向量基础知识及应用

向量基础知识及应用向量基础知识及应用向量基础知识及应用xxx公司向量基础知识及应用文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度向量基础知识及应用基本知识：1.向量加法的定义及向量加法法则（三角形法则、平行四边形法则）；2.向量减法的定义及向量减法法则（三角形法则、平行四边形法则）；3.实数与向量的积λ.向量共线的充要条件：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得=λ。4.向量和的数量积：·=||·||cos，其中为和的夹角。向量在上的投影：||cos，其中为和的夹角⊥·=05.向量的坐标表示:;若向量，则|；若P1（，）、P2（，），则;||=6.向量的坐标运算及重要结论：若=（，）,=（，）,则②④⑥+=0cos=（为向量的夹角）7.点P分有向线段所成的比的：，或P内分线段时,;P外分线段时,.8.定比分点坐标公式：，中点坐标公式：9.三角形重心公式及推导（见课本例2）：三角形重心公式：10.图形平移：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量平移)，得到图形F`，我们把这一过程叫做图形的平移。平移公式：或平移向量==（h，k）应用：1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例1已知向量满足条件，，求证：是正三角形解：令O为坐标原点，可设由，即②①②①两式平方和为，，由此可知的最小正角为，即与的夹角为，同理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.例2求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，从而可求：,=..2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例3已知，AD为中线，求证证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，设，，则，.=，从而，.3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例4已知点是且试用解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，，所以，易求，设.例5如图，用表示解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，.4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题例6求证：三角形的三条高交于同一点[分析]如图，已知中，由，要证明利用向量法证明，只要证得即可；证明中，要充分利用好，这两个条件.证明：在上，而，，即=1\*GB3①又，即=2\*GB3②=1\*GB3①-=2\*GB3②得：，即从而，，.5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.例7求平面内两点间的距离公式[分析]已知点求两点间的距离这时，我们就可以构造出向量，那么而，根据向量模的公式得，从而求得平面内两点间的距离公式为.解：设点，,而点与点之间的距离为：6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.例8证明:[分析]如图，在单位圆上任取两点,以为始边，为终边的角分别为，设出两点的坐标，即得到的坐标，则为向量的夹角；利用向量的夹角公式，即可得证.证明：在单位圆上任取两点，以为始边，以为终边的角分别为，则点坐标为点坐标为；则向量，它们的夹角为，,由向量夹角公式得：,从而得证.注：用同样的方法可证明7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.例9证明柯西不等式证明：令当或时，，结