几何与代数：习题解析第六章

第六章二次型与二次曲面§6.3二次曲面x=Qy,作直角系的旋转变换坐标轴的平移g(y)=yTy+B’Ty+c=0y=z+1z12+2z22+3z32=bzi+dQ正交Q正交且|Q|=1右手系→右手系一般二次型f(x1,x2,x3)=xTAx+BTx+c=0实对称阵的正交相似对角化问题Q正交,s.t.,Q1AQ=QTAQ==diag(1,…,n)实二次型正交变换标准形二次曲面直角坐标变换曲面的标准形条件方程p,qd二次曲面p=3,q=0r(g)=3,b=0椭球面球面p=2,q=1d>0p=0,q=3d<0单叶双曲面d>0d<0双叶双曲面d=0二次锥面r(g)=2,b0d=0p=2,q=0椭圆抛物面p=1,q=1双曲抛物面r(g)=2,b=0d0p=2,q=0椭圆柱面p=1,q=1双曲柱面r(g)=1d=0p=1,q=0p=0,q=1抛物柱面证明:(1)若n阶方阵A满足A2=2A.证明：(1)r(2EA)+r(A)=n,(2)A相似于对角阵；所以A相似于对角阵.r(2EA)+r(A)r(2EA+A)=n,r(2EA)+r(A)n,(2EA)A=2AA2=0r(2EA)+r(A)=n.A的所有可能的特征值满足22=0(2)=0,2.由Ax=,A对应0有nr(A)个线性无关的特征向量.由(2EA)x=,A对应2有nr(2EA)个线性无关的特征向量.n阶方阵A共有2nn=n个线性无关的特征向量(3)若r(A)=r,求|A+E|.解:(3)若n阶方阵A满足A2=2A.证明：(1)r(2EA)+r(A)=n,(2)A相似于对角阵；并且A相似于对角阵.A的所有可能的特征值满足22=0=0,2.(3)若r(A)=r,求|A+E|.r(A)=r,则与A相似的对角阵中有r个2,其余为0.则存在可逆阵P,使得|A+E|=|+E|=3rP1AP

=

由P1(A+E)P

=

+E知36.设.(1)a,b满足什么条件时

是A的特征向量？若是A的特征向量，求相应的特征值。(2)若是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值.并讨论

A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。（共14分）解：(1)=2，

a+b

=

2(2)=0,2,

a36.设.(1)a,b满足什么条件时

是A的特征向量？若是A的特征向量，求相应的特征值。(2)若是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值.并讨论

A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。（共14分）解：当a=2时，(2)=0,2,

a=2,a+b

=

2b=0，2是二重特征值，A能相似对角化.对应2的特征向量是36.设.(2)若是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值.并讨论

A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。（共14分）解：当a=2时，(2)=0,2,

a=2,a+b

=

2b=0，2是二重特征值，A能相似对角化.对应2的特征向量是对应0的特征向量是36.设.(2)若是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值.并讨论

A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。（共14分）解：当a=0时，(2)=0,2,

a=2,a+b

=

2b=2，0是二重特征值，A不能相似对角化.当a=2时，b=0，2是二重特征值，A能相似对角化.设n阶方阵A,B满足r(A)+r(B)<n，证明:A,B有相同的特征值和特征向量.证明:r(A)+r(B)<n0是A,B相同的特征值r(A)<n，r(B)<n|A|=0，|B|=0设A,B对应于0的相同的特征向量为，有非零解，作为相同的特征向量设0是m阶方阵AmnBnm的特征值，证明:也是n阶方阵BA的特征值.证明:0是AB的特征值，设AB对应于的特征向量为，则否则，矛盾。所以也是n阶方阵BA的特征值.证明:已知n阶方阵A相似于对角阵,并且A的特征向量均是矩阵B的特征向量.证明:AB=BA.n阶方阵A相似于对角阵,所以A有n个线性无关的特征向量,设为p1,p2,…,pn,对应的特征值设为1,2,…,n.A的特征向量均是B的特征向量,则B也有n个线性无关的特征向量p1,…,pn,对应的特征值设为t1,…,tn.

令P=(p1,p2,…,pn),=diag(1,2,…,n)T=diag(t1,t2,…,tn),则P1AP=,P1BP=T,T=T.于是AB=(PP1)(PTP1)=PTP1=PTP1=(PTP1)(PP1)=BA.证充分性:必要性：对实对称正定阵A,存在正交矩阵Q,使得因为A正定，所以特征值i>0正定所以A正定。核心思想:由A~和f()的性质研究

f(A)证明:3.设A为n阶方阵，证明二次型f(x)=xTAx的矩阵为所以f(x)=xTAx

的矩阵为解:

因为

Ax

=

与ATAx

=

同解，9.设mn矩阵A的秩为r，求二次型f(x)=xTATAx

的规范形.

所以r(A)

=

r(ATA)

=

r.f(x)=xTATAx

=(Ax)TAx

所以x,f(x)=(Ax)TAx0.

所以ATA的正惯性指数为r.从而f(x)的规范形为g(y)存在正交变换x=Qy,

y,g(y)=(AQy)TAQy0.

解:

因为

Ax

=

与ATAx

=

同解，9.设mn矩阵A的秩为r,求f(x)=xTATAx

的规范形.

所以r(A)

=

r(ATA)

=

r.所以x,f(x)=(Ax)TAx0.

所以ATA的正惯性指数为r.从而f(x)的规范形为g(y)存在正交变换x=Qy,

y,g(y)设A为n阶可逆阵，则ATA

的正惯性指数为n2(3).=(1,2,3,4),则的A=T的正惯性指数为(A)1(B)2(C)3(D)411.mn矩阵A的秩为,f(x)=xTATAx必为正定的？n证1:设

所以A不是正定阵.证2:令

显然A,B相合,并且相合的矩阵有相同的正定性.,则,则

所以B不是正定阵.

所以A不是正定阵.12.设A=(aij)为n阶实对称矩阵，若对角线上有一个aii0,则A必不是正定矩阵.

证明:设为B对应于的特征向量,则14.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶实矩阵,且A与A

BTAB均为正定矩阵,是B的一个实特征值,则||<1.

15.设A,B都是实对称矩阵,M=A

O

O

B

,证明:M正定A,B都正定.证明:()①M正定xTAx=(xT,T)M

x

>0,yTBy=(T,yT)M

y>0,A,B都正定.

x,y,

,证明:()P1AP=M正定特征值1,…,s,1,…,t>01

s

…,Q1BQ=1

t

…,则正交，P

O

O

Q

1A

O

O

B

P

O

O

Q

=P

O

O

Q

1

s

1

t

……A,B都正定.15.设A,B都是实对称矩阵,M=A

O

O

B

,证明:M正定A,B都正定.②A,B实对称,必存在正交阵P,Q,使得

证明:()③

设A为s阶的,则当i

s时,M正定M的各阶顺序主子式>0A,B的各阶顺序主子式>0

ABOOM的i阶顺序主子式=A的i阶顺序主子式当i

>s时,M的i阶顺序主子式=|A|B的is阶顺序主子式A,B都正定.15.设A,B都是实对称矩阵,M=A

O

O

B

,证明:M正定A,B都正定.

证明:()①

因为A,B都正定,PTAP=E,QTBQ=E,于是P

O

O

Q

TA

O

O

B

P

O

O

Q

=,E

O

O

E

所以存在可逆阵P,Q使因而M正定.其中可逆,P

O

O

Q

15.设A,B都是实对称矩阵,M=A

O

O

B

,证明:M正定A,B都正定.

证明:()②

因为A,B都正定,A=PTP,B=QTQ,所以存在可逆阵P,Q使因而M正定.其中可逆,P

O

O

Q

于是P

O

O

Q

TP

O

O

Q

=A

O

O

B

,15.设A,B都是实对称矩阵,M=A

O

O

B

,证明:M正定A,B都正定.证明:

因为A正定,QT(CTBC)Q=,所以存在可逆阵C,使17.设A,B都是同阶实对称矩阵,且A正定，

证明:存在可逆阵P,使PTAP,PTBP均为对角阵.CTAC=E.同时CTBC

是与B合同的实对称矩阵.所以存在正交阵Q,使令P=CQ,所以P可逆,使PTBP=,PTAP=E.

同时QT(CTAC)Q=QTEQ=E,证明:因为A正定,所以AT=A,A的所有特征值i>0,i=1,2,…,n.因为A正交,A的所有特征值i2=1,则i=1,i=1,2,…,n.所以ATA=A2=E,所以实对称阵A与E相似.即存在可逆矩阵P,使得19.设A既是正定阵又是正交阵，证明：A是单位阵.

方阵A与E相似A与E相合A正定方阵A与E相抵A可逆，线性无关A=P1…PsQ1…Qt满秩,非奇异,非退化特征值均不为零实对称阵A可逆正负惯性指数p+q=n.A的行向量组线性无关方阵A正交A可逆.实对称阵A正定A可逆.反之不然反之不然i>0p=nA=PTPk>0A既是正定阵又是正交阵，则A是单位阵.

A=

E设A,B都是n阶可逆阵，则必有

.A.

存在可逆矩阵P，使得B.

存在可逆矩阵P，使得C.

存在可逆矩阵P，Q使得PAQ=BD.

A(A+B)B是可逆矩阵C证明1:

因为A可逆,所以A的正负惯性指数p+q=n.

并且p(A)=q(A)=q.设A与A在实数域上相合,则p(A)=p(A)=p所以n=2p为偶数.设A为n阶可逆实对称矩阵，证明：如果A与A在实数域上合同，则n必是偶数.

证明2:设A与A在实数域上相合,则存在可逆阵P

使得

因为A可逆,所以|A|0.所以n为偶数.当k时，

是椭球面，1(10).设当k时，

是柱面。>1=1当k<1时，是单叶双曲面。当k<1时，是双叶双曲面。