实验二MATLAB中的极限和微分积分运算课件

实验二MATLAB中的极限、微分和积分运算

实验二MATLAB中的极限、微分和积分运算一、实验目的熟悉MATLAB软件中关于极限、微分运算和不定积分、定积分的基本命令，掌握利用MATLAB软件进行求极限和微分运算的方法。掌握利用MATLAB软件进行求不定积分、定积分等积分运算的方法。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications一、实验目的熟悉MATLAB软件中关于极限、微分运算和不定积2二、相关知识在微积分中，我们曾经学习了求函数的极限、微分和不定积分和定积分的运算，那时我们根据微积分的原理，学习了一整套各种各样的方法，其中包括了许多技巧，现在我们尝试用软件来解决这样的问题。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications二、相关知识在微积分中，我们曾经学习了求函数的极限、微分和不3MATLAB提供的命令函数limit()可以完成极限运算，其调用格式如下：limit(F,x,a,’left’)该命令对表达式F求极限，独立变量x从左边趋于a，函数中除F外的参数均可省略，’left’可换成’right’。举例如下：极限运算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsMATLAB提供的命令函数limit()可以完成极限运算，其4例1：求极限。解：可用以下程序完成：clearF=sym(‘(1+a/x)^x’)limit(F,’x’,inf,’left’)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例1：求极限5结果为exp(a)。其中，语句F=sym(‘(1+a/x)^x’)表示定义符号表达式也可用以下的语句来完成：NanjingUniversityofPostsandTelecommunications结果为exp(a)。其中，语句F=sym(‘(1+a/x)^6clear;symsx%这里是把x先说明成符号。F=(1+a/x)^x%这里的定义形式和前面不同。limit(F,x,inf,’left’)%这里的x本身就是符号，因此不需要单引号。NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsclear;NanjingUniversityofPo7MATLAB提供的函数diff()可以完成对给定函数求导函数的运算，其调用格式如下：diff(fun,x,n)其意义是求函数fun关于变量x的n阶导数，n为1时可省略。这里的fun用上例的后一种方式来定义较为妥当。我们看下面的例：导函数的运算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsMATLAB提供的函数diff()可以完成对给定函数求导函数8例2：求函数的一阶和三阶导数。解：可用以下程序完成：clear;symsxy=log((x+2)/(1-x));dy=diff(y,x)

dy3=diff(y,x,3)pretty(dy3)这里用到的另一个函数：pretty()，其功能是使它作用的表达式更符合数学上的书写习惯。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例2：求函数的9MATLAB提供的命令函数int()可以完成积分运算，其调用格式有如下几种：int(fun)计算函数fun关于默认变量的不定积分int(fun,x)计算函数fun关于变量x的不定积分int(fun,x,a,b)计算函数fun关于变量x从a到b的定积分我们通过例子来学习具体的用法：积分运算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsMATLAB提供的命令函数int()可以完成积分运算，其调用10

例1：计算不定积分。cleary=sym(‘x^5+x^3-sqrt(x)/4’)int(y)pretty(ans)解：可以用下面的程序完成：NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsclear解：可以用下面的程序完成：NanjingUni11例2：计算定积分。clearsymsxy=(x*exp(x))/(1+x)^2;int(y,0,1)解：可以用下面的程序实现计算：NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsclear解：可以用下面的程序实现计算：NanjingUn12例3：计算二重积分，其中D为曲

线和所围成的区域。所以，计算该积分的MATLAB程序为：clearsymsxyf=x*x+y;int(int(f,y,x*x,sqrt(x)),x,0,1)

解：区域D可用不等式表示为：NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例3：计算二重积分，13例4：被积曲面S为球面在第一卦限部分的外则，计算曲面积分。解：先把问题转化为二重积分，积分区域为x，y平面内的第一象限部分。具体的计算公式为：NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例4：被积曲面S为球面在第14然后计算该二次积分，程序如下：

clearsymsxyzz=sqrt(1-x^2-y^2)f=x*y*zI=int(int(f,y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications然后计算该二次积分，程序如下：clearNanjingU15

这里我们看到，所有的积分计算都是利用函数int完成的，当我们遇到二重积分、三重积分和曲线、曲面积分时需要先化为相应的累次积分，再用int来完成积分的计算。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications这里我们看到，所有的积分计算都是利用函数int完成的16综合实验1.定积分近似计算的MonteCarlo方法NanjingUniversityofPostsandTelecommunications综合实验1.定积分近似计算的MonteCarlo方法Nan17a=0;b=1;m=1000;s=0;H=exp(1);%s设置为落在曲边梯形内的点数fori=1:mxi=rand();yi=H*rand();ifyi<exp(xi)s=s+1;end;%如果随机点落在曲边梯形内,s增加1end;fprintf('%s%g\n','exp(x)在[0,1]上的积分约等于',H*(b-a)*s/m)例1近似计算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsa=0;b=1;m=1000;例1近似计算Nanjing182.Matlab近似计算定积分rsums(f,a,b)symsx;rsums(exp(x),0,1)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications2.Matlab近似计算定积分rsums(f,a,b)sym19rsumsexp(-5*x^2)NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsrsumsexp(-5*x^2)NanjingUniv203.泰勒级数逼近计算器taylortool

NanjingUniversityofPostsandTelecommunications3.泰勒级数逼近计算器taylortoolNanjing214.最大公约数问题Matlab用于求两个整数的最大公约数的函数是gcd，比如gcd(4,6)将会得到2，数学上有个这样的结论：若d是a,b的最大公约数，则存在整数p,q，使得pa+qb=dMatlab中可以通过命令[d,p,q]=gcd(a,b)来获得上述的三个数，比如[d,p,q]=gcd(12,32)运行得到d=4p=3q=-1可以验证，确实有3×12-1×32=4NanjingUniversityofPostsandTelecommunications4.最大公约数问题Matlab用于求两个整数的最大公约数的函22现在考虑这样的一个问题：任取两个正整数，它们互质的可能性有多大？m=10000;s=0;fori=1:ma=randint(1,2,[1,10^9]);ifgcd(a(1),a(2))==1s=s+1;endends/mans=0.6043NanjingUniversityofPostsandTelecommunications现在考虑这样的一个问题：任取两个正整数，它们互质的可能性有多23实际上上述所求概率的精确值应该是NanjingUniversityofPostsandTelecommunications实际上上述所求概率的精确值应该是NanjingUniver245.勾股数满足勾股定理a^2+b^2=c^2的三个正整数a,b,c称为勾股数。以下程序求出100以内的所有勾股数：

NanjingUniversityofPostsandTelecommunications5.勾股数满足勾股定理a^2+b^2=c^2的三个正整数25l=0;m=[];fora=1:100forc=a+1:100b=sqrt(c^2-a^2);if(b==floor(b))&(b>a)l=l+1;m(:,l)=[a,b,c];endendendmNanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsl=0;NanjingUniversityofPost26考察c-b=1时的勾股数，将前面程序略加修改可得到下表：a35791113151719b41224406084112144180c51325416185113145181可以证明，此时勾股数的通项可表示为NanjingUniversityofPostsandTelecommunications考察c-b=1时的勾股数，将前面程序略加修改可得到下表：a327c-b=2的情况留着自己讨论，现在给出c-b=3时的勾股数，可以得到下表a915212733394551b123672120180252336432c153975123183255339435a/3357911131517b/341224406084112144c/351325416185113145此表与c-b=1时相同，为什么？NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsc-b=2的情况留着自己讨论，现在给出c-b=3时的勾股数，28实验二MATLAB中的极限、微分和积分运算

实验二MATLAB中的极限、微分和积分运算一、实验目的熟悉MATLAB软件中关于极限、微分运算和不定积分、定积分的基本命令，掌握利用MATLAB软件进行求极限和微分运算的方法。掌握利用MATLAB软件进行求不定积分、定积分等积分运算的方法。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications一、实验目的熟悉MATLAB软件中关于极限、微分运算和不定积30二、相关知识在微积分中，我们曾经学习了求函数的极限、微分和不定积分和定积分的运算，那时我们根据微积分的原理，学习了一整套各种各样的方法，其中包括了许多技巧，现在我们尝试用软件来解决这样的问题。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications二、相关知识在微积分中，我们曾经学习了求函数的极限、微分和不31MATLAB提供的命令函数limit()可以完成极限运算，其调用格式如下：limit(F,x,a,’left’)该命令对表达式F求极限，独立变量x从左边趋于a，函数中除F外的参数均可省略，’left’可换成’right’。举例如下：极限运算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsMATLAB提供的命令函数limit()可以完成极限运算，其32例1：求极限。解：可用以下程序完成：clearF=sym(‘(1+a/x)^x’)limit(F,’x’,inf,’left’)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例1：求极限33结果为exp(a)。其中，语句F=sym(‘(1+a/x)^x’)表示定义符号表达式也可用以下的语句来完成：NanjingUniversityofPostsandTelecommunications结果为exp(a)。其中，语句F=sym(‘(1+a/x)^34clear;symsx%这里是把x先说明成符号。F=(1+a/x)^x%这里的定义形式和前面不同。limit(F,x,inf,’left’)%这里的x本身就是符号，因此不需要单引号。NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsclear;NanjingUniversityofPo35MATLAB提供的函数diff()可以完成对给定函数求导函数的运算，其调用格式如下：diff(fun,x,n)其意义是求函数fun关于变量x的n阶导数，n为1时可省略。这里的fun用上例的后一种方式来定义较为妥当。我们看下面的例：导函数的运算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsMATLAB提供的函数diff()可以完成对给定函数求导函数36例2：求函数的一阶和三阶导数。解：可用以下程序完成：clear;symsxy=log((x+2)/(1-x));dy=diff(y,x)

dy3=diff(y,x,3)pretty(dy3)这里用到的另一个函数：pretty()，其功能是使它作用的表达式更符合数学上的书写习惯。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例2：求函数的37MATLAB提供的命令函数int()可以完成积分运算，其调用格式有如下几种：int(fun)计算函数fun关于默认变量的不定积分int(fun,x)计算函数fun关于变量x的不定积分int(fun,x,a,b)计算函数fun关于变量x从a到b的定积分我们通过例子来学习具体的用法：积分运算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsMATLAB提供的命令函数int()可以完成积分运算，其调用38

例1：计算不定积分。cleary=sym(‘x^5+x^3-sqrt(x)/4’)int(y)pretty(ans)解：可以用下面的程序完成：NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsclear解：可以用下面的程序完成：NanjingUni39例2：计算定积分。clearsymsxy=(x*exp(x))/(1+x)^2;int(y,0,1)解：可以用下面的程序实现计算：NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsclear解：可以用下面的程序实现计算：NanjingUn40例3：计算二重积分，其中D为曲

线和所围成的区域。所以，计算该积分的MATLAB程序为：clearsymsxyf=x*x+y;int(int(f,y,x*x,sqrt(x)),x,0,1)

解：区域D可用不等式表示为：NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例3：计算二重积分，41例4：被积曲面S为球面在第一卦限部分的外则，计算曲面积分。解：先把问题转化为二重积分，积分区域为x，y平面内的第一象限部分。具体的计算公式为：NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例4：被积曲面S为球面在第42然后计算该二次积分，程序如下：

clearsymsxyzz=sqrt(1-x^2-y^2)f=x*y*zI=int(int(f,y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications然后计算该二次积分，程序如下：clearNanjingU43

这里我们看到，所有的积分计算都是利用函数int完成的，当我们遇到二重积分、三重积分和曲线、曲面积分时需要先化为相应的累次积分，再用int来完成积分的计算。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications这里我们看到，所有的积分计算都是利用函数int完成的44综合实验1.定积分近似计算的MonteCarlo方法NanjingUniversityofPostsandTelecommunications综合实验1.定积分近似计算的MonteCarlo方法Nan45a=0;b=1;m=1000;s=0;H=exp(1);%s设置为落在曲边梯形内的点数fori=1:mxi=rand();yi=H*rand();ifyi<exp(xi)s=s+1;end;%如果随机点落在曲边梯形内,s增加1end;fprintf('%s%g\n','exp(x)在[0,1]上的积分约等于',H*(b-a)*s/m)例1近似计算NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsa=0;b=1;m=1000;例1近似计算Nanjing462.Matlab近似计算定积分rsums(f,a,b)symsx;rsums(exp(x),0,1)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications2.Matlab近似计算定积分rsums(f,a,b)sym47rsumsexp(-5*x^2)NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsrsumsexp(-5*x^2)NanjingUniv483.泰勒级数逼近计算器taylortool

NanjingUniversityofPostsandTelecommunications3.泰勒级数逼近计算器taylortoolNanjing494.最大公约数问题Matlab用于求两个整数的最大公约数的函数是gcd，比如gcd(4,6)将会得到2，数学上有个这样的结论：若d是a,b的最大公约数，则存在整数p,q，使得pa+qb=dMatlab中可以通过命令[d,p,q]=gcd(a,b)来获得上述的三个数，比如[d,p,q]=gcd(12,32)运行得到d=4p=3q=-1可以验证，确实有3×12-1×32=4NanjingUniversityofPostsandTelecommunications4.最大公约数问题Matlab用于求两个整数的最大公约数的函50现在考虑这样的一个问题：任取两个正整数，它们互质的可能性有多大？m=10000;s=0;fori=1:ma=randint(1,2,[1,10^9]);ifgcd(a(1),a(2))==1s=s+1;endends/mans=0.6043NanjingUniver