《高等几何》复习大纲及样题

PAGEPAGE11（0464《高等几何》复习大纲仿射坐标与仿射变换一、要求1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的2二、考试内容1.单比的定义和求法。2.仿射变换的代数表3变直线的求法。射影平面一、要求1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。3.5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。二、考核内容1.中心投影与无穷远元素：中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。笛萨格定理：应用笛萨格定理证明有关结论。4算及其应用。5射影变换与射影坐标一、要求应用。掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。关系。二、考试内容念及其性质。和性。二维射影变换 二维射影对（变换与非奇线性对应的系。6.射影坐标：一维射影坐标、二维射影坐标。变换群与几何学一、要求 1.了解变换群的概念。 2.理解几何学的群观点。3象。二、考试内容 变换群与几何学的关系。2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。二次曲线的射影理论一、要求（级）2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。4二阶曲线的射影分类。二、考试内容1.二阶（级）线的主程和切线方程。题，解决相在的作图问题。二阶曲线的射影分类。二次曲线的仿射性质和度量性质一、要求和考试内容1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。（0464《高等几何》样题及答案一、填空题（210）1、平行四边形的仿射对应图形为： ；2、线坐标（1，2，1）的直线的齐次方程为： ；3、直线3x1

2x2

0上的无穷远点坐标为： ；4、设(AB,CD)=2，则点偶 调和分割点偶 ；5、两个射影点列成透视的充要条件是 二、作图题（每题6分，共6分）1、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。三、计算题（1030）1、 求仿射变换式使直线x＋2y－1＝0上的每个点都不变且使点（1，-1）变为（-1，2）xx2、 求射影变换1 1的固定元素。xx 2 2xx3 33、叙述二次曲线的中心、直径，共轭直径渐近线等概念，并举例说明。四、证明题（1224）1、叙述并证明布利安桑定理。2、设（AB、CD）=-1，OCD〃OB（线段）参考答案一、填空题1、平行四边形、x1

2x2

x 0 3（2，-3，0）4、AC,BD、3保持公共元素不变二、作图题1、每三点不共线的五个点，两两连线。对偶：没三线不共点的五条线，两两相交。 对偶图形就是自己三、计算题1解 设所求仿射变换为x

x

yc

在已知直线x+2y-1=01y2

1xb2

1yc2上任取两点，例如取、（3，-1），在仿射变换下，此二点不变。而点变为式得c 1

bc 3 1

bc 1 由1 1 1 1 1 1 c2 2

0 b c2 2

1 b c 22 2 2以上方程联立解得：

＝2 ，b1

=2 ,c1

=-1,=-32 2

,b=-2 ,c=32 2 2

x2x2y1 y

2y3 2 2解 由题设的射影变换式，得 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 把它们11 12 13 21 22 23 31 32 33代入射影变换的固定方程组6.5公式(2), 即(11

)x1

x12

x 013 3 x

)x

x 0

1 22

2 23 3x311

x )x 032 2 33 3得(1)x 0 10 0得

1)x

01

=0, 即x)x3

0 001(1+u)(1-u)2=0解得u=1（二重根）,u=—1u=—1u=1x1=0AA上的每一点都是固定点。 的值代入射影变换的固定直线方程23 ij(组。5公式，即

)1 21

31

0 (102得 1 则特2

) 0121 22

2 32

0 ) 0131 23 2 33 3 3100征方程为01 0001

=0 即（1+v）(1-v)2=0,解得v=-1v=1(二重根)。将v=-1（。v=1u=01四、证明题 、见课本2、证明 这里所用的都是有向线段，利O为CD中点这一假设，便有OD=-OC来论证的，由（AB，CD）=-1，得ACBD=-1ADBC即 〃BD+AD〃BC=0 （1）把所有线段都以O点做原点来表达，由（1）得（OC-OA）（OD-OB）+（2） 由去括号，移项，分解因子得2（OA〃OB+OC〃OD）=（OA+OB）（OC+OD） 2（OA〃OB-=（OA+OB）〃0 ∴OA〃OB-OC2=0即OC2=OA〃OB高等几何试题一、填空题（327）1、两个三角形面积之比是（。2、相交于影消线的二直线必射影成（。3、如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ 。4x

x,x,x) 一直线u,u,u

上的充要条件是1 2 3 1 2 3（ 。5p1

p,p2

p3,则p4

p,p3

p)（ (p1

,p24

) 。6p,

,p,

满足(pp,p

pp

和p,p1 2 3 4

1 2 3

3 4 1 2（ 。7（ 。8、不在二阶曲线上的两个点 P(p

p)，Q(qq

)关于二阶曲线1 2 3 123S axxiji j

0成共轭点的充要条件是（ 。9、仿射变换成为相似变换的充要条件是（ 二、计算题（每题8分，共56分）1、计算椭圆的面积（x2a2 b

1 a,b0）2、求共点四线l1

:yk1

x，l2

:yk2

x，l3

:yk3

x，l4

:yk4

x的交比。1xx13、求射影变换

1的不变元素。x x 2 2xx34、求二阶曲线6x2x

3224x

211x

0经过点P(1,2,1)的切线方程。1 2 3 235、求双曲线x22xy3y22x4y0的渐近线方程。6、求抛物线2x24xy2y24x10的主轴和顶点。、求使三点O(0,)E(1,1P(11)顺次变到点O(2,3)E(2,5)P(3,7)的仿射变换。A(1,2,3)B(5,1,2)C(11,0,7)D(6,1,5)，验证它们共线并求ABCD（8）（9）答案一、1、仿射不变量 2、平行直线 3、透视中心 4、uxux11 2

ux0335、32 、调和分离、任何四个对应点的交比相等 、S 0pq9、这个变换使圆点保持不变二、1x2a2

y21b2xx经过仿射变换 ay y b其对应图形为圆。 x2y2a2在仿射变换①之下，A，BBO，所以AOB对应，AA3.62，有椭圆面积圆面积SAOB

SAOB所以 椭圆面积a2

因此所给椭圆的面积为ab。1 12ab 2a22、解：化为齐次方程：l:x1 2

kx1

0 l:x2 2

kx021l:x3

kx31

0 l:x4 2

kx041取ax2

0,b:x1

0为基线，则有l(akb),l1 1

(a

b),l2

(a

b),l3

(akb)41.11

(l

,l

(k32412 332412 34 (k k)(kk23143、解：由方程10 001 0 000 1

)(k

k) 得 (1)(1)(1)0所以 1， 1（重根）1 2将1代入（3.4.3）得(11)y0y

0y 0010 y(11)y

2 30y 001 2 3 y0y (11)y 01 2 3y1

0（即y轴y1

0这条直线上的点都是不变点，因此这条直线是不变直线。4、解：将P点的坐标代入二阶曲线方程中得S 0pq所以P点在二阶曲线上，故切线方程为S 0p06 0 x0 即 (1,2,1)0 1 11

102 x 20 11

24x 2 3亦即 12x1

7x2

26x3

0 为所求切线方程。5、解：设渐近线的方程为a x111

a x12

a x133

k(a x121

a x22

a x32

)0根据（2.9）有 3k22k10解之，得k1

1,k2

1，所以渐近线方程为3xy1(x3y2)0和xy11(x3y2)03化简，得所求为2x2y10和2x6y50。6A31

2 22 0

4,A32

2 22 0

4代入4.1，得主轴为 4(2x2y2)4(2x2y)0即 2x2y10解方程 2x24xy2y24x103

2x2y10。(,887、解：设所求仿射变换为 x

x

ya于是有 2a133a23

11 12ya xay21

13ya232a a a11 12 135a a a21 22 233a117a21

a a12 13a a22 23解此方程组得 a

2，a

3，a

1，a

1

4，a 613 23

11 2

2 21 22故所求的仿射变换为

x1x 2

y2123123三、解：因为51205120110123123三、解：因为512051201107615

所以A,B,C,D共线。设 CAB,DAB1 2由 11125,022(1),7322得 2 同理可得1

1 所以