教学第二章一元函数微分学课件

2.1导数的概念2.2导数的运算2.3微分2.4导数的应用机动目录上页下页返回结束第二章一元函数微分学

第二章微分学发展史2.1导数的概念2.2导数的运算2.3微分2.412.1.1引例2.1.2导数的定义2.1.3导数的几何意义2.1.4函数的连续性与可导性的关系机动目录上页下页返回结束2.1导数的概念

第二章2.1.1引例2.1.2导数的定义2.1.3导数22.1.1引例1.变速直线运动的速度描述物体下落位置的函数为改变量之比的极限称为导数，路程对时间的导数就是速度。有增量则物体在内的平均速度为即可得物体在时刻的瞬时速度令即给以增量,(

),2.1.1引例1.变速直线运动的速度描述物体下落位置的函32.1.2导数的定义即定义1.

设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.机动目录上页下页返回结束2.1.2导数的定义即定义1.设函数在点存在,并称此极4否则，就说在点处不可导或说

在点的导数不存在.由导数定义可知，导数是函数

对自变量的变化率.导数的等价定义：右可导与左可导：否则，就说在点处不可导或说在点的导数不存在.由导数定义可知5若函数在开区间

内处处可导,则称它在

上可导.若函数与则称在开区间

内可导,在闭区间

上可导.且都存在，对应于内的每一点都有一个确定的导数值，于是和其对应点的导数值之间便构成了一个新的函数，称此函数为的记为导函数，简称导数，若函数在开区间内处处可导,则称它在6求导的步骤2.算比值3.取极限1.求增量对于内的每一点有而在处的导数即为在处的函数值，即求导的步骤2.算比值3.取极限1.求增量对于内的每一点有而在7例1.求函数在处的导数解：所以，例1.求函数在处的导数解：所以，8例2.求函数为常数)解：所以，的导数.例2.求函数为常数)解：所以，的导数.9例3.处的导数.求函数解：例3.处的导数.求函数解：10导数的几何意义导数是曲线上过点x0处切线的斜率当时,亦即N无限靠近M时,如果存在,那么割线就将趋向于曲线上过点的曲线的切线,即有时,于是1.有切线可导切线存在为无穷大2.切线不存在不可导注意:曲线割线MN

的斜率导数的几何意义导数是曲线当时,亦即N无限靠近M时,如果存在,11例4

求过点(0，-1)且与相切的直线方程.解：由例1知设切点为则该直线的斜率为又知从而有解得从而知过点(0，-1)可作两条直线与相切，其斜率分别为二直线方程分别为例4求过点(0，-1)且与相切的直线方程.解：由例1122.1.4函数的连续性与可导性的关系注意:

函数在点x连续不一定可导.反例:在

x=0处连续,但不可导.2.1.4函数的连续性与可导性的关系注意:函数在点x132.2.1几个基本初等函数的导数2.2.2导数的四则运算法则

2.2.3

复合函数和隐函数求导法则2.2.4对数求导法

机动目录上页下页返回结束2.2导数的运算

第二章2.2.5反函数求导法

2.2.6高阶导数

2.2.1几个基本初等函数的导数2.2.2导数的四则142.2导数的运算

2.2.1几个基本初等函数的导数

二、幂函数的导数一、常数的导数常数的导数是0三、正弦函数与余弦函数的导数四、对数函数的导数2.2导数的运算2.2.1几个基本初等函数的导数二、幂函152.2.2导数的四则运算法则

法则的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x

可导,且下面对（3）加以证明,并同时给出相应的推论和例题.机动目录上页下页返回结束2.2.2导数的四则运算法则法则的和、差、积、商(除分16(3)证:

设则有故结论成立.机动目录上页下页返回结束(3)证:设则有故结论成立.机动目录上页17推论1:(C为常数)推论2:例5.

已知解：推论1:(C为常数)推论2:例5.已知解：18例6.

已知解：例7.解：例8.解：例6.已知解：例7.解：例8.解：192.2.3复合函数和隐函数求导法则一、复合函数求导法在点x处也可导,且定理1.设函数在处有导数

,函数在的对应点处可导,

,则或复合函数上述复合函数求导法则可推广到多层复合函数在处可导,

在的对应点处可导,而

在的对应点处也可导,则在

处也可导,且2.2.3复合函数和隐函数求导法则一、复合函数求导法在点x20例9.已知,求例10.已知,求解：令解：令例11.已知求解：令例9.已知,求例10.已知,求解：令解：令例11.已知21例12.已知,求例13.设为可导函数,且解：解：设注意：复合函数的求导关键是搞清符合关系，从外层到里层一层一层地求导，不要漏层。例12.已知,求例13.设为可导函数,且解：解：设注意：22y与x的函数关系隐含在中，这种形式的例如如果我们把y看成中间变量，则可运用复合函数求导函数称为隐函数。等等。法则求出y对x的导数。例14.

y是由所确定的关于x的函数，求y’解：设两边同时对x求导，则即最后得二、隐函数求导法y与x的函数关系隐含在中，这种形式的例如如果我们把y看成中23例15.求函数y是由所确定的函数的导数所确定的x的函数，例16.

已知y是由解：等式两边同时对x求导，得解得试求解：方程两边同时对x求导，得从而又由函数方程知所以当时，故例15.求函数y是由所确定的函数的导数所确定的x的函242.2.4对数求导法

对数求导法适用于幂指数函数或连乘函数例17.已知下列各函数，分别求其导数y’为任意实数)

解:

(1)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得因而2.2.4对数求导法对数求导法适用于幂指数函数或连乘函数例25

(2)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得因而即对任意实数，有

(3)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得所以即特别地，当时，(2)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得因而即对任意实262.2.5反函数求导法在处可导，且则

在对应点

处也可导，证略[定理2]对于函数它在某个开区间严格单调、连续，它的反函数且2.2.5反函数求导法在处可导，且则在对应点处也可导，27例18.已知解：内严格单调、连续，且由定理2知在x所对应的区间(-1,1)内,有即类似可得例18.已知解：内严格单调、连续，且由定理2知在x所对应28例19.已知解：内严格单调、连续，且即类似可得由定理2知在x所对应的区间内,例19.已知解：内严格单调、连续，且即类似可得由定理2知292.2.6高阶导数函数的二阶及二阶以上的导数统称为y的高阶导数。

如果的导数也存在，则称其为的二阶导数，记为三阶导数或三阶以上导数可类似定义。例20.已知解：2.2.6高阶导数函数的二阶及二阶以上的导数统称为y的高30例21.

y是由所确定的x的函数，求解：两边同时对x求导，得所以对上述等式两边再对x求导，得整理并将代入得例21.y是由所确定的x的函数，求解：两边同时对x求导312.3.1微分的定义2.3.2微分的几何意义

2.3.3

微分的计算机动目录上页下页返回结束2.3微分

第二章2.3.1微分的定义2.3.2微分的几何意义2.3322.3微分问题提出：面积增量为的高阶无穷小正方形边长为给边长增量，，面积为2.3微分问题提出：面积增量为的高阶无332.3.1微分的定义定义2.设函数

在x的某个临域内有定义，

可以表示为其中A是不依赖于

的x的函数，

是当时比高阶的无穷小，则称函数在点x处可微，并称为函数

在x处的微分，记作如果函数的增量即如果

在点x处可微，在

两端同除以

，得两边同时求极限得即有2.3.1微分的定义定义2.设函数在x的某个临域内342.3.2微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记机动目录上页下页返回结束2.3.2微分的几何意义当很小时,则有从而导数也352.3.2微分的计算一、微分的四则运算法则2.3.2微分的计算一、微分的四则运算法则36二、一阶微分的形式不变性设函数和可导，即则复合函数在点的微分为二、一阶微分的形式不变性设函数和可导，即则复合函数在点的微分37例22求在时的微分.解：例23已知解：例22求在时的微分.解：例23已知解：382.3.4*微分在误差估计及近似计算中的应用一、函数值的误差估计设是的函数，的测量值为且测量误差为计算时将产生误差把与分别称为和的绝对误差，而把与分别称为和的相对误差。当很小时，有如下近似公式2.3.4*微分在误差估计及近似计算中的应用一、函数值的误差39利用以上两式可以计算实际应用中常遇到的两类误差估计问题。的误差(1)已知测量所产生的误差，估计由所引起的的误差。(2)根据所允许的误差，近似地确定测量时所允许的误差。例24设已测得一圆的半径为21.5厘米，且测量的绝对误差不超过0.1厘米，求计算圆面积时所产生的绝对误差。解：已知的测量值为厘米，绝对误差厘米，因此S的绝对误差为利用以上两式可以计算实际应用中常遇到的两类的误差(1)已知测40例25从一批密度均匀的药丸中，把所有直径等于0.1厘米的胶丸挑出来，如果挑出来的胶丸在半径上允许有3%的相对误差，并且选择的方法以重量为依据，试问在挑选时称量重量的相对误差应不超过多少？解：设胶丸的密度为半径为r(单位为厘米)，重量为W，则有由于因而从而要使只要因而例25从一批密度均匀的药丸中，把所有直径等于0.1厘米的胶41二、函数值的近似计算当很小时，由式(2-33)可得上式可用于计算在附近的近似值。例26计算sin44o的近似值。解：设所以二、函数值的近似计算当很小时，由式(2-33)可得上式可用于42例27求的近似值。解：设则取有所以例27求的近似值。解：设则取有所以432.4.1拉格朗日中值定理2.4.2洛必达法则2.4.3

函数增减性和函数的极值机动目录上页下页返回结束2.4导数的应用

第二章2.4.4

函数凹凸性及拐点2.4.1拉格朗日中值定理2.4.2洛必达法则2.4442.4.1拉格朗日中值定理定理3如果函数在闭区间[a,b]上连续，在使得

开区间(a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点拉格朗日简介2.4.1拉格朗日中值定理定理3如果函数在闭区间[45推论3

如果函数在区间（a,b）上每一点的，则函数（a,b）上恒等于一个常数。与点的导数都相等，则与上仅相差一个常数。导数都为零，即在区间推论4

如果两个函数在（a,b）上每一在区间（a,b）例28

证明对一切都成立。证：

设区间应用定理则等号成立，因而对于一切命题成立推论3如果函数在区间（a,b）上每一点的，则函数（46例28

试证证：

设则由推论3知y在(-1,1)内恒为常数，即又由于y在[-1,1]上连续，因而上式在[-1,1]内成立，令即得从而结论成立。例28试证证：设则由推论3知y在(-1,1)内恒为常数472.4.2洛必达法则洛必达是法国数学家.1661年生于巴黎；1704年2月2日卒于巴黎.洛必达出生于法国贵族家庭，青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视而自行告退，转向从事学术研究.

15岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线难题.他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且是约伯努利的高徒，法国科学院院士.

2.4.2洛必达法则洛必达是法国数学家.16648函数之商的极限导数之商的极限

转化(或型)本节研究:洛必达法则2.4.2洛必达法则函数之商的极限导数之商的极限转化(或492.4.2洛必达法则2.4.2洛必达法则502.4.2洛必达法则2.4.2洛必达法则51洛毕达法则可以多次使用直到不再是不定式时为止洛毕达法则可以多次使用直到不再是不定式时为止52第二章一元函数微分学课件53第二章一元函数微分学课件54例题30求解:原试注意:不是不定式不能用洛必达法则!例题30求解:原试注意:不是不定式不能用洛必达法则!55例题31求解:例题31求解:56例题32求解:例题32求解:57其他不定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化其他不定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化58例题33求将上试通分后即可化为型例题33求将上试通分后即可化为型59例34.求解:

原式例34.求解:原式60例题35求例题35求61例题36求

注意：在应用洛毕达法则时，如果两个函数之比的极限不存在且不为无穷大，则不能应用该法则例题36求注意：62第二章一元函数微分学课件632.4.3函数增减性和函数的极值一、函数单调性的判定法二、函数的极值及其判定方法2.4.3函数增减性和函数的极值一、函数单调性的判定法二、64一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I

内单调递增(递减).证:

无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I

内单调递增.在开区间I

内可导,证毕注意：定理6只是判断函数增减性的充分条件，而非必要条件一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则65例题38试证当证：设例题38试证当证：设66例题38试证当证：证毕例题38试证当证：证毕67例39.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为例39.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调68说明:

例40单调区间的分界点除外,也可是导数不存在的点.

驻点说明:例40单调区间的分界点除外,也可69驻点：使导数为零的点叫做驻点返回驻点：使导数为零的点叫做驻点返回70二、函数的极值及其判定方法定义3:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.二、函数的极值及其判定方法定义3:在其中当时,(1)则称71注意:为极大点为极小点不是极值点1)函数的极值是函数的局部性质.例如例39为极大点,是极大值是极小值为极小点,注意:为极大点为极小点不是极值点1)函数的极值是函数的局72定理7（必要条件）如果函数在点可导，且取极值，则使导数为零的点叫做函数的驻点，可导函数的极值必定是它的驻点，反之则不一定。判断驻点是否为极值点要判断该点左右的倒数符号是否发生变化，此外导数不存在的点也可能是极值点。定理7（必要条件）如果函数在点可导，且取极值，则73证：仅就取极大值做出证明，取极小值时仿此证明当时，所以当时所以因此，证毕证：仅就取极大值做出证74定理8(极值第一判别法)(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(3)若不变号，则函数在处无极值定理8(极值第一判别法)(1)“左正右负”,(2)75证：若是邻域内的一点，由拉格朗日中值定理，可知必在与之间存在一点，使对于条件(2)，当时，有；当时，，有，所以当由负变正时，为极小值对于条件(1)，当时，有；当时，，有，所以当由正变负时，为极大值如果满足条件(3)，则在的某个邻域内是单调函数，所以不是极值，也不是极值点．证：若是邻域内的一点，由拉格朗日中值定理，可知必76由定理7和定理8给出求函数极值的步骤如下：1、求导数2、找出驻点和导数不存在的点3、用定理8判定这些点是否为极值点由定理7和定理8给出求函数极值的步骤如下：1、求导数2、找出77例题41求函数的极值解：x-10.21y’+0+0-0+y增无增极大减极小增由表可知极值图象例题41求函数的极值解：x-10.21y’+0+0-0+78返回返回79例42已知直线方程,是直线外的一点,试求A到直线的距离解:设为直线方程上的任一点,设A到B的距离为z,则令得到唯一驻点例42已知直线方程80例42已知直线方程,是直线外的一点,试求A到直线的距离当时,,而当时,,从而为的极小值点,此时的就是到直线的距离,将驻点值代入中的,化简得例42已知直线方程813、若，则不能确定是否为定理9(第二充分条件)设在点处具有二阶导数，且，则：1、若，则是的极大值2、若，则是的极小值的极值，仍需判断一阶导数在左右的符号变化情况，然后再得出结论。3、若，则不能确定是否为定理9(第二充分条件)设在点82例题43应用第二充分条件求函数的极值解:例题43应用第二充分条件求函数的极值解:83例44求的极值解:则因此,由定理9判定,函数在x=0时有极小值0,在x=1,-1时由定理8判定例44求84例45血液由细胞和血浆构成，血细胞的比重高于血浆构成，血液在血管中迅速流动时，血细胞有集中于血管中轴附近的倾向，而在靠近血管内膜的边缘部位则主要是一层血浆。边缘部位由于血管壁的摩擦力而流速较慢，愈近中轴，流动越快，此现象在流速相当高的洗血管中最为显著，称为轴流问题。轴流理论认为：血细胞速度与血浆速度的相对值依赖于血细胞的直径与它通过小血管直径之比，其关系式为其中（血细胞直径/小血管直径）<1,（血细胞速度/血浆速度）试求关于的一阶导数的极值例45血液由细胞和血浆构成，血细胞的比重高于血浆构成，85解：令，得因为所以时取极小值。由于，所以他的绝对值在处达到极大值解：令，得因86例46求当时得最大值与最小值解:该函数是一个分段函数,可写成如下形式该函数在[-5,5]内连续,但在x=3处不可导因为当时函数可导例46求当87例46求当时得最大值与最小值的导数为在讨论的区间内无驻点,因此最大值和最小值只可能在及导数不存在的点x=3处取得,在这些点处的函数值分别为:由此知函数在[-5,5]的最大值为最小值为.例46求当88最大值与最小值定义4设在闭区间[a,b]上连续，与比较，其数值最大与最在闭区间[a,b]上的最大与最小值。将区间内所有极值和端点处的函数值小者分别称为函数最大值与最小值定义4设在闭区间[a,b]上连续，与比89例47在给定容积V的条件下，做一个有盖圆柱形罐头，问当高和底半径取多少时用料最省解:设底面半径为r,高h,表面积为S,则例47在给定容积V的条件下，做一个有盖圆柱形罐头，问当高和90所以S的最小值将S对r求导得所以S的最小值将S对r求导得912.4.4函数的凹凸性及拐点一、函数曲线的凹凸性二、曲线的拐点三、曲线的渐近线2.4.4函数的凹凸性及拐点一、函数曲线的凹凸性二、曲线的拐92定义5如果一段曲线位于它上面任意一点的切线上方，我们就称这段曲线是向上凹的，如果一段曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称这段曲线是向上凸的

一、函数曲线的凹凸性定义5如果一段曲线位于它上面任意一点的切线上方，我们就称这93如果函数定理10在区间(a,b)内具有二阶导数则在该区间上，当时，曲线向上凸，称为凸函数时，曲线向上凹，并称为凹函数；当如果函数定理10在区间(a,b)内具有二阶导数则在该区间上94二、函数的拐点如果函数在某点的凹凸性发生了变化，那么该点就称为曲线的拐点。需要注意的是：拐点可能是二阶导数为0的点，也可能是二阶导数不存在的点；反之二阶导数为0或者二阶导数不存在的点却不一定是拐点。返回二、函数的拐点如果函数95判断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下：2、令求出其在定义域的根，同时找到在函数定义域内部存在的二阶导数；1、求3、对每个实根（或二阶导数不存在的点），如判断在左右的符号，如果变号，则是拐点，否则不是拐点；使的那段区间为上凹区间，使的那段区间为上凸区间。判断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下：2、令求出其在定义域的96例48讨论曲线的凹凸性及拐点解:在定义域内无零点x1y’’-不存在+y上凸拐点上凹例48讨论曲线的凹凸性及拐点解:在定义域内无零点x1y’97例49讨论函数的单调性极值及拐点x-11y’-0+0-y减函数极小值增函数极大值减函数解:令y'=0,得x=-1,1,列表如下例49讨论函数98例49讨论函数的单调性极值及拐点解:x0y”-0+0-0+y上凸拐点上凹拐点上凸拐点上凹例49讨论函数99三、曲线的渐近线定义6如果动点沿某一条曲线无限远离原点时，动点到一定直线的距离趋于零，这条直线就称为该曲线的渐近线则曲线有水平渐近线如果，则曲线有垂直渐近线如果返回三、曲线的渐近线定义6如果动点沿某一条曲线无限远离原点时，100例50讨论的渐近线解:知x=0是垂直渐近线所以,y=x+3是一条斜渐近线例50讨论的渐近线解:知x=0是垂101习题确定函数的单调性解:令y'=0得x=-1或x=2x-1(-1,2)2y’+0-0+y增函数减函数增函数习题确定函数102习题求函数的极值解:令y'=0,解得xy’-0+y极小值习题求函数103习题求函数的最大和最小值解:习题求函数104第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)一元函数微分学导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学1052.4.1拉格朗日中值定理拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了《分析力学》一书，建立起完整和谐的力学体系。1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。

2.4.1拉格朗日中值定理拉格朗日，法国数学家、物理学家1062.4.5*几个医学常用图形的描绘描绘函数图形的一般步骤1确定函数定义域及不连续点,求出函数在x轴和y轴上的截距2求出函数的一阶二阶导数及他们为零的根；找出使一阶二阶导数不存在的点；计算上述根与点的函数值

3根据2中的根与点把定义域分为几个区间，列成一表

4判断及的符号，由此确定函数图形的升降、凹凸、极值及拐点

5确定函数渐近线

6根据表中所列函数的特殊点、升降、凹凸等有关特性，适当补充一些点，然后用描点法把这些点连接成光滑曲线2.4.5*几个医学常用图形的描绘描绘函数图形的一般步骤107一、正态分布曲线一、正态分布曲线108一、正态分布曲线(4)列表减上凹拐点减上凸极大值增上凸拐点增上凹+0---0+---0+++一、正态分布曲线(4)列表减拐点减极大值增拐点增+0---109一、正态分布曲线(5)根究列表画出图象一、正态分布曲线(5)根究列表画出图象110二、逻辑斯谛曲线以下画出它的大致图形二、逻辑斯谛曲线以下画出它的大致图形111二、逻辑斯谛曲线二、逻辑斯谛曲线112(5)根据(1)~(4)画图

二、逻辑斯谛曲线(5)根据(1)~(4)画图二、逻辑斯谛曲线113三、贡柏茨曲线贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为三、贡柏茨曲线贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为114三、贡柏茨曲线贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为正函数上凸拐点正函数上凹-0++++三、贡柏茨曲线贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为正函115三、贡柏茨曲线贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为(5)画图

三、贡柏茨曲线贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为(51162.1导数的概念2.2导数的运算2.3微分2.4导数的应用机动目录上页下页返回结束第二章一元函数微分学

第二章微分学发展史2.1导数的概念2.2导数的运算2.3微分2.41172.1.1引例2.1.2导数的定义2.1.3导数的几何意义2.1.4函数的连续性与可导性的关系机动目录上页下页返回结束2.1导数的概念

第二章2.1.1引例2.1.2导数的定义2.1.3导数1182.1.1引例1.变速直线运动的速度描述物体下落位置的函数为改变量之比的极限称为导数，路程对时间的导数就是速度。有增量则物体在内的平均速度为即可得物体在时刻的瞬时速度令即给以增量,(

),2.1.1引例1.变速直线运动的速度描述物体下落位置的函1192.1.2导数的定义即定义1.

设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.机动目录上页下页返回结束2.1.2导数的定义即定义1.设函数在点存在,并称此极120否则，就说在点处不可导或说

在点的导数不存在.由导数定义可知，导数是函数

对自变量的变化率.导数的等价定义：右可导与左可导：否则，就说在点处不可导或说在点的导数不存在.由导数定义可知121若函数在开区间

内处处可导,则称它在

上可导.若函数与则称在开区间

内可导,在闭区间

上可导.且都存在，对应于内的每一点都有一个确定的导数值，于是和其对应点的导数值之间便构成了一个新的函数，称此函数为的记为导函数，简称导数，若函数在开区间内处处可导,则称它在122求导的步骤2.算比值3.取极限1.求增量对于内的每一点有而在处的导数即为在处的函数值，即求导的步骤2.算比值3.取极限1.求增量对于内的每一点有而在123例1.求函数在处的导数解：所以，例1.求函数在处的导数解：所以，124例2.求函数为常数)解：所以，的导数.例2.求函数为常数)解：所以，的导数.125例3.处的导数.求函数解：例3.处的导数.求函数解：126导数的几何意义导数是曲线上过点x0处切线的斜率当时,亦即N无限靠近M时,如果存在,那么割线就将趋向于曲线上过点的曲线的切线,即有时,于是1.有切线可导切线存在为无穷大2.切线不存在不可导注意:曲线割线MN

的斜率导数的几何意义导数是曲线当时,亦即N无限靠近M时,如果存在,127例4

求过点(0，-1)且与相切的直线方程.解：由例1知设切点为则该直线的斜率为又知从而有解得从而知过点(0，-1)可作两条直线与相切，其斜率分别为二直线方程分别为例4求过点(0，-1)且与相切的直线方程.解：由例11282.1.4函数的连续性与可导性的关系注意:

函数在点x连续不一定可导.反例:在

x=0处连续,但不可导.2.1.4函数的连续性与可导性的关系注意:函数在点x1292.2.1几个基本初等函数的导数2.2.2导数的四则运算法则

2.2.3

复合函数和隐函数求导法则2.2.4对数求导法

机动目录上页下页返回结束2.2导数的运算

第二章2.2.5反函数求导法

2.2.6高阶导数

2.2.1几个基本初等函数的导数2.2.2导数的四则1302.2导数的运算

2.2.1几个基本初等函数的导数

二、幂函数的导数一、常数的导数常数的导数是0三、正弦函数与余弦函数的导数四、对数函数的导数2.2导数的运算2.2.1几个基本初等函数的导数二、幂函1312.2.2导数的四则运算法则

法则的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x

可导,且下面对（3）加以证明,并同时给出相应的推论和例题.机动目录上页下页返回结束2.2.2导数的四则运算法则法则的和、差、积、商(除分132(3)证:

设则有故结论成立.机动目录上页下页返回结束(3)证:设则有故结论成立.机动目录上页133推论1:(C为常数)推论2:例5.

已知解：推论1:(C为常数)推论2:例5.已知解：134例6.

已知解：例7.解：例8.解：例6.已知解：例7.解：例8.解：1352.2.3复合函数和隐函数求导法则一、复合函数求导法在点x处也可导,且定理1.设函数在处有导数

,函数在的对应点处可导,

,则或复合函数上述复合函数求导法则可推广到多层复合函数在处可导,

在的对应点处可导,而

在的对应点处也可导,则在

处也可导,且2.2.3复合函数和隐函数求导法则一、复合函数求导法在点x136例9.已知,求例10.已知,求解：令解：令例11.已知求解：令例9.已知,求例10.已知,求解：令解：令例11.已知137例12.已知,求例13.设为可导函数,且解：解：设注意：复合函数的求导关键是搞清符合关系，从外层到里层一层一层地求导，不要漏层。例12.已知,求例13.设为可导函数,且解：解：设注意：138y与x的函数关系隐含在中，这种形式的例如如果我们把y看成中间变量，则可运用复合函数求导函数称为隐函数。等等。法则求出y对x的导数。例14.

y是由所确定的关于x的函数，求y’解：设两边同时对x求导，则即最后得二、隐函数求导法y与x的函数关系隐含在中，这种形式的例如如果我们把y看成中139例15.求函数y是由所确定的函数的导数所确定的x的函数，例16.

已知y是由解：等式两边同时对x求导，得解得试求解：方程两边同时对x求导，得从而又由函数方程知所以当时，故例15.求函数y是由所确定的函数的导数所确定的x的函1402.2.4对数求导法

对数求导法适用于幂指数函数或连乘函数例17.已知下列各函数，分别求其导数y’为任意实数)

解:

(1)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得因而2.2.4对数求导法对数求导法适用于幂指数函数或连乘函数例141

(2)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得因而即对任意实数，有

(3)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得所以即特别地，当时，(2)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得因而即对任意实1422.2.5反函数求导法在处可导，且则

在对应点

处也可导，证略[定理2]对于函数它在某个开区间严格单调、连续，它的反函数且2.2.5反函数求导法在处可导，且则在对应点处也可导，143例18.已知解：内严格单调、连续，且由定理2知在x所对应的区间(-1,1)内,有即类似可得例18.已知解：内严格单调、连续，且由定理2知在x所对应144例19.已知解：内严格单调、连续，且即类似可得由定理2知在x所对应的区间内,例19.已知解：内严格单调、连续，且即类似可得由定理2知1452.2.6高阶导数函数的二阶及二阶以上的导数统称为y的高阶导数。

如果的导数也存在，则称其为的二阶导数，记为三阶导数或三阶以上导数可类似定义。例20.已知解：2.2.6高阶导数函数的二阶及二阶以上的导数统称为y的高146例21.

y是由所确定的x的函数，求解：两边同时对x求导，得所以对上述等式两边再对x求导，得整理并将代入得例21.y是由所确定的x的函数，求解：两边同时对x求导1472.3.1微分的定义2.3.2微分的几何意义

2.3.3

微分的计算机动目录上页下页返回结束2.3微分

第二章2.3.1微分的定义2.3.2微分的几何意义2.31482.3微分问题提出：面积增量为的高阶无穷小正方形边长为给边长增量，，面积为2.3微分问题提出：面积增量为的高阶无1492.3.1微分的定义定义2.设函数

在x的某个临域内有定义，

可以表示为其中A是不依赖于

的x的函数，

是当时比高阶的无穷小，则称函数在点x处可微，并称为函数

在x处的微分，记作如果函数的增量即如果

在点x处可微，在

两端同除以

，得两边同时求极限得即有2.3.1微分的定义定义2.设函数在x的某个临域内1502.3.2微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记机动目录上页下页返回结束2.3.2微分的几何意义当很小时,则有从而导数也1512.3.2微分的计算一、微分的四则运算法则2.3.2微分的计算一、微分的四则运算法则152二、一阶微分的形式不变性设函数和可导，即则复合函数在点的微分为二、一阶微分的形式不变性设函数和可导，即则复合函数在点的微分153例22求在时的微分.解：例23已知解：例22求在时的微分.解：例23已知解：1542.3.4*微分在误差估计及近似计算中的应用一、函数值的误差估计设是的函数，的测量值为且测量误差为计算时将产生误差把与分别称为和的绝对误差，而把与分别称为和的相对误差。当很小时，有如下近似公式2.3.4*微分在误差估计及近似计算中的应用一、函数值的误差155利用以上两式可以计算实际应用中常遇到的两类误差估计问题。的误差(1)已知测量所产生的误差，估计由所引起的的误差。(2)根据所允许的误差，近似地确定测量时所允许的误差。例24设已测得一圆的半径为21.5厘米，且测量的绝对误差不超过0.1厘米，求计算圆面积时所产生的绝对误差。解：已知的测量值为厘米，绝对误差厘米，因此S的绝对误差为利用以上两式可以计算实际应用中常遇到的两类的误差(1)已知测156例25从一批密度均匀的药丸中，把所有直径等于0.1厘米的胶丸挑出来，如果挑出来的胶丸在半径上允许有3%的相对误差，并且选择的方法以重量为依据，试问在挑选时称量重量的相对误差应不超过多少？解：设胶丸的密度为半径为r(单位为厘米)，重量为W，则有由于因而从而要使只要因而例25从一批密度均匀的药丸中，把所有直径等于0.1厘米的胶157二、函数值的近似计算当很小时，由式(2-33)可得上式可用于计算在附近的近似值。例26计算sin44o的近似值。解：设所以二、函数值的近似计算当很小时，由式(2-33)可得上式可用于158例27求的近似值。解：设则取有所以例27求的近似值。解：设则取有所以1592.4.1拉格朗日中值定理2.4.2洛必达法则2.4.3

函数增减性和函数的极值机动目录上页下页返回结束2.4导数的应用

第二章2.4.4

函数凹凸性及拐点2.4.1拉格朗日中值定理2.4.2洛必达法则2.41602.4.1拉格朗日中值定理定理3如果函数在闭区间[a,b]上连续，在使得

开区间(a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点拉格朗日简介2.4.1拉格朗日中值定理定理3如果函数在闭区间[161推论3

如果函数在区间（a,b）上每一点的，则函数（a,b）上恒等于一个常数。与点的导数都相等，则与上仅相差一个常数。导数都为零，即在区间推论4

如果两个函数在（a,b）上每一在区间（a,b）例28

证明对一切都成立。证：

设区间应用定理则等号成立，因而对于一切命题成立推论3如果函数在区间（a,b）上每一点的，则函数（162例28

试证证：

设则由推论3知y在(-1,1)内恒为常数，即又由于y在[-1,1]上连续，因而上式在[-1,1]内成立，令即得从而结论成立。例28试证证：设则由推论3知y在(-1,1)内恒为常数1632.4.2洛必达法则洛必达是法国数学家.1661年生于巴黎；1704年2月2日卒于巴黎.洛必达出生于法国贵族家庭，青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视而自行告退，转向从事学术研究.

15岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线难题.他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且是约伯努利的高徒，法国科学院院士.

2.4.2洛必达法则洛必达是法国数学家.166164函数之商的极限导数之商的极限

转化(或型)本节研究:洛必达法则2.4.2洛必达法则函数之商的极限导数之商的极限转化(或1652.4.2洛必达法则2.4.2洛必达法则1662.4.2洛必达法则2.4.2洛必达法则167洛毕达法则可以多次使用直到不再是不定式时为止洛毕达法则可以多次使用直到不再是不定式时为止168第二章一元函数微分学课件169第二章一元函数微分学课件170例题30求解:原试注意:不是不定式不能用洛必达法则!例题30求解:原试注意:不是不定式不能用洛必达法则!171例题31求解:例题31求解:172例题32求解:例题32求解:173其他不定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化其他不定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化174例题33求将上试通分后即可化为型例题33求将上试通分后即可化为型175例34.求解:

原式例34.求解:原式176例题35求例题35求177例题36求

注意：在应用洛毕达法则时，如果两个函数之比的极限不存在且不为无穷大，则不能应用该法则例题36求注意：178第二章一元函数微分学课件1792.4.3函数增减性和函数的极值一、函数单调性的判定法二、函数的极值及其判定方法2.4.3函数增减性和函数的极值一、函数单调性的判定法二、180一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I

内单调递增(递减).证:

无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I

内单调递增.在开区间I

内可导,证毕注意：定理6只是判断函数增减性的充分条件，而非必要条件一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则181例题38试证当证：设例题38试证当证：设182例题38试证当证：证毕例题38试证当证：证毕183例39.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为例39.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调184说明:

例40单调区间的分界点除外,也可是导数不存在的点.

驻点说明:例40单调区间的分界点除外,也可185驻点：使导数为零的点叫做驻点返回驻点：使导数为零的点叫做驻点返回186二、函数的极值及其判定方法定义3:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.二、函数的极值及其判定方法定义3:在其中当时,(1)则称187注意:为极大点为极小点不是极值点1)函数的极值是函数的局部性质.例如例39为极大点,是极大值是极小值为极小点,注意:为极大点为极小点不是极值点1)函数的极值是函数的局188定理7（必要条件）如果函数在点可导，且取极值，则使导数为零的点叫做函数的驻点，可导函数的极值必定是它的驻点，反之则不一定。判断驻点是否为极值点要判断该点左右的倒数符号是否发生变化，此外导数不存在的点也可能是极值点。定理7（必要条件）如果函数在点可导，且取极值，则189证：仅就取极大值做出证明，取极小值时仿此证明当时，所以当时所以因此，证毕证：仅就取极大值做出证190定理8(极值第一判别法)(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(3)若不变号，则函数在处无极值定理8(极值第一判别法)(1)“左正右负”,(2)191证：若是邻域内的一点，由拉格朗日中值定理，可知必在与之间存在一点，使对于条件(2)，当时，有；当时，，有，所以当由负变正时，为极小值对于条件(1)，当时，有；当时，，有，所以当由正变负时，为极大值如果满足条件(3)，则在的某个邻域内是单调函数，所以不是极值，也不是极值点．证：若是邻域内的一点，由拉格朗日中值定理，可知必192由定理7和定理8给出求函数极值的步骤如下：1、求导数2、找出驻点和导数不存在的点3、用定理8判定这些点是否为极值点由定理7和定理8给出求函数极值的步骤如下：1、求导数2、找出193例题41求函数的极值解：x-10.21y’+0+0-0+y增无增极大减极小增由表可知极值图象例题41求函数的极值解：x-10.21y’+0+0-0+194返回返回195例42已知直线方程,是直线外的一点,试求A到直线的距离解:设为直线方程上的任一点,设A到B的距离为z,则令得到唯一驻点例42已知直线方程196例42已知直线方程,是直线外的一点,试求A到直线的距离当时,,而当时,,从而为的极小值点,此时的就是到直线的距离,将驻点值代入中的,化简得例42已知直线方程1973、若，则不能确定是否为定理9(第二充分条件)设在点处具有二阶导数，且，则：1、若，则是的极大值2、若，则是的极小值的极值，仍需判断一阶导数在左右的符号变化情况，然后再得出结论。3、若，则不能确定是否为定理9(第二充分条件)设在点198例题43应用第二充分条件求函数的极值解:例题43应用第二充分条件求函数的极值解:199例44求的极值解:则因此,由定理9判定,函数在x=0时有极小值0,在x=1,-1时由定理8判定例44求200例45血液由细胞和血浆构成，血细胞的比重高于血浆构成，血液在血管中迅速流动时，血细胞有集中于血管中轴附近的倾向，而在靠近血管内膜的边缘部位则主要是一层血浆。边缘部位由于血管壁的摩擦力而流速较慢，愈近中轴，流动越快，此现象在流速相当高的洗血管中最为显著，称为轴流问题。轴流理论认为：血细胞速度与血浆速度的相对值依赖于血细胞的直径与它通过小血管直径之比，其关系式为其中（血细胞直径/小血管直径）<1,（血细胞速度/血浆速度）试求关于的一阶导数的极值例45血液由细胞和血浆构成，血细胞的比重高于血浆构成，201解：令，得因为所以时取极小值。由于，所以他的绝对值在处达到极大值解：令，得因202例46求当时得最大值与最小值解:该函数是一个分段函数,可写成如下形式该函数在[-5,5]内连续,但在x=3处不可导因为当时函数可导例46求当203例46求当时得最大值与最小值的导数为在讨论的区间内无驻点,因此最大值和最小值只可能在及导数不存在的点x=3处取得,在这些点处的函数值分别为:由此知函数在[-5,5]的最大值为最小值为.例46求当204最大值与最小值定义4设在闭区间[a,b]上连续，与比较，其数值最大与最在闭区间[a,b]上的最大与最小值。将区间内所有极值和端点处的函数值小者分别称为函数最大值与最小值定义4设在闭区间[a,b]上连续，与比205例47在给定容积V的条件下，做一个有盖圆柱形罐头，问当高和底半径取多少时用料最省解:设底面半径为r,高h,表面积为S,则例47在给定容积V的条件下，做一个有盖圆柱形罐头，问当高和206所以S的最小值将S对r求导得所以S的最小值将S对r求导得2072.4.4函数的凹凸性及拐点一、函数曲线的凹凸性二、曲线的拐点三、曲线的渐近线2.4.4函数的凹凸性及拐点一、函数曲线的凹凸性二、曲线的拐208定义5如果一段曲线位于它上面任意一点的切线上方，我们就称这段曲线是向上凹的，如果一段曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称这段曲线是向上凸的

一、函数曲线的凹凸性定义5如果一段曲线位于它上面任意一点的切线上方，我们就称这209如果函数定理10在区间(a,b)内具有二阶导数则在该区间上，当时，曲线向上凸，称为凸函数时，曲线