《变化率和导数》课件

函数的平均变化率和瞬时变化率1函数的平均变化率和瞬时变化率122

如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？3如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？3HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示；问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？登山问题x4HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山的HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)选取平直山路AB放大研究:若自变量的改变量函数值的改变量直线AB的斜率:5HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0yD1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直线AB的斜率:直线CD1的斜率:x6D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0xy0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)7y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2Cy0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)8y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C

显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。

现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？

一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。

9显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡

函数图象上也有类似定义，由此我们引出函数平均变化率的概念。思考：比值表示的意义是什么？它表示每一个单位上的函数值的平均增量。10函数图象上也有类似定义，由此我们引出函平均变化率曲线陡峭程度数形变量变化的快慢

建构数学11平均变化率曲线陡峭程度数形变量变化的快慢建构数学11函数的平均变化率已知函数在点及其附近有定义，令,则当时,比值叫做函数在到之间的平均变化率12函数的平均变化率已知函数在点及思考:函数平均变化率的几何意义？

OABxyY=f(x)x0X0+△xf(x0)f(X0+△x)△x直线AB的斜率函数平均变化率:函数值的改变量与自变量的改变量之比

观察函数f(x)的图象过曲线上的点割线的斜率。13思考:函数平均变化率的几何意义？

OABxyY=f(x)x0思考：（1）△x、△y的符号是怎样的？（2）该变量应如何对应？理解：2、对应性：若1414么么么么方面Sds绝对是假的么么么么方面Sds绝对是假的例1.求函数在到之间的平均变化率解:当函数在到之间变化的时候函数的平均变化率为分析:当取定值,取不同数值时,

该函数的平均变化率也不一样.16例1.求函数在到(2)求函数

在到之间的平均变化率解:当函数在到之间变化的时候函数的平均变化率为17(2)求函数在到图1图2课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一个跑得快？（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？18图1图2课堂练习：18例3：已知函数，计算函数在下列区间上的平均变化率。解:当函数在到之间变化的时候函数的平均变化率为变化区间自变量改变量平均变化率

（1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001………19例3：已知函数，计算函数

要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Dt

这段时间内，当Dt0时平均速度的极限．即瞬时速度20要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻函数的瞬时变化率设函数在附近有定义，当自变量在附近改变时，函数值相应的发生改变如果当趋近于０时，平均变化率趋近于一个常数，则数称为函数在点处的瞬时变化率。21函数的瞬时变化率设函数在导数的概念也可记作★

若这个极限不存在，则称在点x0处不可导。

设函数y=f(x)在点x=x0的附近有定义，当自变量x

在x0处取得增量△x(点x0+△x仍在该定义内）时，相应地函数y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y与△x之比当△x→0的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0

处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0

处的导数记为即22导数的概念也可记作★若这个极限不存在，则称在点x0处不可说明：（1）函数在点处可导，是指时，有极限．如果不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数．点是自变量x在处的改变量，，而是函数值的改变量，可以是零．

（2）23说明：（1）函数在点处可导，是指时，有极限．如果不存在极限，注意：24注意：24由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:（1）求函数的增量:；（2）求平均变化率:；．（3）取极限，得导数:25由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:（1）求函数的增量例:高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态;在呢?

26例:26割线PQ的的变化情况２．在的过程中，请在函数图象中画出来．你能描述一下吗？27割线PQ的的变化情况２．在的过程中，请在函PQM求已知曲线的切线.28PQM求已知曲线的切线.28练习：29练习：29小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率3.求函数的瞬时变化率的步骤:

一差二化三极限30小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:函数的平均变化率和瞬时变化率31函数的平均变化率和瞬时变化率1322

如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？33如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？3HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示；问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？登山问题x34HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山的HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)选取平直山路AB放大研究:若自变量的改变量函数值的改变量直线AB的斜率:35HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0yD1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直线AB的斜率:直线CD1的斜率:x36D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0xy0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)37y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2Cy0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)38y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C

显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。

现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？

一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。

39显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡

函数图象上也有类似定义，由此我们引出函数平均变化率的概念。思考：比值表示的意义是什么？它表示每一个单位上的函数值的平均增量。40函数图象上也有类似定义，由此我们引出函平均变化率曲线陡峭程度数形变量变化的快慢

建构数学41平均变化率曲线陡峭程度数形变量变化的快慢建构数学11函数的平均变化率已知函数在点及其附近有定义，令,则当时,比值叫做函数在到之间的平均变化率42函数的平均变化率已知函数在点及思考:函数平均变化率的几何意义？

OABxyY=f(x)x0X0+△xf(x0)f(X0+△x)△x直线AB的斜率函数平均变化率:函数值的改变量与自变量的改变量之比

观察函数f(x)的图象过曲线上的点割线的斜率。43思考:函数平均变化率的几何意义？

OABxyY=f(x)x0思考：（1）△x、△y的符号是怎样的？（2）该变量应如何对应？理解：2、对应性：若4414么么么么方面Sds绝对是假的么么么么方面Sds绝对是假的例1.求函数在到之间的平均变化率解:当函数在到之间变化的时候函数的平均变化率为分析:当取定值,取不同数值时,

该函数的平均变化率也不一样.46例1.求函数在到(2)求函数

在到之间的平均变化率解:当函数在到之间变化的时候函数的平均变化率为47(2)求函数在到图1图2课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一个跑得快？（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？48图1图2课堂练习：18例3：已知函数，计算函数在下列区间上的平均变化率。解:当函数在到之间变化的时候函数的平均变化率为变化区间自变量改变量平均变化率

（1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001………49例3：已知函数，计算函数

要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Dt

这段时间内，当Dt0时平均速度的极限．即瞬时速度50要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻函数的瞬时变化率设函数在附近有定义，当自变量在附近改变时，函数值相应的发生改变如果当趋近于０时，平均变化率趋近于一个常数，则数称为函数在点处的瞬时变化率。51函数的瞬时变化率设函数在导数的概念也可记作★

若这个极限不存在，则称在点x0处不可导。

设函数y=f(x)在点x=x0的附近有定义，当自变量x

在x0处取得增量△x(点x0+△x仍在该定义内）时，相应地函数y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y与△x之比当△x→0的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0

处可导，并称这