函数的单调性 同步练习（二）-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

《第三节函数的单调性》同步练习一、选择题1.函数f(x)=−x2−2A.[-3,-1] B.[-1,1]C.(-∞,-3] D.[-1,+∞)2.max{a,b}表示取a,b中的较大者,例如max{0,1,-2}=1,max{2,2}=2,则函数f(x)=max{x+1,4-2x}的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.43.已知函数f(x)=4−x2,若0<x1<x2<x3≤2,则f(x1)xA.fB.fC.fD.f4.[2022山西晋中新一双语学校高三上月考]已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1<x2,都有f(x1)-f(x2)<x1-x2,且f(3)=4,则f(2x-1)>2x的解集为()A.(2,+∞) B.(1,+∞)C.(0,+∞) D.(-1,+∞)5.(多选)[2022江苏省通州高级中学高一期中]已知函数f(x)=x|x|,若对任意的x∈[t,t+1],不等式f(x+t)≥3f(x)恒成立,则整数t的取值可以是()A.-1 B.1 C.3 D.5二、填空题6.[2022广东汕头河溪中学高一上期中]已知函数f(x)=ax−1,x<1,x2−2ax,x≥1,对∀x1,x2∈R且x1≠7.[2022江苏南京六校联合体高一上期中]已知函数f(x)=x2-4x,g(x)=ax(a<0),对∀x1∈[-2,-1],∃x2∈[-3,-1],使f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是8.对任意实数a,b,函数F(a,b)=12(a+b-|a-b|),如果函数f(x)=-x2+2x+3,g(x)=x+1,那么函数G(x)=F(f(x),g(x))的最大值为9.已知函数y=x+ax有如下性质:若常数a>0,那么函数在(0,a]上是减函数,在[a,+∞)上是增函数.若函数f(x)=|x+4x-m|+m在区间[1,4]上的最小值为7,则实数m的值是三、解答题10.已知函数f(x)=x|x-m|+m2.(1)若函数f(x)在[1,2]上是增函数,求实数m的取值范围;(2)若函数f(x)在[1,2]上的最小值为7,求实数m的值.11.[2021重庆育才中学高一上期中]已知定义在R上的函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)在R上是增函数;(2)若f(3)=4,关于x的不等式f(x+2+t)+f(2−x)>3有解,求实数t12.[2022江苏扬州大学附属中学高一上期中]已知函数f(x)=xx(1)求证:函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数;(2)若∀a∈[-2,2],∃x∈[12,2]使不等式f(x)≤m2-2am+103成立,求实数m参考答案一、选择题1.B由-x2-2x+3≥0,得-3≤x≤1,所以函数f(x)的定义域为[-3,1].f(x)可以看成由y=t及t=-x2-2x+3复合而成.因为函数t=-x2-2x+3在[-3,-1]上是增函数,在[-1,1]上是减函数,函数y=t在[0,+∞)上是增函数,所以根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法,可知函数f(x)的减区间是[-1,1],故选B.2.B当x+1≥4-2x,即x≥1时,f(x)=x+1;当x+1<4-2x,即x<1时,f(x)=4-2x.所以f(x)=4−2x,x<1,x+1,x≥1.显然f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,且4-2≤1+1,所以f3.C由题意可得f(x)x=4−x2x=4x4.A5.CD二、填空题6.(0,237.[-15,-12]8.39.6三、解答题10.(1)由题意,得f(x)=x①若m=0,则当x≥0时,f(x)=x2,此时函数f(x)在[1,2]上是增函数;②若m<0,则[1,2]⊆[m,+∞).二次函数y=x2-mx+m2的图象的开口向上,对称轴为直线x=m2如图1所示,则函数y=f(x)在[1,2]上是增函数;③若m>0,如图2所示,若函数f(x)在[1,2]上是增函数,则m2≥2或m≤1,所以0<m≤1或m≥4综上所述,实数m的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞).(2)①由(1),知当m≤1时,函数f(x)在[1,2]上是增函数,所以f(x)min=f(1)=1-m+m2=7,即m2-m-6=0,解得m=3(舍去)或m=-2;②由(1),知当m≥4时,函数f(x)在[1,2]上是增函数,所以f(x)min=f(1)=-1+m+m2=7,即m2+m-8=0,所以m=−1±332③当2<m<4时,函数f(x)在[1,m2]上是增函数,在[m2,2]因为f(1)=-1+m+m2,f(2)=m2+2m-4,所以f(2)-f(1)=m-3.当3≤m<4时,f(2)≥f(1),所以f(x)min=f(1)=7,即m2+m-8=0,解得m=−1±332当2<m<3时,f(2)<f(1),则f(x)min=f(2)=7,即m2+2m-11=0,解得m=23-1或m=-23-1(舍去);④当1<m≤2时,m2若1<m<2,则函数f(x)在[1,m]上是减函数,在[m,2]上是增函数,若m=2,则函数f(x)在[1,m]上为减函数,所以f(x)min=f(m)=m2=7,得m=±7(均舍去).综上,m=-2或m=23-1.11.(1)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,所以f(x2-x1)>1.又f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)-1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,即f(x2)>f(x1).故f(x)在R上是增函数.(2)因为f(3)=f(1)+f(2)-1=f(1)-1+f(1)+f(1)-1=3f(1)-2=4,所以f(1)=2.因为f(x+2+t)+f(2−x)=f(x+2所以f(x+2+t)+f(2−x)>3即f(x+2+2−x+t)>2=故x+2+2−x+t>1有解,即x令y=x+2+2−x则y2=4+24−因为g(x)=4+24−x2在(-2,0)上单调递增,在所以g(x)max=4+24=8,又y>0,所以ymax=22,因此1-t<22,所以t>1-22,故实数t的取值范围为(1-22,+∞).12.(1)f(x)=xx+1=1-令x2>x1≥0,则f(x2)-f(x1)=1-1x2+1-1+1x1+1=x2−x1故f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.(2)令g(a)=-2am+m2+103,则问题可转化为a∈[-2,2],x∈[12,2]时g(a)min≥f(x)因为f(x)=1-1x+1在[12所以f(x)min=f(12)=1当m<0时,g(a)在[-2,2]上单调递增,则g(a)min=g(-2)=m2+4m+103≥f(x)min=1整理得(m+3)(m+1)≥0,所以m≥-1或m≤-3,所以m∈(-∞,-3]∪[