似三角形的应77胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．

导入新课胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七78塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．

导入新课塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长279在古希腊，有一位伟大的数学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧”．这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？

导入新课在古希腊，有一位伟大的数学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马80根据已有的生活经验，我们知道：在阳光下，同一时刻，物体的高度与物体的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的影长就越长．在此基础上我们可以得出：在平行光线的照射下，同一时刻，两个物体的高度与影长成比例．

新课讲解根据已有的生活经验，我们知道：在阳光下，同一时刻，物体的81测量金字塔高度问题例1据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．BEA(F)DO

新课讲解测量金字塔高度问题例1据传说，古希腊数学家、天文学家泰82分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．BEA(F)DO

新课讲解分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的83解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF，又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF．∴

．∴

（m）．因此金字塔的高度为134m．BEA(F)DO

新课讲解解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF，BEA(F)D84AFEBO还可以用其他方法测量吗？如图，△ABO∽△AEF平面镜

新课讲解AFEBO还可以用其他方法测量吗？如图，△ABO∽△AEF平85

2．测量河宽问题

例2如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ．QRSTabP

新课讲解2．测量河宽问题例2如图，为了估算河的宽度，我们可86分析：利用三角形中的平行截线可得相似三角形，然后根据相似三角形的性质可得关于河宽PQ的方程，解方程可以求出河宽．QRSTabP

新课讲解分析：利用三角形中的平行截线可得相似三角形，然后根据相似87解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST．∴

，即

，

，PQ×90=（PQ＋45）×60．解得PQ=90（m）．因此，河宽大约为90m．QRSTabP

新课讲解解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，QRSTabP88你还可以用什么方法来测量河的宽度？解：构造如下图所示的相似三角形．∵∠ACB=∠PCQ，∠BAC=∠PQC=90°，∴△CBA∽△CPQ．∴．∴．BACQP

新课讲解你还可以用什么方法来测量河的宽度？解：构造如下图所示的相似三893．盲区问题

例3如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距地面1.6m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？ABCDlⅠⅡ（1）

新课讲解3．盲区问题例3如图，左、右并排的两棵大树的高分别是A90F

分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点H，K．视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角．类似地，∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都是观察者看不到的区域（盲区）．ABCDlⅠⅡ（1）KGH

新课讲解F分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者91

解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB//CD．∴△AEH∽△CEK．∴

，ABCDEKGlⅠⅡH（2）

新课讲解解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的92即

．

解得EH=8（m）．由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8

m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C．ABCDEKGlⅠⅡH（2）

新课讲解即 ．ABCDEKGlⅠⅡH（2）93

1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米？

巩固练习1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻，有94解：画出示意图，如图所示，由题意可得△ABC∽△A'B'C'．∴

，即．解得A'C'=54（m）．答：这栋楼的高度是54m．ABC1.8m3mA'B'C'90m？

巩固练习解：画出示意图，如图所示，解得A'C'=54（m）．ABC195

2．小明想利用树影测量树高(AB)，他在某一时刻测得长为1m的竹竿的影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子落在墙(CD)上，如下图．他先测得留在墙上的影高(CD)为1.2m，又测得地面部分的影长(BC)为2.7m，他测得的树高应为多少米？DCBA

巩固练习2．小明想利用树影测量树高(AB)，他在某一时刻测得长为96解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，因此BE=CD=1.2m，DE=BC=2.7m．由，得AE=3（m）．所以AB=AE+EB=3+1.2=4.2（m）．DCBAE

巩固练习解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由97

1．测量高度测量无法直接到达顶部的物体的高度时，通常利用相似三角形的性质来解决．

2．测量距离测量不能直接到达的两点间的距离时，常构造下面的两种相似三角形进行求解：课堂小结1．测量高度课堂小结98（2）“X”型图，如下图所示．（1）“A”型图，如下图所示．EDCBAABCDE课堂小结（2）“X”型图，如下图所示．（1）“A”型图，如下图所示．99第27章：相似人教版·九年级下册27.3位似第27章：相似人教版·九年级下册27.3位似100问题1在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，说说它们有什么共同特点？

导入新课问题1在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，101问题2下图中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？上面每幅图的两个多边形都相似，而且它们对应顶点的连线都相交于一点．

导入新课问题2下图中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特102如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．这时我们说这两个图形关于这点位似．利用位似，可以将一个图形放大或缩小．

导入新课如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点103问题3如图，已知四边形ABCD，求作：四边形ABCD的位似四边形A'B'C'D'，使四边形ABCD缩小为原来的．DABC

新课讲解问题3如图，已知四边形ABCD，DABC新104分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形上各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2．DABC

新课讲解分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位105作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得；（4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．ODABCA'B'C'D'

新课讲解作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；ODABCA106DABC作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′，使得；（4）顺次连接A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．OD'A'B'C'

新课讲解DABC作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；OD107作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得；（4）顺次连接A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．DABCA'B'C'D'O

新课讲解作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；DABCA'108此外，本题还可以在四边形ABCD的四条边上任取一点O，去作四边形ABCD的位似四边形A'B'C'D'．DABC

新课讲解此外，本题还可以在四边形ABCD的四条边上任取一点O，去109总结画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；（4）顺次连接上述各点，得到位似的图形．

新课讲解总结画位似图形的一般步骤：新课讲解110问题4（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0）．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？24682468-2-4-6-8-2-4-6-8OyxABA''B''A'B'

新课讲解问题4（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A（6，111位似变换后A，B的对应点为A′（，），B′（，）；A"（，），B"

（，）．2120-2-1-2024682468-2-4-6-8-2-4-6-8OyxABA''B''A'B'

新课讲解位似变换后A，B的对应点为A′（，），2111224682468-2-4-6-8-2-4-6-8O1012-10-12yxACA′C′（2）如图，△AOC三个顶点的坐标分别为A（4，4），O（0，0），C（5，0）．以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？A"C"

新课讲解24682468-2-4-6-8-2-4-6-8O1012-113

点A，O，C的对应点分别为A'（8，8），O（0，0），C'（10，0）；A"（-8，-8），O（0，0），C"（-10，0）．24682468-2-4-6-8-2-4-6-8O1012-10-12yxACA′C′A"C"

新课讲解点A，O，C的对应点分别为24682468-2-4-6-114归纳小结：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）．

新课讲解归纳小结：新课讲解115例如图，△ABO三个顶点坐标分别为A（-2，4），B（-2，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为．

新课讲解例如图，△ABO新课讲解116分析：由于要画的图形是三角形，所以关键是确定它的各顶点坐标．根据前面总结的规律，点A的对应点A'的坐标为或，即（-3，6）或（3，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．

新课讲解分析：由于要画的图形是三角形，所以关键是确定它的各顶点坐11724682468-2-4-6-8-2-4-6-8Oyx解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A'（-3，6），B'（-3，0），O（0，0）．顺次连接点A'，B'，O，所得△A'B'O就是要画的一个图形；ABA′B′

新课讲解24682468-2-4-6-8-2-4-6-8Oyx解11824682468-2-4-6-8-2-4-6-8Oyx利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A"（3，-6），B"（3，0），O（0，0），顺次连接点A"，B"，O，所得△A"B"O就是要画的另一个图形．ABA″B″

新课讲解24682468-2-4-6-8-2-4-6-8Oyx利119

1．在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E'的坐标是（

）．A．（-2，1）B．（-8，4）C．（-8，4）或（8，-4）D．（-2，1）或（2，-1）D

巩固练习1．在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），A．（-2120

2．已知点O和△A'B'C'，如下图所示，以点O为位似中心把△A'B'C'放大3倍，请画出放大后的图形．A'B'C'O

巩固练习2．已知点O和△A'B'C'，如下图所示，以点O为位似中121（1）以点O为端点，分别作射线OA′，OB′，OC′；（2）分别在射线OA′，OB′，OC′上取点A，B，C，使．（3）连接AB，BC，AC，△ABC就是所求作的三角形．解法一OC'B'A'BAC

巩固练习（1）以点O为端点，分别作射线OA′，OB′，OC122（2）分别在射线A'O，B'O，C'O上取点A，B，C，使；（3）连接AB，BC，AC，△ABC就是所求作的三角形．（1）以点A′为端点作射线A′O，以点B′为端点作射线B′O，以点C′为端点作射线C′O；OC'B'A'BAC解法二

巩固练习（2）分别在射线A'O，B'O，C'O上取点A，B，C，123

1．位似图形的有关概念如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心（位似中心可以在形上、形外、形内）．这时我们就说这两个图形关于这点位似．课堂小结1．位似图形的有关概念课堂小结124

2．位似图形的性质（1）位似图形的对应顶点的连线经过位似中心；（2）位似图形的对应边互相平行（或在同一条直线上）；（3）位似图形的对应顶点到位似中心（在不重合的情况下）的距离之比等于相似比．课堂小结2．位似图形的性质课堂小结125

3．画位似图形的一般步骤（1）确定位似中心（位似中心可以在图形的外部，也可以在图形的内部，还可以在图形的边上）；（2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．课堂小结3．画位似图形的一般步骤课堂小结126

4．平面直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标的关系一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）．课堂小结4．平面直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标的关系课堂127第27章：相似人教版·九年级下册27.1图形的相似（1）第27章：相似人教版·九年级下册27.1图形的相似（1）128问题1观察下列各组图片，你能说出下列各组图片的共同之处吗？

导入新课问题1观察下列各组图片，你能说出下列各组图片的共同之129在日常生活中，我们经常会看到许多形状相同，而大小不一定相同的图形（如上页图）．我们把这种形状相同的图形叫做相似图形．答：它们的大小不等，形状相同．

导入新课在日常生活中，我们经常会看到许多形状相同，而大小不一定相130问题2下图是一些相似的平面图形，你能说出两个相似的平面图形之间有什么关系吗？

新课讲解问题2下图是一些相似的平面图形，你能说出两个相似的平131分析：相似图形的大小不一定相同；两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．

新课讲解分析：相似图形的大小不一定相同；两个图形相似，其中一个图132问题3如下图，国旗上的大五角星和小五角星是相似图形吗？四颗小五角星呢？

新课讲解问题3如下图，国旗上的大五角星和小五角星是相似图形吗133答：国旗上的大小五角星都是相似图形．发现：两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．如果图形A与图形B相似，图形B与图形C相似，那么图形A与图形C也相似．

新课讲解答：国旗上的大小五角星都是相似图形．发现：两个物体形状相134问题4如图是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象，这些镜中的形象相似吗？

新课讲解问题4如图是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的135分析：平面镜是表面平整的镜子，它所成像的形状和大小与物体完全相同，哈哈镜是表面凹凸不平的镜子，它能使所成的像产生奇异变形，因此哈哈镜中看到的形象，有的被“压扁”，有的被“拉长”，这些镜中的形象不相似．

新课讲解分析：平面镜是表面平整的镜子，它所成像的形状和大小与物体136例如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？解：(d)与(1)相似；(e)与(2)相似．

新课讲解例如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似137下列各组图形中，不是相似图形的是（

）．BABCD

巩固练习下列各组图形中，不是相似图形的是（）．BA138形状相同的图形叫做相似图形．注意：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的；（2）全等的图形可以看成是特殊的相似图形，即不仅形状相同，大小也相同；（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形的形状是否相同，这是相似图形的本质，与大小无关．

课堂小结形状相同的图形叫做相似图形．注意：（1）两个图形相似，其139第27章：相似人教版·九年级下册27.1图形的相似（2）第27章：相似人教版·九年级下册27.1图形的相似（2）140问题1如果把老师手中的教鞭和铅笔分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？归纳：两条线段的比就是两条线段长度的比．那么什么样的线段是成比例线段呢？

导入新课问题1如果把老师手中的教鞭和铅笔分别看成是两条线段AB141成比例线段对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

导入新课成比例线段导入新课142注意：（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a，b，c，d成比例，记作或a︰b=c︰d；（4）若四条线段满足，则有ad=bc．

导入新课注意：（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计143问题2如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．

新课讲解问题2如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点144问题3对于上个问题中所作出的两个相似四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等？答：它们的对应角相等，对应边的比相等．结论：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．

新课讲解问题3对于上个问题中所作出的两个相似四边形，它们的对应145（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？答：相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形．

新课讲解（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．答：相似比146例如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x．解：因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应角相等，由此可得α=∠C=83°，∠A=∠E=118°．DABC1821

78°83°β24GEFHαx118°

新课讲解例如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小147因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边成比例，由此可得解得x=28.在四边形ABCD中，

β=360°-(78°+83°+118°)=81°..，即24GEFHαx118°DABC1821

78°83°β

新课讲解因为四边形ABCD和EFGH相似，解得x=28.在四边形148下列说法正确的是（

）．A．所有的平行四边形都相似

B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似

D．所有的正方形都相似D

巩固练习下列说法正确的是（）．D巩固练习149

1．线段的比的概念在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比值叫做这两条线段的比．

2．比例线段的概念对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．课堂小结1．线段的比的概念2．比例线段的概念课堂小结150

3．相似多边形的概念两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比．当两个相似多边形的相似比为1时，这两个多边形全等．

4．相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例．课堂小结3．相似多边形的概念4．相似多边形的性质课堂小结151第27章：相似人教版·九年级下册27.2.1相似三角形的判定（1）第27章：相似人教版·九年级下册27.2.1相似三角形的判152问题1根据所学相似多边形的知识，你能给出相似三角形的定义吗？答：如果两个三角形的三个角分别相等，三条边成比例，我们就说这两个三角形相似．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．例如，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，，

导入新课问题1根据所学相似多边形的知识，你能给出相似三角形的153我们就说△ABC和△A'B'C'相似，相似比为k，记作△ABC∽△A'B'C'．问题2如果相似比为1，则这两个三角形有什么关系？答：如果相似比为1，则这两个三角形全等．问题3判定三角形全等，我们并不是验证六个条件，而是利用了几个简便的判定定理，那么三角形相似的判定我们又能找到哪些简便的方法呢？

新课讲解我们就说△ABC和△A'B'C'相似，相似比为k，记作△154问题4如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5，分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度，与相等吗？任意平移l4，与还相等吗？你还能发现哪些成比例线段？

新课讲解问题4如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1155与相等；任意平移l4，与还相等；还可以发现

，，，，．l5l4l3FEDCBAl2l1

新课讲解与相等；任意平移l4，156问题5如果将平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况，如下图所示：

新课讲解问题5如果将平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形157把直线l2向左平移，两直线相交时，有两种特殊的交点，图（1）是把l4看成平行于△ACF的边CF的直线；图（2）是把l3看成平行于△FBC边CF的直线，那么我们能得出什么结论呢？结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

新课讲解把直线l2向左平移，两直线相交时，有两种特殊的交点，图（158问题6如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？解：先证明两个三角形的角分别相等．

新课讲解问题6如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交159如下图所示，在△ADE与△ABC中，∠A=∠A．∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．再证明这两个三角形的对应边的比相等．过点E作EF//AB，交BC于点F．∵DE//BC，EF//AB，∴，．EDCBAF

新课讲解如下图所示，在△ADE与△ABC中，∠A=∠A．∴160∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF．∴．∴．这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，对应边成比例，所以△ADE∽△ABC．EDCBAF

新课讲解∵四边形DBFE是平行四边形，这样，我们证明了△ADE和161因此，我们得到如下判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

新课讲解因此，我们得到如下判定三角形相似的定理：新课讲162

1．已知△ABC∽△A'B'C'，且BC︰B'C'=AC︰A'C'．若AC=3，A'C'=1.8，则△A'B'C'与△ABC的相似比为（

）．A．B．C．