动量矩定理课件

第十一章动量矩定理TheoremofAngularMomentumLawofMomentofMomentum问题的提出：图示定轴转动刚体，质心C过转轴，恒有可见：动量只能反映刚体随质心运动的强弱，不能反映刚体绕质心转动运动强弱。本章基本内容：1.质点、质点系对点和轴的的动量矩概念及计算；2.质点、质点系对于固定点、固定轴及质心的动量矩定理；3.刚体定轴转动、刚体平面运动的微分方程及其应用。4.转动惯量概念及计算。C第十一章动量矩定理问题的提出：图示定轴转动刚体，§11–1动量矩(momentofmomentum,AngularMomentum)一、质点的动量矩对点的动量矩OxzyAFBMO(F)rdα力对点O之矩：OxzyLO=MO(mv)rα质点的动量对点O之矩（11-1）——质点的动量对O点的动量矩AmvBd——固定矢量指向：按右手法则确定大小：方向：几何表示：——度量质点绕某一点转动运动强弱的运动特征量§11–1动量矩(momentofmoment对轴的动量矩类似于力对点之矩与力对轴之矩的关系：质点的动量mv对x轴之矩：质点的动量mv对x轴之矩——代数量。其正负由右手法则确定。动量矩单位（SI）：对轴的动量矩类似于力对点之矩与力对轴之矩的关系：质点的动量二、质点系的动量矩对点O的动量矩质点系各质点的动量对某点O之矩的矢量和——质点系对O点的动量矩对轴的动量矩质点系各质点的动量对某轴之矩的代数和——质点系对某轴的动量矩二、质点系的动量矩对点O的动量矩质点系各质点的动量对某点三、定轴转动刚体对转轴的动量矩取质点Mi:质点Mi对转轴z的动量矩:刚体

对转轴z的动量矩:记:（11-15）——称为刚体对转轴z的转动惯量（11-16）

定轴转动刚体对转轴z的动量矩等于其转动惯量与角速度的乘积，转向与角速度的转向相同。三、定轴转动刚体对转轴的动量矩取质点Mi:质点Mi对§11–2转动惯量(MassMomentofInertia)

刚体各质点的质量与它们到转轴z垂直距离的平方的乘积之和一、转动惯量的基本概念——称为刚体对转轴

z

的转动惯量转动惯量Jz的特点：Jz≥0——恒正的标量影响Jz的因素：与转轴z的位置有关；与质量mi的分布有关；改变Jz的方法：1.

改变质量（密度）ρ；2.改变质量分布情况。物体转动运动惯性的度量.Jz的单位（SI）：§11–2转动惯量(MassMomentofI转动惯量改变的一个实例转动惯量改变的一个实例二、转动惯量的计算1.积分法由定义：可得——适用于质量连续分布，几何形状简单的物体。若已知密度函数：则有常见规则形状的均质物体，转轴过质心C的Jz由有关工程手册查得。zC均质杆：均质圆盘（轮）：zrC（11-19）二、转动惯量的计算1.积分法由定义：可得——适用于质量2.组合法——代数和O杆圆盘如：xy孔1孔2短形板——适用于均质、简单形状组合的物体3.实验测定法——适用于任意不规则形状，质量分布不均匀的物体。①复摆测定法；②落体观测法。（物理实验）4.转动惯量的工程实用计算公式(11-17)——m为刚体的质量；ρz

为回转半径Radiusofgyration

。注意：①ρz——相当长度。（假想将刚体的质量全部集中离转轴距离ρz

的质点上，而此质点对轴z的转动惯量Jz与原刚体对轴z

的转动惯量Jz相同。）②——其中m、Jz

由计算或实验测定，然后反算ρz

。（注意：ρz

并不是质心C到转轴的距离）2.组合法——代数和O杆圆盘如：xy孔1孔2短形板—三、转动惯量的平行轴定理OxzyCMih

设z轴过刚体的质心C，z′与z轴平行，两轴间的距离为

h

，由转动惯量的定义，有将代入，有mh2?由质心坐标的计算公式，有(11-20)——转动惯量的平行轴定理几点说明：①轴z与轴z′必须平行；②z轴必须过质心C；③过质心C的转动惯量最小。三、转动惯量的平行轴定理OxzyCMih设均质杆，质量mzC如：reOC均质圆盘，质量mω均质杆，质量mzC如：reOC均质圆盘，质量mωTheoremofAngularMomentumSampleProblem1massoflever:m1

massofplate:m2

Inthisinitialtime,angularvelocityequalsw,computeangularmomentumaboutaxispassthroughpointOperpendiculartothesurface.[solution]TheoremofAngularMomentumSammassofthehomogeneous

platewithyellowcolor:m

r=R/3

Compute

JATheoremofAngularMomentumSampleProblem2[solution]massofthehomogeneousplate§11–3质点的动量矩定理一、对固定点的动量矩定理——

质点动量对某固定点O的矩将上式两边对时间求导，有由于O点为固定点，r为绝对运动矢径，有另一方面由质点的动量定理：将上述关系代入，有（11-7）质点的动量对任一固定点的矩随时间的变化率，等于质点所受的力对该固定点的矩。——质点对固定点的动量矩定理§11–3质点的动量矩定理一、对固定点的动量矩定理—二、对固定轴的动量矩定理xyz（11-7）将上式两边同时向坐标轴投影，有（11-8）质点的动量对任一固定轴的矩随时间的变化率，等于质点所受的力对该固定轴的矩。——质点对固定轴

的动量矩定理二、对固定轴的动量矩定理xyz（11-7）将上式两边同时向坐三、动量矩守恒定理(ConservationofMomentofMomentum)（1）若：（11-9）质点的动量对该固定点的矩矢保持不变。质点运动轨迹为平面曲线；质点的矢径单位时间内扫过的面积相等，质点运动轨迹为椭圆。有心力：力的作用线始终过某一固定点，该点称为力心。有心力作用下的质点，对力心的动量矩矢始终保持不变（大小、方向）。rmvFMOh三、动量矩守恒定理(ConservationofMom三、动量矩守恒定理(ConservationofMomentofMomentum)（2）若：（11-10）若作用于质点的力对某固定点（或轴）的矩恒等于零，则质点的动量对该固定点（或轴）的矩保持不变。——动量矩守恒定理三、动量矩守恒定理(ConservationofMom§11–4质点系的动量矩定理一、对固定点的动量矩定理质点系：n个质点质点Mi：——外力——内力由质点对固定点的动量矩定理，有简写成：n个方程将上述方程组两边相加,得：考虑到：有：（11-11）（内力系的主矩恒等于零）

质点系对任一固定点的动量矩随时间的变化率，等于质点系所受外力对该固定点矩的矢量和（主矩）。——质点系对固定点的动量矩定理§11–4质点系的动量矩定理一、对固定点的动量矩定理质二、对固定轴的动量矩定理将式（11-11）向固定坐标轴投影，得（11-12）

质点系对任一固定轴的动量矩随时间的变化率，等于质点系所受外力对该固定轴矩的代数和（主矩）。——质点系对固定轴的动量矩定理注：与动量定理类似，质点系的内力不影响质点系总动量矩二、对固定轴的动量矩定理将式（11-11）向固定坐标轴投影，三、质点系动量矩守恒（1）若：（11-13）（2）若：（11-14）（各力与z轴平行或相交）——质点系动量矩守恒定理四、应用（1）有关转动运动的动力学问题转动碰撞问题；流体对叶轮的冲击力矩计算。（2）动量矩守恒时，求刚体的转动角速度或速度等注：定理中各运动量均为绝对运动量。三、质点系动量矩守恒（1）若：（11-13）（2）若：（11例3：两个转子A和B分别以角速度ωA、ωB

绕同一轴线Ox、且同方向转动，转动惯量分别为JA

和JB

，现用离合器将两转子突然结合在一起，求结合后两转子的公共角速度。解：两转子A、B——受力：——质点系对x轴的动量矩守恒计算结合前后系统对轴x

的动量矩：结合前：结合后：由质点系对x轴的动量矩守恒，有（这里假定ω与ωA

、ωB转向相同）例3：两个转子A和B分别以角速度ωA、ωB绕同一轴线例4：均质圆盘，其绕轴O的转动惯量为J

，可绕通过其中心的轴无摩擦地转动，另一质量为m2

的人由B点按规律沿距O轴半径为r的圆周运动。初始时，圆盘与人均静止。求圆盘的角速度与角加速度。解：圆盘与人一起——研究对象受力分析：动量矩关于z轴守恒计算质点系的动量矩：初始时：任意瞬时：负号说明实际转向与图中相反例4：均质圆盘，其绕轴O的转动惯量为J，可绕通过其中心的轴例题5求：此时系统的角速度zaallABCDozABCD例题5求：此时系统的角速度zaallABCDozAB例题6均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度OPW例题6均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量OPWmg解：取系统为研究对象FOxFOyv应用动量矩定理:OPWmg解：取系统为研究对象FOxFOyv应用动量矩定理:MassoftheChainWheel:M

MassoftheBlockAandB:

m1m2supposem1>m2ComputetheaccelerationofblockATheoremofAngularMomentumSampleProblem7[solution]

analyzetheforcesandkinematicsofthesystem,asthefigureshown:MassoftheChainWheel:M

MaTheoremofAngularMomentumSampleProblem7[solution]TheoremofAngularMomentumSam例8：高炉上运送矿料的卷扬机。半径为R的卷筒可绕水平轴O转动，它关于转轴O

的转动惯量为J。沿倾角为θ的斜轨被提升的重物A重W。作用在卷筒上主动转矩为M。设绳重和摩擦均可不计。试求重物的加速度。解：(1)

研究对象——卷筒与重物A整个系统(2)

受力：（所有外力）(3)

分析运动，计算系统对轴O的动量矩：——以顺时针方向为正(4)

外力对轴O的矩：s对重物A，有(5)

代入动量矩定理：方向与速度方向相同例8：高炉上运送矿料的卷扬机。半径为R的卷筒可绕水平轴O例题9

水流通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为v1和v2，二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为1和

2，水的体积流量为qV、密度为

，水流入口和出口处叶轮的半径分别为r1和r2，叶轮水平放置。求：水流对叶轮的驱动力矩。abcd例题9水流通过固定导流叶片进入叶abcdabcd解：在dt

时间间隔内，水流ABCD段的水流运动到abcd时，所受的力以及他们对O轴之矩：

重力

——由于水轮机水平放置，重力对O轴之矩等于0；

相邻水流的压力

——忽略不计；

叶轮的反作用力矩

——与水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。abcd解：在dt时间间隔内，水流重力——由abcd应用动量矩定理:Mzabcd应用动量矩定理:Mz§11–5刚体定轴转动微分方程

设定轴转动刚体作用有力：F1、F2、……、Fn，转动角速度：ω，转动惯量：Jz

，其绕轴的动量矩——其转向与ω

相同代入动量矩定理，有（11-21a）（11-21b）（11-21c）——刚体定轴转动微分方程（转动定理）

刚体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作用于刚体上的所有外力对转轴矩的代数和。§11–5刚体定轴转动微分方程设定讨论：（1）方程建立了α与Mz的瞬时关系（须在任意瞬时建立方程）（2）——匀变速转动——匀速转动——角速度ω取极值（3）则有——此时α取决于JzJz

大α

小——说明转动运动状态不易改变Jz

小α

大——说明转动运动状态容易改变——惯性大——惯性小Jz

是刚体转动运动惯性的度量应用：（1）已知外力矩Mz，求α、ω、φ=φ(t)。（2）已知α、ω、φ=φ(t)，求与力矩Mz

有关的量（力、距离等）。注意事项：（1）不能求轴承反力；（须由质心运动定理求）（2）方程两边α、ω、φ

与力矩Mz正转向规定一致；（3）只适用于同一轴转动的刚体。（一般适用于单个定轴转动刚体）讨论：（1）方程建立了α与Mz的瞬时关系（须在任意瞬时例10：复摆compoundpendulum（物理摆physicalpendulum）如图。已知摆的重量为P，摆关于转轴O的转动惯量为JO，悬挂点（轴）O到质心的距离为a，求：复摆作微幅摆动时的运动规律。解：复摆——运动分析：任意瞬时OC与x轴的夹角为φ（注：φ以增大方向为正转向）建立定轴转动微分方程，并求解（1）两边同除以JO，并整理得（2）当作微幅摆动（φ

很小）时，（3）其解为：（4）式中：常数A、α

由初始条件确定。摆动周期：（5）讨论：——转动惯量的复摆测定法原理注意：方程两边正转向规定必须一致。例10：复摆compoundpendulum（物理摆ph0OFNF例题11求：

制动所需的时间。已知：

JO

，0，FN，f

。解：取飞轮为研究对象解得:0OFNF例题11求：制动所需的时间。已知：xy例12：高炉上运送矿料的卷扬机。均质卷筒半径为R，重量为G。沿倾角为θ的斜轨被提升的重物A重W。作用在卷筒上主动转矩为M。斜面与重物间摩擦因素为μ，绳重可不计。试求重物的加速度。解：(1)

研究对象——卷筒OOM（1）A(2)

研究对象——重物A（2）（3）（4）(3)

运动学关系：（5）联立求解，得如何求轴承反力？需对卷筒用质心运动定理。讨论：xy例12：高炉上运送矿料的卷扬机。均质卷筒半径为R，重量ⅠⅡM1M2例题13已知：

J1

，J2

，R1，R2

，

i12=

R2/R1，

M1

，

M2

。求：

轴Ⅰ的角加速度。ⅠⅡM1M2例题13已知：J1，J2，R1ⅠⅡM1M2M2M112FFnF′Fn′解：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象解得：ⅠⅡM1M2M2M112FFnF′Fn′解：分别取轴Ⅰ和例14：

转子Ⅰ对自身转轴的转动惯量为J1=1kg·m2，转子Ⅱ对其转轴的转动惯量为J2=1.5kg·m2，两轴的齿数之比k=z1/z2=1/2，如图所示。设转子Ⅰ上作用有转矩为M的力偶，使转子Ⅰ自静止开始匀加速转动，经过10s

转速达n1=1500r/min

。已知轴Ⅰ上齿轮的节圆半径为r1=100mm，轴承摩擦不计。试计算转矩M和齿轮的圆周力Ft

。解：运动分析：——转向与M相同（1）轴Ⅱ——外啮合，α1

与α2

转向相反——两边都以逆时针为正（2）——两边都以顺时针为正由传动比概念，有轴Ⅰ——利用：联立求解（1）（2）得几点注意：（1）对每一轴分别列方程；（2）方程两边正转向规定一致；（3）α1

与α2

转向协调。例14：转子Ⅰ对自身例15：图示系统。均质圆轮A：质量m1，半径r1，以角速度ω绕轴A转动；均质圆轮B：质量m2，半径r2，绕轴B转动，初始静止；现将轮A放置在轮B上，问自A轮放在B轮上到两轮间无相对滑动为止，需用多少时间。设两轮间的摩擦因素为μ

，略去轴承摩擦和杆OA的质量。解：AB假设两轮的角加速度分别为：转向如图轮A——（1）y（2）（3）求解得任意瞬时角速度：轮B——（4）（5）例15：图示系统。均质圆轮A：质量m1，半径r1，（6）无相对滑动的条件：将式（4）（6）代入得：ABy（4）其中：（6）无相对滑动的条件：将式（4）（6）代入得：ABy（4）OFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除约束前：

FOx=0,FOy=mg/2突然解除约束瞬时：

FOx=？,FOy=？

关于突然解除约束问题例16OFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除约束前：突然

突然解除约束瞬时，杆OA将绕O轴转动，不再是静力学问题。这时，0，0。需要先求出，再确定约束力。OFOxFOyW=mgAC应用定轴转动微分方程应用质心运动定理解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，加速度与角加速度将发生突变。突然解除约束问题的特点系统的自由度一般会增加；突然解除约束瞬时，杆OA将绕OFOxFOyW=mgAC例17：均质圆盘，质量为m，半径为R，不计轴承摩擦，图示位置，OB处于水平。现将绳子BD突然切断，求：切断瞬时轴承O处的反力。BCOD解：分析：需先求圆盘角速度与角加速度：质心的加速度：再求轴承反力。圆盘——mgnτ列写定轴转动微分方程：切断瞬时圆盘的角速度为：质心的加速度：——以顺时针为正代入质心运动定理：

实际方向与图中相反例17：均质圆盘，质量为m，半径为R，不计轴承摩擦，图§11-6质点系相对于质心的动量矩定理miri′Oyxzriy′x′z′CvirC由质心坐标公式，有一、质点系对质心的动量矩计算§11-6质点系相对于质心的动量矩定理miri′Oyxz§11-6质点系相对于质心的动量矩定理miri′Oyxzriy′x′z′CvirC二、质点系对质心的动量矩定理§11-6质点系相对于质心的动量矩定理miri′Oyxz动量矩定理课件

质点系相对于质心(平移系)的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩，这就是质点系相对于质心(平移系)的动量矩定理。

这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。

当外力对质心的主矩为0时，质点系相对于质心(平移系)的动量矩对时间

例18

均质圆盘质量为2m，半径为r。细杆OA质量为m，长为l＝3r，绕轴O转动的角速度为w、求下列三种情况下系统对轴O的动量矩：(a)圆盘与杆固结；(b)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w逆时针方向转动；(c)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w顺时针方向转动。解：(a)圆盘与杆固结例18均质圆盘质量为2m，半径为r。细杆OA质量为m，长解：(b)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w逆时针方向转动刚体的平面运动可以分解为随质心（以质心为基点）的平动和绕质心的转动。miri′Oyxzriy′x′z′CvirC先将前面质系动量矩的计算应用到刚体平面运动中来：解：(b)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w逆时针方向转动(b)(c)(b)(c)§11-7刚体的平面运动微分方程

由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有：

F1F2FnOyxx′y′CD

§11-7刚体的平面运动微分方程由质心运动定刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程例题19已知：

m

，R,f

，。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。CFNmg(a)斜面光滑aC解：取圆轮为研究对象

圆盘作平动例题19已知：m，R,f，。就下列各种情C(b)斜面足够粗糙F由

得：

满足纯滚的条件：FNmgaCC(b)斜面足够粗糙F由(c)斜面介于上述两者之间圆盘既滚又滑CFFNmgaC(c)斜面介于上述两者之间圆盘既滚又滑CFFNmgaCFC例题20

平板质量为m1，受水平力F作用而沿水平面运动，板与水平面间的动摩擦系数为f，平板上放一质量为m2的均质圆柱，它相对平板只滚动不滑动。

求平板的加速度。

FC例题20平板质量为m1，受水平力FFCFCF1FN1FN2F2′FN2′F2m1gm2gaaCar解：取圆轮和板为研究对象对板：对圆轮：已知：m1,m2,R,f,F

。求：板的加速度。FCFCF1FN1FN2F2′FN2′F2m1gm2gaa例21

均质圆柱体A和B质量均为m，半径均为r。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。解：取A分析，受力如图。A作定轴转动，应用定轴转动的微分方程有其中aAFTmgFOxFOyOAF'TmgaBCDBaC取B分析，受力如图。B作平面运动。应用平面运动的微分方程有由运动学关系aD＝raA,，而由加速度合成定理有D例21均质圆柱体A和B质量均为m，半径均为r。圆柱A可绕例22

均质杆质量为m，长为l，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿着铅垂墙壁，从图示位置无初速地滑下。不计摩擦，求开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束反力。解：以杆AB为研究对象，分析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB杆作平面运动，设质心C的加速度为aCx、aCy，角加速度为a。aaCxaCy由刚体平面运动微分方程mg例22均质杆质量为m，长为l，在铅直平面内一端沿着水平地BqCAyx以C点为基点，则A点的加速度为再以C点为基点，则B点的加速度为aAaaBaCxaCyatBCatAC在运动开始时,w＝0,故,将上式投影到y

轴上，得an＝0AC同理， ，将上式投影到x轴上，得an＝0BCBqCAyx以C点为基点，则A点的加速度为再以C点为基点，则联立求解(1)~(5)式，并注意到可得注：亦可由坐标法求出(4)、(5)式：运动开始时，，故BqCAxy联立求解(1)~(5)式，并注意到可得注：亦可由坐标法jAxCB例23

如图质量为m的均质杆AB用细绳吊住，已知两绳与水平方向的夹角为j。求B端绳断开瞬时，A端绳的张力。解：取杆分析，建立如图坐标。有AB作平面运动，以A为基点，则jjABFT因为断开初瞬时,vA＝0,w＝0,故,an＝0Aan＝0CA将上式投影到x轴上，得an

CAat

CAat

Aan

AajAxCBaaCxmgjAxCB例23如图质量为m的均质杆AB用细绳吊住，已知例24

长l，质量为m的均质杆AB和BC用铰链B联接，并用铰链A固定，位于平衡位置。今在C端作用一水平力F，求此瞬时，两杆的角加速度。解：分别以AB和BC为研究对象，受力如图。AB和BC分别作定轴转动和平面运动。对AB由定轴转动的微分方程得CBAFABFAxFBxFByaBWaABFAy例24长l，质量为m的均质杆AB和BC用铰BC作平面运动，取B为基点，则将以上矢量式投影到水平方向，得(4)由(1)~(4)联立解得对BC由刚体平面运动的微分方程得(2)(3)BGCaBCFWaGxaGyatGBF'ByF'BxBC作平面运动，取B为基点，则将以上矢量式投影到水平方向，得例25

行星齿轮机构的曲柄OO1受力矩M作用而绕固定铅直轴O转动，并带动齿轮O1在固定水平齿轮O上滚动如图所示。设曲柄OO1为均质杆，长l、重P；齿轮O1为均质圆盘，半径r

、重Q。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。

解：以曲柄为研究对象，曲柄作定轴转动，列出定轴转动微分方程OO1MO1OaFnFtRnRtM例25行星齿轮机构的曲柄OO1受力矩M作用而绕固定由运动学关系，有联立求解(1)~(4)，得O1F'nF'tTNatana1取齿轮O1分析，齿轮O1作平面运动MO1OaFnFtRnRt由运动学关系，有联立求解(1)~(4)，得O1F'nF'Thankyou！Thankyou！第十一章动量矩定理TheoremofAngularMomentumLawofMomentofMomentum问题的提出：图示定轴转动刚体，质心C过转轴，恒有可见：动量只能反映刚体随质心运动的强弱，不能反映刚体绕质心转动运动强弱。本章基本内容：1.质点、质点系对点和轴的的动量矩概念及计算；2.质点、质点系对于固定点、固定轴及质心的动量矩定理；3.刚体定轴转动、刚体平面运动的微分方程及其应用。4.转动惯量概念及计算。C第十一章动量矩定理问题的提出：图示定轴转动刚体，§11–1动量矩(momentofmomentum,AngularMomentum)一、质点的动量矩对点的动量矩OxzyAFBMO(F)rdα力对点O之矩：OxzyLO=MO(mv)rα质点的动量对点O之矩（11-1）——质点的动量对O点的动量矩AmvBd——固定矢量指向：按右手法则确定大小：方向：几何表示：——度量质点绕某一点转动运动强弱的运动特征量§11–1动量矩(momentofmoment对轴的动量矩类似于力对点之矩与力对轴之矩的关系：质点的动量mv对x轴之矩：质点的动量mv对x轴之矩——代数量。其正负由右手法则确定。动量矩单位（SI）：对轴的动量矩类似于力对点之矩与力对轴之矩的关系：质点的动量二、质点系的动量矩对点O的动量矩质点系各质点的动量对某点O之矩的矢量和——质点系对O点的动量矩对轴的动量矩质点系各质点的动量对某轴之矩的代数和——质点系对某轴的动量矩二、质点系的动量矩对点O的动量矩质点系各质点的动量对某点三、定轴转动刚体对转轴的动量矩取质点Mi:质点Mi对转轴z的动量矩:刚体

对转轴z的动量矩:记:（11-15）——称为刚体对转轴z的转动惯量（11-16）

定轴转动刚体对转轴z的动量矩等于其转动惯量与角速度的乘积，转向与角速度的转向相同。三、定轴转动刚体对转轴的动量矩取质点Mi:质点Mi对§11–2转动惯量(MassMomentofInertia)

刚体各质点的质量与它们到转轴z垂直距离的平方的乘积之和一、转动惯量的基本概念——称为刚体对转轴

z

的转动惯量转动惯量Jz的特点：Jz≥0——恒正的标量影响Jz的因素：与转轴z的位置有关；与质量mi的分布有关；改变Jz的方法：1.

改变质量（密度）ρ；2.改变质量分布情况。物体转动运动惯性的度量.Jz的单位（SI）：§11–2转动惯量(MassMomentofI转动惯量改变的一个实例转动惯量改变的一个实例二、转动惯量的计算1.积分法由定义：可得——适用于质量连续分布，几何形状简单的物体。若已知密度函数：则有常见规则形状的均质物体，转轴过质心C的Jz由有关工程手册查得。zC均质杆：均质圆盘（轮）：zrC（11-19）二、转动惯量的计算1.积分法由定义：可得——适用于质量2.组合法——代数和O杆圆盘如：xy孔1孔2短形板——适用于均质、简单形状组合的物体3.实验测定法——适用于任意不规则形状，质量分布不均匀的物体。①复摆测定法；②落体观测法。（物理实验）4.转动惯量的工程实用计算公式(11-17)——m为刚体的质量；ρz

为回转半径Radiusofgyration

。注意：①ρz——相当长度。（假想将刚体的质量全部集中离转轴距离ρz

的质点上，而此质点对轴z的转动惯量Jz与原刚体对轴z

的转动惯量Jz相同。）②——其中m、Jz

由计算或实验测定，然后反算ρz

。（注意：ρz

并不是质心C到转轴的距离）2.组合法——代数和O杆圆盘如：xy孔1孔2短形板—三、转动惯量的平行轴定理OxzyCMih

设z轴过刚体的质心C，z′与z轴平行，两轴间的距离为

h

，由转动惯量的定义，有将代入，有mh2?由质心坐标的计算公式，有(11-20)——转动惯量的平行轴定理几点说明：①轴z与轴z′必须平行；②z轴必须过质心C；③过质心C的转动惯量最小。三、转动惯量的平行轴定理OxzyCMih设均质杆，质量mzC如：reOC均质圆盘，质量mω均质杆，质量mzC如：reOC均质圆盘，质量mωTheoremofAngularMomentumSampleProblem1massoflever:m1

massofplate:m2

Inthisinitialtime,angularvelocityequalsw,computeangularmomentumaboutaxispassthroughpointOperpendiculartothesurface.[solution]TheoremofAngularMomentumSammassofthehomogeneous

platewithyellowcolor:m

r=R/3

Compute

JATheoremofAngularMomentumSampleProblem2[solution]massofthehomogeneousplate§11–3质点的动量矩定理一、对固定点的动量矩定理——

质点动量对某固定点O的矩将上式两边对时间求导，有由于O点为固定点，r为绝对运动矢径，有另一方面由质点的动量定理：将上述关系代入，有（11-7）质点的动量对任一固定点的矩随时间的变化率，等于质点所受的力对该固定点的矩。——质点对固定点的动量矩定理§11–3质点的动量矩定理一、对固定点的动量矩定理—二、对固定轴的动量矩定理xyz（11-7）将上式两边同时向坐标轴投影，有（11-8）质点的动量对任一固定轴的矩随时间的变化率，等于质点所受的力对该固定轴的矩。——质点对固定轴

的动量矩定理二、对固定轴的动量矩定理xyz（11-7）将上式两边同时向坐三、动量矩守恒定理(ConservationofMomentofMomentum)（1）若：（11-9）质点的动量对该固定点的矩矢保持不变。质点运动轨迹为平面曲线；质点的矢径单位时间内扫过的面积相等，质点运动轨迹为椭圆。有心力：力的作用线始终过某一固定点，该点称为力心。有心力作用下的质点，对力心的动量矩矢始终保持不变（大小、方向）。rmvFMOh三、动量矩守恒定理(ConservationofMom三、动量矩守恒定理(ConservationofMomentofMomentum)（2）若：（11-10）若作用于质点的力对某固定点（或轴）的矩恒等于零，则质点的动量对该固定点（或轴）的矩保持不变。——动量矩守恒定理三、动量矩守恒定理(ConservationofMom§11–4质点系的动量矩定理一、对固定点的动量矩定理质点系：n个质点质点Mi：——外力——内力由质点对固定点的动量矩定理，有简写成：n个方程将上述方程组两边相加,得：考虑到：有：（11-11）（内力系的主矩恒等于零）

质点系对任一固定点的动量矩随时间的变化率，等于质点系所受外力对该固定点矩的矢量和（主矩）。——质点系对固定点的动量矩定理§11–4质点系的动量矩定理一、对固定点的动量矩定理质二、对固定轴的动量矩定理将式（11-11）向固定坐标轴投影，得（11-12）

质点系对任一固定轴的动量矩随时间的变化率，等于质点系所受外力对该固定轴矩的代数和（主矩）。——质点系对固定轴的动量矩定理注：与动量定理类似，质点系的内力不影响质点系总动量矩二、对固定轴的动量矩定理将式（11-11）向固定坐标轴投影，三、质点系动量矩守恒（1）若：（11-13）（2）若：（11-14）（各力与z轴平行或相交）——质点系动量矩守恒定理四、应用（1）有关转动运动的动力学问题转动碰撞问题；流体对叶轮的冲击力矩计算。（2）动量矩守恒时，求刚体的转动角速度或速度等注：定理中各运动量均为绝对运动量。三、质点系动量矩守恒（1）若：（11-13）（2）若：（11例3：两个转子A和B分别以角速度ωA、ωB

绕同一轴线Ox、且同方向转动，转动惯量分别为JA

和JB

，现用离合器将两转子突然结合在一起，求结合后两转子的公共角速度。解：两转子A、B——受力：——质点系对x轴的动量矩守恒计算结合前后系统对轴x

的动量矩：结合前：结合后：由质点系对x轴的动量矩守恒，有（这里假定ω与ωA

、ωB转向相同）例3：两个转子A和B分别以角速度ωA、ωB绕同一轴线例4：均质圆盘，其绕轴O的转动惯量为J

，可绕通过其中心的轴无摩擦地转动，另一质量为m2

的人由B点按规律沿距O轴半径为r的圆周运动。初始时，圆盘与人均静止。求圆盘的角速度与角加速度。解：圆盘与人一起——研究对象受力分析：动量矩关于z轴守恒计算质点系的动量矩：初始时：任意瞬时：负号说明实际转向与图中相反例4：均质圆盘，其绕轴O的转动惯量为J，可绕通过其中心的轴例题5求：此时系统的角速度zaallABCDozABCD例题5求：此时系统的角速度zaallABCDozAB例题6均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度OPW例题6均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量OPWmg解：取系统为研究对象FOxFOyv应用动量矩定理:OPWmg解：取系统为研究对象FOxFOyv应用动量矩定理:MassoftheChainWheel:M

MassoftheBlockAandB:

m1m2supposem1>m2ComputetheaccelerationofblockATheoremofAngularMomentumSampleProblem7[solution]

analyzetheforcesandkinematicsofthesystem,asthefigureshown:MassoftheChainWheel:M

MaTheoremofAngularMomentumSampleProblem7[solution]TheoremofAngularMomentumSam例8：高炉上运送矿料的卷扬机。半径为R的卷筒可绕水平轴O转动，它关于转轴O

的转动惯量为J。沿倾角为θ的斜轨被提升的重物A重W。作用在卷筒上主动转矩为M。设绳重和摩擦均可不计。试求重物的加速度。解：(1)

研究对象——卷筒与重物A整个系统(2)

受力：（所有外力）(3)

分析运动，计算系统对轴O的动量矩：——以顺时针方向为正(4)

外力对轴O的矩：s对重物A，有(5)

代入动量矩定理：方向与速度方向相同例8：高炉上运送矿料的卷扬机。半径为R的卷筒可绕水平轴O例题9

水流通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为v1和v2，二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为1和

2，水的体积流量为qV、密度为

，水流入口和出口处叶轮的半径分别为r1和r2，叶轮水平放置。求：水流对叶轮的驱动力矩。abcd例题9水流通过固定导流叶片进入叶abcdabcd解：在dt

时间间隔内，水流ABCD段的水流运动到abcd时，所受的力以及他们对O轴之矩：

重力

——由于水轮机水平放置，重力对O轴之矩等于0；

相邻水流的压力

——忽略不计；

叶轮的反作用力矩

——与水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。abcd解：在dt时间间隔内，水流重力——由abcd应用动量矩定理:Mzabcd应用动量矩定理:Mz§11–5刚体定轴转动微分方程

设定轴转动刚体作用有力：F1、F2、……、Fn，转动角速度：ω，转动惯量：Jz

，其绕轴的动量矩——其转向与ω

相同代入动量矩定理，有（11-21a）（11-21b）（11-21c）——刚体定轴转动微分方程（转动定理）

刚体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作用于刚体上的所有外力对转轴矩的代数和。§11–5刚体定轴转动微分方程设定讨论：（1）方程建立了α与Mz的瞬时关系（须在任意瞬时建立方程）（2）——匀变速转动——匀速转动——角速度ω取极值（3）则有——此时α取决于JzJz

大α

小——说明转动运动状态不易改变Jz

小α

大——说明转动运动状态容易改变——惯性大——惯性小Jz

是刚体转动运动惯性的度量应用：（1）已知外力矩Mz，求α、ω、φ=φ(t)。（2）已知α、ω、φ=φ(t)，求与力矩Mz

有关的量（力、距离等）。注意事项：（1）不能求轴承反力；（须由质心运动定理求）（2）方程两边α、ω、φ

与力矩Mz正转向规定一致；（3）只适用于同一轴转动的刚体。（一般适用于单个定轴转动刚体）讨论：（1）方程建立了α与Mz的瞬时关系（须在任意瞬时例10：复摆compoundpendulum（物理摆physicalpendulum）如图。已知摆的重量为P，摆关于转轴O的转动惯量为JO，悬挂点（轴）O到质心的距离为a，求：复摆作微幅摆动时的运动规律。解：复摆——运动分析：任意瞬时OC与x轴的夹角为φ（注：φ以增大方向为正转向）建立定轴转动微分方程，并求解（1）两边同除以JO，并整理得（2）当作微幅摆动（φ

很小）时，（3）其解为：（4）式中：常数A、α

由初始条件确定。摆动周期：（5）讨论：——转动惯量的复摆测定法原理注意：方程两边正转向规定必须一致。例10：复摆compoundpendulum（物理摆ph0OFNF例题11求：

制动所需的时间。已知：

JO

，0，FN，f

。解：取飞轮为研究对象解得:0OFNF例题11求：制动所需的时间。已知：xy例12：高炉上运送矿料的卷扬机。均质卷筒半径为R，重量为G。沿倾角为θ的斜轨被提升的重物A重W。作用在卷筒上主动转矩为M。斜面与重物间摩擦因素为μ，绳重可不计。试求重物的加速度。解：(1)

研究对象——卷筒OOM（1）A(2)

研究对象——重物A（2）（3）（4）(3)

运动学关系：（5）联立求解，得如何求轴承反力？需对卷筒用质心运动定理。讨论：xy例12：高炉上运送矿料的卷扬机。均质卷筒半径为R，重量ⅠⅡM1M2例题13已知：

J1

，J2

，R1，R2

，

i12=

R2/R1，

M1

，

M2

。求：

轴Ⅰ的角加速度。ⅠⅡM1M2例题13已知：J1，J2，R1ⅠⅡM1M2M2M112FFnF′Fn′解：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象解得：ⅠⅡM1M2M2M112FFnF′Fn′解：分别取轴Ⅰ和例14：

转子Ⅰ对自身转轴的转动惯量为J1=1kg·m2，转子Ⅱ对其转轴的转动惯量为J2=1.5kg·m2，两轴的齿数之比k=z1/z2=1/2，如图所示。设转子Ⅰ上作用有转矩为M的力偶，使转子Ⅰ自静止开始匀加速转动，经过10s

转速达n1=1500r/min

。已知轴Ⅰ上齿轮的节圆半径为r1=100mm，轴承摩擦不计。试计算转矩M和齿轮的圆周力Ft

。解：运动分析：——转向与M相同（1）轴Ⅱ——外啮合，α1

与α2

转向相反——两边都以逆时针为正（2）——两边都以顺时针为正由传动比概念，有轴Ⅰ——利用：联立求解（1）（2）得几点注意：（1）对每一轴分别列方程；（2）方程两边正转向规定一致；（3）α1

与α2

转向协调。例14：转子Ⅰ对自身例15：图示系统。均质圆轮A：质量m1，半径r1，以角速度ω绕轴A转动；均质圆轮B：质量m2，半径r2，绕轴B转动，初始静止；现将轮A放置在轮B上，问自A轮放在B轮上到两轮间无相对滑动为止，需用多少时间。设两轮间的摩擦因素为μ

，略去轴承摩擦和杆OA的质量。解：AB假设两轮的角加速度分别为：转向如图轮A——（1）y（2）（3）求解得任意瞬时角速度：轮B——（4）（5）例15：图示系统。均质圆轮A：质量m1，半径r1，（6）无相对滑动的条件：将式（4）（6）代入得：ABy（4）其中：（6）无相对滑动的条件：将式（4）（6）代入得：ABy（4）OFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除约束前：

FOx=0,FOy=mg/2突然解除约束瞬时：

FOx=？,FOy=？

关于突然解除约束问题例16OFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除约束前：突然

突然解除约束瞬时，杆OA将绕O轴转动，不再是静力学问题。这时，0，0。需要先求出，再确定约束力。OFOxFOyW=mgAC应用定轴转动微分方程应用质心运动定理解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，加速度与角加速度将发生突变。突然解除约束问题的特点系统的自由度一般会增加；突然解除约束瞬时，杆OA将绕OFOxFOyW=mgAC例17：均质圆盘，质量为m，半径为R，不计轴承摩擦，图示位置，OB处于水平。现将绳子BD突然切断，求：切断瞬时轴承O处的反力。BCOD解：分析：需先求圆盘角速度与角加速度：质心的加速度：再求轴承反力。圆盘——mgnτ列写定轴转动微分方程：切断瞬时圆盘的角速度为：质心的加速度：——以顺时针为正代入质心运动定理：

实际方向与图中相反例17：均质圆盘，质量为m，半径为R，不计轴承摩擦，图§11-6质点系相对于质心的动量矩定理miri′Oyxzriy′x′z′CvirC由质心坐标公式，有一、质点系对质心的动量矩计算§11-6质点系相对于质心的动量矩定理miri′Oyxz§11-6质点系相对于质心的动量矩定理miri′Oyxzriy′x′z′CvirC二、质点系对质心的动量矩定理§11-6质点系相对于质心的动量矩定理miri′Oyxz动量矩定理课件

质点系相对于质心(平移系)的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩，这就是质点系相对于质心(平移系)的动量矩定理。

这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。

当外力对质心的主矩为0时，质点系相对于质心(平移系)的动量矩对时间

例18

均质圆盘质量为2m，半径为r。细杆OA质量为m，长为l＝3r，绕轴O转动的角速度为w、求下列三种情况下系统对轴O的动量矩：(a)圆盘与杆固结；(b)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w逆时针方向转动；(c)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w顺时针方向转动。解：(a)圆盘与杆固结例18均质圆盘质量为2m，半径为r。细杆OA质量为m，长解：(b)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w逆时针方向转动刚体的平面运动可以分解为随质心（以质心为基点）的平动和绕质心的转动。miri′Oyxzriy′x′z′CvirC先将前面质系动量矩的计算应用到刚体平面运动中来：解：(b)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w逆时针方向转动(b)(c)(b)(c)§11-7刚体的平面运动微分方程

由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有：

F1F2FnOyxx′y′CD

§11-7刚体的平面运动微分方程由质心运动定刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程例题19已知：

m

，R,f

，。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。CFNmg(a)斜面光滑aC解：取圆轮为研究对象

圆盘作平动例题19已知：m，R