2017-2019三年高考数学(理科)分类汇编专题08平面解析几何(解答题)

..专题08平面解析几何〔解答题1．[2019年高考全国Ⅰ卷理数]已知抛物线C：y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P．〔1若|AF|+|BF|=4,求l的方程；〔2若,求|AB|．[答案]〔1；〔2.[解析]设直线．〔1由题设得,故,由题设可得．由,可得,则．从而,得．所以的方程为．〔2由可得．由,可得．所以．从而,故．代入的方程得．故．[名师点睛]本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及平面向量、弦长的求解方法,解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,利用根与系数的关系构造等量关系.2．[2019年高考全国Ⅱ卷理数]已知点A<−2,0>,B<2,0>,动点M<x,y>满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.〔1求C的方程,并说明C是什么曲线；〔2过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.〔i证明：是直角三角形；〔ii求面积的最大值.[答案]〔1见解析；〔2〔i见解析；〔ii.[解析]〔1由题设得,化简得,所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点．〔2〔i设直线PQ的斜率为k,则其方程为．由得．记,则．于是直线的斜率为,方程为．由得．①设,则和是方程①的解,故,由此得．从而直线的斜率为．所以,即是直角三角形．〔ii由〔i得,,所以△PQG的面积．设t=k+,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号．因为在[2,+∞单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为．因此,△PQG面积的最大值为．[名师点睛]本题考查了求椭圆的标准方程,以及利用直线与椭圆的位置关系,判断三角形形状以及三角形面积最大值问题,考查了数学运算能力,考查了求函数最大值问题.3．[2019年高考全国Ⅲ卷理数]已知曲线C：y=,D为直线y=上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.〔1证明：直线AB过定点：〔2若以E<0,>为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.[答案]〔1见详解；〔23或.[解析]〔1设,则.由于,所以切线DA的斜率为,故.整理得设,同理可得.故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.〔2由〔1得直线AB的方程为.由,可得.于是,.设分别为点D,E到直线AB的距离,则.因此,四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点,则.由于,而,与向量平行,所以.解得t=0或.当=0时,S=3；当时,.因此,四边形ADBE的面积为3或.[名师点睛]此题第一问是圆锥曲线中的定点问题,第二问是求面积类型,属于常规题型,按部就班地求解就可以,思路较为清晰,但计算量不小.4．[2019年高考北京卷理数]已知抛物线C：x2=−2py经过点〔2,−1．〔1求抛物线C的方程及其准线方程；〔2设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=−1分别交直线OM,ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．[答案]〔1抛物线的方程为,准线方程为；〔2见解析.[解析]〔1由抛物线经过点,得.所以抛物线的方程为,其准线方程为.〔2抛物线的焦点为.设直线的方程为.由得.设,则.直线的方程为.令,得点A的横坐标.同理得点B的横坐标.设点,则,.令,即,则或.综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.[名师点睛]本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定,直线与抛物线的位置关系,圆的性质及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．[2019年高考天津卷理数]设椭圆的左焦点为,上顶点为．已知椭圆的短轴长为4,离心率为．〔1求椭圆的方程；〔2设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线与轴的交点,点在轴的负半轴上．若〔为原点,且,求直线的斜率．[答案]〔1；〔2或．[解析]〔1设椭圆的半焦距为,依题意,,又,可得,．所以,椭圆的方程为．〔2由题意,设．设直线的斜率为,又,则直线的方程为,与椭圆方程联立整理得,可得,代入得,进而直线的斜率．在中,令,得．由题意得,所以直线的斜率为．由,得,化简得,从而．所以,直线的斜率为或．[名师点睛]本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力．6．[2019年高考XX卷]如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的焦点为F1〔–1、0,F2〔1,0．过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1．已知DF1=．〔1求椭圆C的标准方程；〔2求点E的坐标．[答案]〔1；〔2.[解析]〔1设椭圆C的焦距为2c.因为F1<−1,0>,F2<1,0>,所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=,AF2⊥x轴,所以DF2=,因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2−c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为.〔2解法一：由〔1知,椭圆C：,a=2,因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程<x−1>2+y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方,所以A<1,4>.又F1<−1,0>,所以直线AF1：y=2x+2.由,得,解得或.将代入,得 ,因此.又F2<1,0>,所以直线BF2：.由,得,解得或.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以.将代入,得.因此.解法二：由〔1知,椭圆C：.如图,连结EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B,所以∠A=∠B,所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.因为F1<−1,0>,由,得.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以.因此.[名师点睛]本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.7．[2019年高考XX卷]如图,已知点为抛物线的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧．记的面积分别为．〔1求p的值及抛物线的准线方程；〔2求的最小值及此时点G的坐标．[答案]〔1p=2,准线方程为x=−1；〔2最小值为,此时G〔2,0．[解析]〔1由题意得,即p=2.所以,抛物线的准线方程为x=−1.〔2设,重心.令,则.由于直线AB过F,故直线AB方程为,代入,得,故,即,所以.又由于及重心G在x轴上,故,得.所以,直线AC方程为,得.由于Q在焦点F的右侧,故.从而.令,则m>0,.当时,取得最小值,此时G〔2,0．[名师点睛]本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.8．[2017年高考全国III卷理数]已知抛物线C：y2=2x,过点〔2,0的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.〔1证明：坐标原点O在圆M上；〔2设圆M过点,求直线l与圆M的方程.[答案]〔1见解析；〔2直线的方程为,圆的方程为,或直线的方程为,圆的方程为[解析]〔1设,.由可得,则.又,故.因此的斜率与的斜率之积为,所以.故坐标原点在圆上.〔2由〔1可得.故圆心的坐标为,圆的半径.由于圆过点,因此,故,即,由〔1可得.所以,解得或.当时,直线的方程为,圆心的坐标为,圆的半径为,圆的方程为.当时,直线的方程为,圆心的坐标为,圆的半径为,圆的方程为.[名师点睛]直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时,要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题,可以利用"点差法",但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.9．[2017年高考XX卷]如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,两准线之间的距离为8．点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线．〔1求椭圆的标准方程；〔2若直线,的交点在椭圆上,求点的坐标．〔注：椭圆的准线方程：[答案]〔1；〔2．[解析]〔1设椭圆的半焦距为c．因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以,,解得,于是,因此椭圆E的标准方程是．〔2由〔1知,,．设,因为为第一象限的点,故．当时,与相交于,与题设不符．当时,直线的斜率为,直线的斜率为．因为,,所以直线的斜率为,直线的斜率为,从而直线的方程：①,直线的方程：②．由①②,解得,所以．因为点在椭圆上,由对称性,得,即或．又在椭圆E上,故．由,解得；,无解．因此点P的坐标为．[名师点睛]直线与圆锥曲线的位置关系,一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用根与系数关系或求根公式进行转化,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上〔点的坐标满足曲线方程等．10．[2017年高考XX卷]如图,已知抛物线,点A,,抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线,垂足为Q．〔1求直线AP斜率的取值范围；〔2求的最大值．[答案]〔1；〔2．[解析]〔1设直线AP的斜率为k,,因为,所以直线AP斜率的取值范围是．〔2联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是．因为|PA|==,|PQ|=,所以．令,因为,所以f<k>在区间上单调递增,上单调递减,因此当k=时,取得最大值．[名师点睛]本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力,通过表达与的长度,通过函数求解的最大值．11．[2018年高考全国Ⅱ卷理数]设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,．〔1求的方程；〔2求过点,且与的准线相切的圆的方程．[答案]〔1；〔2或．[解析]〔1由题意得,l的方程为．设,由得．,故．所以．由题设知,解得〔舍去,．因此l的方程为．〔2由〔1得AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线方程为,即．设所求圆的圆心坐标为,则解得或因此所求圆的方程为或．12．[2018年高考北京卷理数]已知抛物线C：=2px经过点〔1,2．过点Q〔0,1的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N．〔1求直线l的斜率的取值范围；〔2设O为原点,,,求证：为定值．[答案]〔1〔-∞,-3∪〔-3,0∪〔0,1；〔2见解析.[解析]〔1因为抛物线y2=2px经过点P〔1,2,所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1〔k≠0．由得．依题意,解得k<0或0<k<1．又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点〔1,-2．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是〔-∞,-3∪〔-3,0∪〔0,1．〔2设A〔x1,y1,B〔x2,y2．由〔1知,．直线PA的方程为．令x=0,得点M的纵坐标为．同理得点N的纵坐标为．由,得,．所以．所以为定值．13．[2018年高考全国Ⅰ卷理数]设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为．〔1当与轴垂直时,求直线的方程；〔2设为坐标原点,证明：．[答案]〔1或；〔2见解析.[解析]〔1由已知得,l的方程为x=1．由已知可得,点A的坐标为或,所以AM的方程为或．〔2当l与x轴重合时,．当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以．当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为,,则,直线MA,MB的斜率之和为．由得．将代入得．所以,则．从而,故MA,MB的倾斜角互补,所以．综上,．14．[2018年高考全国Ⅲ卷理数]已知斜率为的直线与椭圆交于,两点,线段的中点为．〔1证明：；〔2设为的右焦点,为上一点,且．证明：,,成等差数列,并求该数列的公差．[答案]〔1见解析；〔2见解析.[解析]〔1设,则．两式相减,并由得．由题设知,于是．由题设得,故．〔2由题意得,设,则．由〔1及题设得．又点P在C上,所以,从而,．于是,同理,所以,故,即成等差数列．设该数列的公差为d,则．①将代入得,所以l的方程为,代入C的方程,并整理得,故,代入①解得,所以该数列的公差为或．15．[2018年高考XX卷]如图,在平面直角坐标系中,椭圆过点,焦点,圆O的直径为．〔1求椭圆C及圆O的方程；〔2设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为,求直线l的方程．[答案]〔1椭圆C的方程为,圆O的方程为；〔2①；②．[解析]〔1因为椭圆C的焦点为,可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上,所以,解得因此椭圆C的方程为．因为圆O的直径为,所以其方程为．〔2①设直线l与圆O相切于,则,所以直线l的方程为,即．由消去y,得．〔*因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以．因为,所以．因此点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为,所以,从而．设,由〔*得,所以．因为,所以,即,解得舍去,则,因此P的坐标为．综上,直线l的方程为．16．[2018年高考XX卷]如图,已知点P是y轴左侧<不含y轴>一点,抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上．〔1设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴；〔2若P是半椭圆x2+=1<x<0>上的动点,求△PAB面积的取值范围．[答案]〔1见解析；〔2．[解析]本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分15分.〔1设,,．因为,的中点在抛物线上,所以,为方程即的两个不同的实数根．所以．因此,垂直于轴．〔2由〔1可知所以,．因此,的面积．因为,所以．因此,面积的取值范围是．17．[2018年高考天津卷理数]设椭圆<a>b>0>的左焦点为F,上顶点为B．已知椭圆的离心率为,点A的坐标为,且．〔1求椭圆的方程；〔2设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q．若<O为原点>,求k的值．[答案]〔1；〔2[解析]〔1设椭圆的焦距为2c,由已知有,又由a2=b2+c2,可得2a=3b．由已知可得,,,由,可得ab=6,从而a=3,b=2,所以椭圆的方程为．〔2设点P的坐标为〔x1,y1,点Q的坐标为〔x2,y2．由已知有y1>y2>0,故．又因为,而∠OAB=,故．由,可得5y1=9y2．由方程组消去x,可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0,由方程组消去x,可得．由5y1=9y2,可得5〔k+1=,两边平方,整理得,解得,或．所以k的值为18．[2017年高考全国I理数]已知椭圆C：,四点P1〔1,1,P2〔0,1,P3〔–1,,P4〔1,中恰有三点在椭圆C上．〔1求C的方程；〔2设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明：l过定点．[答案]〔1；〔2见解析.[解析]〔1由于,两点关于y轴对称,故由题设知C经过,两点．又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上．因此,解得,故C的方程为．〔2设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l：x=t,由题设知,且,可得A,B的坐标分别为〔t,,〔t,．则,得,不符合题设,从而可设l：〔．将代入得,由题设可知．设A〔x1,y1,B〔x2,y2,则x1+x2=,x1x2=．而．由题设,故,即,解得,当且仅当时,于是l：,即,所以l过定点〔2,．[名师点睛]椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况．另外,在设直线方程之前,若题设中未告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况,其通法是联立方程,求判别式,利用根与系数的关系,再根据题设关系进行化简．19．[2017年高考全国II理数]设O为坐标原点,动点M在椭圆C：上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足．〔1求点P的轨迹方程；〔2设点Q在直线上,且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．[答案]〔1；〔2见解析.[解析]〔1设,,则．由得．因为在C上,所以．因此点P的轨迹方程为．〔2由题意知．设,则,．由得,又由〔1知,故．所以,即．又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F．[名师点睛]求轨迹方程的常用方法：〔1直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F<x,y>＝0．〔2待定系数法：已知所求曲线的类型,求曲线方程．〔3定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．〔4代入<相关点>法：动点P<x,y>依赖于另一动点Q<x0,y0>的变化而运动,常利用代入法求动点P<x,y>的轨迹方程．20．[2017年高考北京卷理数]已知抛物线C：y2=2px过点P<1,1>.过点<0,>作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.〔1求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程；〔2求证：A为线段BM的中点.[答案]〔1抛物线C的方程为,焦点坐标为<,0>,准线方程为；〔2见解析.[解析]〔1由抛物线C：过点P<1,1>,得.所以抛物线C的方程为.抛物线C的焦点坐标为<,0>,准线方程为.〔2由题意,设直线l的方程为〔,l与抛物线C的交点为,.由,得.则,.因为点P的坐标为〔1,1,所以直线OP的方程为,点A的坐标为.直线ON的方程为,点B的坐标为.因为,所以.故A为线段BM的中点.[名师点睛]本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了转化与化归能力,当看到题目中出现直线与圆锥曲线时,不需要特殊技巧,只要联立直线与圆锥曲线的方程,借助根与系数的关系,找准题设条件中突显的或隐含的等量关系,把这种关系"翻译"出来即可,有时不一定要把结果及时求出来,可能需要整体代换到后面的计算中去,从而减少计算量.〔1代入点求得抛物线的方程,根据方程表示焦点坐标和准线方程；〔2设直线l的方程为〔,与抛物线方程联立,再由根与系数的关系,及直线ON的方程